第04章 微波网络分析：S 参数为什么是微波界的"通用语"

这一篇在干嘛？

前三章都在跟麦克斯韦方程较劲——求场、求 β、求阻抗。但实际设计电路时，没人愿意每接两个元件就重解一遍偏微分方程。本章的核心思想是：先用场分析把典型结构”定标”成网络参数，之后电路之间怎么连、怎么级联，全用电路理论搞定。你会学到微波工程师的”四大力器”：Z/Y 矩阵、ABCD 矩阵、S 参数和信号流图，以及微波频段为什么要发明 S 参数。

4.1 等效电压与电流

低频电路里电压电流的定义天经地义，但微波频段”测电压”本身成了难题。对 TEM 线（同轴、微带、带状线），电压的定义是唯一的——与积分路径无关：

$$V={\int }_{+}^{-}\bar{E}\cdot d\bar{\ell },I={\oint }_{C^{+}}\bar{H}\cdot d\bar{\ell },Z_0=\frac{V}{I}\text{\hspace{1em}(4.1-4.3)}$$

波导就没这么幸运了。矩形波导 ${\mathrm{TE}}_{10}$ 模的横向场是 $E_y\propto \sin (\pi x/a)$，对它做线积分，结果既取决于积分起点 x，又取决于积分路径——“波导里的电压是多少”这个问题根本没有唯一答案。

解决办法是人为约定一套等效电压电流（equivalent voltage and current），三条约定缺一不可：

1. 电压正比于横向电场，电流正比于横向磁场（针对某一个模定义）；
2. 两者乘积等于该模的功率流（$P=\frac{1}{2}V{I}^{\ast }$）；
3. 行波电压/电流之比等于特性阻抗（可任选，通常取波阻抗 $Z_w$ 或归一化为 1）。

对任意波导模，横向场写成入射波与反射波的叠加：

$${\bar{E}}_t=\frac{\bar{e}(x,y)}{C_1}\left(V^{+}{e}^{-j\beta z}+V^{-}{e}^{j\beta z}\right),{\bar{H}}_t=\frac{\bar{h}(x,y)}{C_2}\left(V^{+}{e}^{-j\beta z}-V^{-}{e}^{j\beta z}\right)\text{\hspace{1em}(4.6)}$$

两个比例常数 $C_1$、$C_2$ 由功率条件和阻抗条件联立定出。把入射功率 $P^{+}=\frac{1}{2}|A^{+}{|}^2{\int }_S\bar{e}\times {\bar{h}}^{\ast }\cdot \hat{z}ds$ 与 $\frac{1}{2}{V}^{+}{I}^{+\ast }$ 画等号，得到

$$C_1{C}_2^{\ast }={\int }_S\bar{e}\times {\bar{h}}^{\ast }\cdot \hat{z}ds,\frac{C_1}{C_2}=Z_w(\text{或 }1)\text{\hspace{1em}(4.10/4.12)}$$

例 4.1 对 ${\mathrm{TE}}_{10}$ 模算得 $C_1=\sqrt{ab/2}$——从此波导的一个模就被”翻译”成了一条等效传输线。多模情形下，波导中的总场就是各模等效电压电流的叠加（式 4.13），每个模各配一条等效传输线。

阻抗概念的三层身份

本章会见到三种”阻抗”：本征阻抗 $\eta =\sqrt{\mu /ϵ}$ 只看材料；波阻抗 $Z_w=E_t/H_t$（$Z_{\mathrm{TEM}}$、$Z_{\mathrm{TE}}$、$Z_{\mathrm{TM}}$）看波的类型；特性阻抗 $Z_0=V^{+}/I^{+}$ 看传输线。TEM 波三者各有明确定义；TE/TM 波没有唯一电压电流，$Z_0$ 的定义带约定成分。S. A. Schelkunoff 在 1930 年代指出：阻抗是”场的类型 + 介质”的共同属性——它是连接场论与电路论的桥梁。

一个直接的战果：波导分段反射

把空气段和介质段波导各等效成一条传输线（$Z_0=k_0{\eta }_0/\beta$），波导界面反射系数就是两条不同阻抗传输线对接的老问题：$\Gamma =(Z_{0d}-Z_{0a})/(Z_{0d}+Z_{0a})$。例 4.2 用它一步算出 10 GHz 下 X 波段波导填充 Rexolite 时的 $\Gamma =-0.316$。

本节还证明了两个普适性质：对实际网络，$Z(\omega )$ 的实部是 ω 的偶函数、虚部是 ω 的奇函数（$Z(-\omega )=Z^{\ast }(\omega )$），因此 $|\Gamma (\omega )|$ 只能用 ω 的偶次幂级数逼近——这是后面对滤波器综合至关重要的结论。

4.2 阻抗矩阵与导纳矩阵

N 端口（port，这个词是 Wheeler 在 1950 年代发明的）网络在各端口参考面（terminal plane）上有总电压 $V_n=V_n^{+}+V_n^{-}$ 和总电流 $I_n=I_n^{+}-I_n^{-}$。阻抗矩阵把它们线性联系起来：

$$[V]=[Z][I],[I]=[Y][V],[Y]=[Z{]}^{-1}\text{\hspace{1em}(4.25-4.27)}$$

矩阵元素有清晰的物理测量含义：

$$Z_{ij}={\frac{V_i}{I_j}|}_{I_k=0,k\ne j}(\text{其他端口开路}),Y_{ij}={\frac{I_i}{V_j}|}_{V_k=0,k\ne j}(\text{其他端口短路})\text{\hspace{1em}(4.28/4.29)}$$

两大特殊性质（证明都用了场论定理，值得记住结论）：

• 互易网络（reciprocal，不含有源器件/铁氧体/等离子体）：由洛伦兹互易定理推出 $Z_{ij}=Z_{ji}$、$Y_{ij}=Y_{ji}$，矩阵对称。
• 无耗网络（lossless）：$[Z]$、$[Y]$ 的所有元素纯虚。

这两个条件大幅压缩了网络的自由度（N 端口本来有 $2N^2$ 个独立量）。