第02章 传输线理论：反射、驻波与 Smith 圆图

这一篇在干嘛？

当电路的物理尺寸不再远小于波长，基尔霍夫定律就会”失灵”——电压和电流沿线各处都不一样了。本章用**分布参数电路（distributed circuit）**的视角重建分析框架：从单位长度的 R、L、G、C 出发导出电报方程，引出特性阻抗 $Z_0$ 与传播常数 $\gamma$；再讨论最核心的物理图像——反射（reflection）与驻波（standing wave），并介绍微波工程师的”随身计算器”Smith 圆图，最后落到四分之一波长变换器、有耗线和瞬态分析。这一章是全书后续所有章节的地基。

2.1 传输线的集总元件电路模型

电路理论与传输线理论的关键区别只有一个：电尺寸（electrical size）。电路分析假设网络尺寸远小于波长，电压电流在元件上处处相同（集总，lumped）；而传输线可能长达一个甚至许多个波长，必须当作**分布参数网络（distributed-parameter network）**处理。

把一段无限短的线元 $\Delta z$ 等效为集总电路，其中四个单位长度参量是：$R$（Ω/m，两导体串联电阻，代表导体损耗）、$L$（H/m，串联电感）、$G$（S/m，并联电导，代表介质损耗）、$C$（F/m，并联电容）。

对这一线元应用基尔霍夫定律，除以 $\Delta z$ 并令其趋于零，得到**电报方程（telegrapher equations）**的时域形式：

$$\frac{\partial v(z,t)}{\partial z}=-Ri(z,t)-L\frac{\partial i(z,t)}{\partial t},\text{\hspace{1em}(2.2a)}$$ $$\frac{\partial i(z,t)}{\partial z}=-Gv(z,t)-C\frac{\partial v(z,t)}{\partial t}.\text{\hspace{1em}(2.2b)}$$

白话版：电压沿 z 的变化，是被串联的 R 和 L “吃掉”的；电流沿 z 的变化，是被并联的 G 和 C “漏掉”的。这与第 1 章麦克斯韦旋度方程的形式完全对偶——电路观点与场观点在此汇合。

正弦稳态下的解

取余弦相量（phasor）形式，方程简化为：

$$\frac{dV(z)}{dz}=-(R+j\omega L)I(z),\text{\hspace{1em}(2.3a)}$$ $$\frac{dI(z)}{dz}=-(G+j\omega C)V(z).\text{\hspace{1em}(2.3b)}$$

两式联立消元，得到电压、电流各自的波动方程：

$$\frac{d^{2}V(z)}{d{z}^2}-{\gamma }^{2}V(z)=0,\text{\hspace{1em}(2.4a)}$$

其中复传播常数（propagation constant）为：

$$\gamma =\alpha +j\beta =\sqrt{(R+j\omega L)(G+j\omega C)}\text{\hspace{1em}(2.5)}$$

其通解是一对反向行波：

$$V(z)=V_o^{+}{e}^{-\gamma z}+V_o^{-}{e}^{\gamma z},\text{\hspace{1em}(2.6a)}$$

$e^{-\gamma z}$ 项沿 $+z$ 方向传播，$e^{\gamma z}$ 项沿 $-z$ 方向传播；$\alpha$ 是衰减常数，$\beta$ 是相位常数。把 (2.6a) 代回 (2.3a) 可解出电流，并由此定义特性阻抗（characteristic impedance）：

$$Z_0=\sqrt{\frac{R+j\omega L}{G+j\omega C}},\text{\hspace{1em}(2.7)}$$

它把同一方向行波的张力和电流锁定为 $V_o^{+}/I_o^{+}=Z_0$（注意反向波的电流比带负号，因为电流方向约定相反）。回到时域，波形即 (2.9) 的形式；线上的波长与相速度（phase velocity）为：

$$\lambda =\frac{2\pi }{\beta },\text{\hspace{1em}(2.10)}$$ $$v_p=\frac{\omega }{\beta }=\lambda f.\text{\hspace{1em}(2.11)}$$

无耗线（lossless line）

实际射频/微波线的损耗通常很小，令 $R=G=0$，结果大幅简化：

$$\beta =\omega \sqrt{LC},\text{\hspace{1em}(2.12a)}$$ $$Z_0=\sqrt{\frac{L}{C}},\text{\hspace{1em}(2.13)}$$ $$v_p=\frac{1}{\sqrt{LC}}.\text{\hspace{1em}(2.16)}$$

$\alpha =0$，$Z_0$ 变成实数——这意味着线上任意一点向行波看去的电压电流比是一个纯电阻。后续几节几乎都建立在无耗假设上。

记住这三个无耗结果

$\beta =\omega \sqrt{LC}$、$Z_0=\sqrt{L/C}$、$v_p=1/\sqrt{LC}$ 是本章使用频率最高的公式。几乎所有匹配、反射问题的计算都先做”无耗近似”，再视需要补上损耗修正（见 2.7 节）。

2.2 传输线的场分析

电路模型不是凭空捏造的——四个参量都可以从场论严格导出。对 1 m 长的均匀线，令线上电压为 $V_o{e}^{\pm j\beta z}$、电流为 $I_o{e}^{\pm j\beta z}$，用场储能和场损耗与电路理论表达式”对账”，即得：

$$L=\frac{\mu }{|I_o{|}^2}{\int }_S\bar{H}\cdot {\bar{H}}^{\ast }ds\text{H/m},\text{\hspace{1em}(2.17)}$$ $$C=\frac{ϵ}{|V_o{|}^2}{\int }_S\bar{E}\cdot {\bar{E}}^{\ast }ds\text{F/m},\text{\hspace{1em}(2.18)}$$ $$R=\frac{R_s}{|I_o{|}^2}{\int }_{C_1+C_2}\bar{H}\cdot {\bar{H}}^{\ast }dl\Omega /\text{m},\text{\hspace{1em}(2.19)}$$ $$G=\frac{\omega {ϵ}^{\prime \prime }}{|V_o{|}^2}{\int }_S\bar{E}\cdot {\bar{E}}^{\ast }ds\text{S/m}.\text{\hspace{1em}(2.20)}$$

直觉解读：磁场越强的区域贡献电感，电场越强的区域贡献电容，导体表面切向磁场贡献导体损耗（$R_s=1/\sigma {\delta }_s$ 为表面电阻），复介电常数虚部贡献介质损耗。

对同轴线（内半径 $a$、外半径 $b$）代入 TEM 场表达式积分，得 $L=\frac{\mu }{2\pi }\ln b/a$、$C=\frac{2\pi {ϵ}^{\prime }}{\ln b/a}$ 等。常见三种线的参数汇总如下：