第03章 传输线与波导：矩形波导里的 TE10

这一篇在干嘛？

上一章我们用”电路”的方式（传播常数、特性阻抗）描述传输线，但那些量从哪儿来？本章用麦克斯韦方程组做场理论（field theory）分析，把最常见的几种导波结构——平行板波导、矩形波导、圆波导、同轴线、带状线、微带线——逐个”拆开看”，弄清楚每种结构支持什么波型（mode）、截止频率从哪来、损耗怎么算。读完你就明白：为什么矩形波导要按标准尺寸卖，为什么微带线不能传纯 TEM 波。

3.1 TEM、TE 和 TM 波的一般解

考虑任意一个沿 z 方向均匀无限长的波导或传输线（导体边界平行于 z 轴），假设时谐场 $e^{j\omega t}$、沿 +z 传播，则电场可写成横向部分加纵向部分：

$$\bar{E}(x,y,z)=[\bar{e}(x,y)+\hat{z}{e}_z(x,y)]e^{-j\beta z},\text{\hspace{1em}(3.1a)}$$

在无源区代入麦克斯韦方程组，六个标量方程联立消元，可以把四个横向场分量全部用纵向分量 $E_z$、$H_z$ 表示出来。白话版：只要知道纵向分量，横向分量就全定了。其中定义了截止波数（cutoff wave number）：

$$k_c^2=k^2-{\beta }^2,k=\omega \sqrt{\mu ϵ}=\frac{2\pi }{\lambda }\text{\hspace{1em}(3.6)}$$

根据纵向分量是否为零，波分三类：

• TEM 波（transverse electromagnetic，横电磁波）：$E_z=H_z=0$。此时必须 $k_c=0$，即 $\beta =k=\omega \sqrt{\mu ϵ}$，无色散、无截止。
• TE 波（transverse electric，横电波，也叫 H 波）：$E_z=0,H_z\ne 0$。
• TM 波（transverse magnetic，横磁波，也叫 E 波）：$E_z\ne 0,H_z=0$。TE/TM 波的 $\beta =\sqrt{k^2-k_c^2}$ 都依赖频率和几何。

三种波的波阻抗（wave impedance）是本章反复出现的核心量：

$$Z_{\mathrm{TEM}}=\sqrt{\frac{\mu }{ϵ}}=\eta ,Z_{\mathrm{TE}}=\frac{k\eta }{\beta },Z_{\mathrm{TM}}=\frac{\beta \eta }{k}\text{\hspace{1em}(3.17/3.22/3.26)}$$

波阻抗 ≠ 特性阻抗

波阻抗描述的是横向场分量之比，只由材料决定；特性阻抗 $Z_0=V/I$ 描述行波电压与电流之比，还和传输线的几何形状有关。TEM 线上两者不相等（比如平行板线 $Z_0=\eta d/W$），别混为一谈。

TEM 波还有个漂亮的结论：其横向场满足拉普拉斯方程 ${\nabla }_t^2\Phi (x,y)=0$，和静态场完全一样。这带来两条推论：一是 TEM 波只存在于两个或以上导体的结构中（闭口金属管内静态电位为常数，场为零，所以矩形波导传不了 TEM 波）；二是分析 TEM 线可以借用整个静电学工具箱（求电位→求场→求 V、I→求 $Z_0$）。

最后是介质损耗：对填充均匀介质的导波结构，小损耗（$\tan \delta \ll 1$）时泰勒展开一阶近似给出

$${\alpha }_d=\frac{k^2\tan \delta }{2\beta }Np/m(\text{TE/TM}),{\alpha }_d=\frac{k\tan \delta }{2}Np/m(\text{TEM})\text{\hspace{1em}(3.29)}$$

3.2 平行板波导

平行板波导（parallel plate waveguide）是最简单的能同时支持 TEM、TM、TE 模的结构：两块宽 $W\gg d$ 的平板，间距 d。

• TEM 模：电位 $\Phi =V_{o}y/d$ 线性分布，$E_y=-V_o/d$，$H_x=V_o/\eta d$，特性阻抗 $Z_0=\eta d/W$，相速 $v_p=1/\sqrt{\mu ϵ}$，无截止。
• TM 模与 TE 模：解二维亥姆霍兹方程，边界条件把 $k_c$ 量化成 $k_c=n\pi /d$。于是每个 n 对应一个模 ${\mathrm{TM}}_n$ 或 ${\mathrm{TE}}_n$，截止频率为

$$f_c=\frac{n}{2d\sqrt{\mu ϵ}},n=0,1,2,\dots \text{\hspace{1em}(3.49)}$$

TM 模的纵向场和横向场的完整解（$E_z\propto \sin (n\pi y/d)$）：

$$E_z=A_n\sin \frac{n\pi y}{d}{e}^{-j\beta z},H_x=\frac{j\omega ϵ}{k_c}{A}_n\cos \frac{n\pi y}{d}{e}^{-j\beta z}\text{\hspace{1em}(3.47/3.48a)}$$

功率流用坡印廷定理积分横截面得到，只有 β 为实（$f>f_c$）时才非零：

$$P_o=\frac{W\mathrm{Re}(\beta )\omega ϵd}{4k_c^2}|A_n{|}^2(n>0)\text{\hspace{1em}(3.54)}$$

注意 TM/TE 模的” bouncing plane wave “解读（下图）：频率降低趋向截止时，平面波的弹射角 $\theta$ 趋于 90°，两束波只上下弹跳、不再前进。

上图中”两束平面波来回弹”的图像非常有用：以 ${\mathrm{TM}}_1$ 为例，$E_z$ 可以分解成两束斜向传播的平面波，$k\sin \theta =\pi /d$、$k\cos \theta ={\beta }_1$。当 $f\to f_c$ 时 $\theta \to 90^{\circ }$，平面波只上下弹、不再前进，z 方向功率为零。沿 z 的相速 $v_p=\omega /\beta >c$ 并不违反相对论——它只是等相位面的”交点速度”，就像海浪斜着拍岸时浪与岸的交点比浪本身跑得快。

一个可以背下来的结论

波导模的相速度 $v_p$ 总大于介质中光速，群速度 $v_g$ 总小于光速，且 $v_p{v}_g=c^2$（对空气填充波导成立）。截止频率以下，功率流严格为零。

导体损耗用微扰法算，${\alpha }_c=P_{\ell }/2P_o$。TE/TM 模在接近截止时 ${\alpha }_c\to \infty$，而 TEM 模的 ${\alpha }_c=R_s/\eta d$ 与频率无关。