📘 第 6 章：离散时间信号与系统的傅里叶分析

这一篇在干嘛？

前一章我们分析了连续时间信号的频域，这一章把傅里叶分析搬到离散世界：周期序列用离散傅里叶级数（DFS）展开，非周期序列用傅里叶变换（DTFT）刻画。最后落到工程上真正天天在算的东西——DFT 与 FFT，它是数字计算机做频谱分析的标准工具。

• 6.1 引言
• 6.2 离散傅里叶级数
• 6.3 傅里叶变换
• 6.4 傅里叶变换的性质
• 6.5 离散时间 LTI 系统的频率响应
• 6.6 系统对采样正弦信号的响应
• 6.7 模拟
• 6.8 离散傅里叶变换（DFT）
• 6.9 习题精解精选
• 自测

6.1 引言

本章在离散时间信号（序列）和系统的框架下介绍傅里叶分析。它在离散时间中扮演的角色与连续时间完全相同：把信号分解成复指数的叠加，从而在频域观察和处理信号。

离散与连续的技术手段高度相似，但有几个本质区别必须记住：

1. 频率变量不同：连续时间用 $\omega$（弧度/秒），离散时间用 $\Omega$（无量纲弧度）。
2. 频谱是周期的：离散信号的频谱以 $2\pi$ 为周期重复，而连续非周期信号频谱通常非周期。
3. 离散傅里叶级数没有收敛问题：它是有限项级数，不像连续傅里叶级数要操心吉布斯现象和收敛条件。

6.2 离散傅里叶级数

A. 周期序列

若存在正整数 $N$ 使

$$x[n+N]=x[n]\text{对所有 }n\text{\hspace{1em}(6.1)}$$

则称 $x[n]$ 为周期序列，最小的这样的 $N$ 叫基波周期 $N_0$。

复指数序列

$$x[n]=e^{j(2\pi /N_0)n}=e^{j{\Omega }_{0}n}\text{\hspace{1em}(6.2)}$$

（其中 ${\Omega }_0=2\pi /N_0$）是基波周期为 $N_0$ 的周期序列。

离散时间独有的关键现象：频率相差 $2\pi$ 整数倍的复指数序列是同一个序列：

$$e^{j({\Omega }_0+2\pi k)n}=e^{j{\Omega }_{0}n}\text{\hspace{1em}(6.3)}$$

连续时间里 $e^{j{\omega }_{0}t}$ 对每个不同 ${\omega }_0$ 都是不同信号；离散时间里 $e^{j{\Omega }_{0}n}$ 只有在一个 $2\pi$ 区间内才彼此不同。令

$${\Psi }_k[n]=e^{jk{\Omega }_{0}n},{\Omega }_0=\frac{2\pi }{N_0},k=0,\pm 1,\pm 2,\dots \text{\hspace{1em}(6.4)}$$

则

$${\Psi }_k[n]={\Psi }_{k+m{N}_0}[n]m\text{ 为整数}\text{\hspace{1em}(6.6)}$$

即 ${\Psi }_k[n]$ 只有在 $N_0$ 个连续的 $k$ 值范围内才是彼此不同的。这一点直接决定了下面 DFS 求和只需取 $N_0$ 项。

B. 离散傅里叶级数表示

基波周期为 $N_0$ 的周期序列 $x[n]$ 的离散傅里叶级数（DFS）表示为

$$x[n]=\sum _{k=0}^{N_0-1}{c}_k{e}^{jk{\Omega }_{0}n},{\Omega }_0=\frac{2\pi }{N_0}\text{\hspace{1em}(6.7)}$$

其中傅里叶系数

$$c_k=\frac{1}{N_0}\sum _{n=0}^{N_0-1}x[n]e^{-jk{\Omega }_{0}n}\text{\hspace{1em}(6.8)}$$

由于式 (6.6)，两个式子可以统一写成「在任意 $N_0$ 个连续整数上求和」的形式（记号 ${\sum }_{k=⟨N_0⟩}$ 就表示对 $N_0$ 个连续整数求和）：

$$x[n]=\sum _{k=⟨N_0⟩}{c}_k{e}^{jk{\Omega }_{0}n}\text{\hspace{1em}(6.9)}$$ $$c_k=\frac{1}{N_0}\sum _{n=⟨N_0⟩}x[n]e^{-jk{\Omega }_{0}n}\text{\hspace{1em}(6.10)}$$

取 $k=0$ 可得

$$c_0=\frac{1}{N_0}\sum _{n=⟨N_0⟩}x[n]\text{\hspace{1em}(6.11)}$$

即 $c_0$ 等于 $x[n]$ 在一个周期内的平均值（直流分量）。傅里叶系数 $c_k$ 也常被称为 $x[n]$ 的谱系数。

C. 收敛性

离散傅里叶级数是有限项级数，这与连续时间情形形成鲜明对比——根本不存在收敛问题。这是离散世界送给我们的一份礼物。

D. 离散傅里叶级数的性质

1. 傅里叶系数的周期性

$$c_{k+N_0}=c_k\text{\hspace{1em}(6.12)}$$

系数 $c_k$ 本身也是基波周期为 $N_0$ 的周期序列——又一次体现了「离散频谱天然周期」。

2. 对偶性

把 $c_k$ 写成 $c[k]$，对式 (6.10) 做变量代换（$n=-m$、再换名），可得

$$c[n]=\sum _{k=⟨N_0⟩}\frac{1}{N_0}x[-k]e^{jk{\Omega }_{0}n}\text{\hspace{1em}(6.14)}$$

对比式 (6.9) 可知：$(1/N_0)x[-k]$ 恰好是 $c[n]$ 的傅里叶系数。采用记号

$$x[n]\stackrel{\mathrm{DFS}}{\leftrightarrow }{c}_k=c[k]\text{\hspace{1em}(6.15)}$$

则有对偶性质

$$c[n]\stackrel{\mathrm{DFS}}{\leftrightarrow }\frac{1}{N_0}x[-k]\text{\hspace{1em}(6.16)}$$

3. 实序列的共轭对称性

当 $x[n]$ 为实序列时：

$$c_{-k}=c_{N_0-k}=c_k^{\ast }\text{\hspace{1em}(6.17)}$$

奇偶分解：把实序列分解为偶部与奇部 $x[n]=x_e[n]+x_o[n]$，若 $x[n]\stackrel{\text{DFS}}{\leftrightarrow }{c}_k$，则

$$x_e[n]\stackrel{\mathrm{DFS}}{\leftrightarrow }\mathrm{Re}\left[c_k\right]\text{\hspace{1em}(6.18a)}$$ $$x_o[n]\stackrel{\mathrm{DFS}}{\leftrightarrow }j\mathrm{Im}[c_k]\text{\hspace{1em}(6.18b)}$$

易错点提醒：实偶序列的系数是实数，实奇序列的系数是纯虚数——做题时可以用来快速检验结果。

E. 帕塞瓦尔定理

$$\frac{1}{N_0}\sum _{n=⟨N_0⟩}|x[n]{|}^2=\sum _{k=⟨N_0⟩}|c_k{|}^2\text{\hspace{1em}(6.19)}$$

时域一个周期内的平均功率 = 各谱系数模平方之和。能量在时域和频域两个视角下守恒。

6.3 傅里叶变换