📘 第 4 章：z 变换与离散时间 LTI 系统

这一篇在干嘛？

上一章的拉普拉斯变换是连续时间的分析工具，本章的 z 变换就是它在离散时间里的「孪生兄弟」：把差分方程变成代数方程，把卷积变成乘法。学完本章，你就能用系统函数 $H(z)$ 一站式搞定离散 LTI 系统的因果性、稳定性和输出求解。

本章导航

• 4.1 引言
• 4.2 z 变换
• 4.3 常见序列的 z 变换
• 4.4 z 变换的性质
• 4.5 逆 z 变换
• 4.6 离散时间 LTI 系统的系统函数
• 4.7 单边 z 变换
• 4.8 习题精解精选
• 自测

4.1 引言

第 3 章我们用拉普拉斯变换把「微分方程 → 代数方程」，让连续系统分析变简单。本章的 z 变换扮演完全相同的角色，只不过对象换成了离散时间：

• 把差分方程变成代数方程；
• 把时域里的卷积 $y[n]=x[n]\ast h[n]$ 变成 z 域里的乘法 $Y(z)=X(z)H(z)$；
• 用系统函数 $H(z)$（含零极点、收敛域）来刻画离散 LTI 系统。

z 变换的性质与拉普拉斯变换高度平行，学的时候可以边对比边记，但两者也有一些关键区别（比如 $z^{-1}$ 对应的是「延迟」而不是「积分」），后文会特别点出。

4.2 z 变换

是什么：从复指数特征函数说起

回忆第 2 章：对离散 LTI 系统，形如 $z^n$ 的复指数输入会产生同形的输出，只是被乘了一个「特征值」：

$$y[n]=\mathbf{T}\{z^n\}=H(z)z^n$$

其中

$$H(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }h[n]z^{-n}$$

这就是把 $h[n]$ 搬进 z 域的桥梁。

A. 定义

对一般离散信号 $x[n]$，其（双边）z 变换定义为

$$X(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}$$

z 一般是复变量，用极坐标写为

$$z=r{e}^{j\Omega }$$

r 是模，$\Omega$ 是辐角。对比拉普拉斯 $s=\sigma +j\omega$：z 的模 $|z|$ 扮演 $\sigma$ 的角色（决定衰减/增长），辐角 $\Omega$ 扮演 $\omega$ 的角色（决定振荡快慢）。

除了双边变换，还有单边 z 变换：

$$X_I(z)=\sum _{n=0}^{\infty }x[n]z^{-n}$$

两者只有在 $x[n]=0(n<0)$（即因果序列）时才相等。单边变换在 4.7 节专门讨论。符号上常写为变换对：

$$x[n]\leftrightarrow X(z)$$

B. 收敛域（ROC）

和拉普拉斯一样，使级数收敛的那部分 z 平面叫收敛域。ROC 是 z 变换「身份证」的一部分——只有表达式 + ROC 两者齐备，z 变换才唯一确定。看两个最经典的例子。

例 4.1 右边序列 $x[n]=a^{n}u[n]$（a 为实数）：

$$X(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\left(a{z}^{-1}\right)}^n$$

这是等比级数，收敛要求 $\left|a{z}^{-1}\right|<1$，即 $|z|>|a|$，求和得

$$X(z)=\frac{1}{1-a{z}^{-1}}|z|>|a|$$

分子分母同乘 z，得到另一个常用形式：

$$X(z)=\frac{z}{z-a}\left|z\right|>\left|a\right|$$

两种形式各有用武之地。由后一形式可见 $X(z)$ 是 z 的有理函数：零点在 $z=0$，极点在 $z=a$。ROC 与零极点图见图 4-1（ROC 在极点圆外侧）。

图 4-1 形如 $|z|>|a|$ 的收敛域（右侧圆外区域，不含极点）

例 4.2 左边序列 $x[n]=-a^{n}u[-n-1]$：

$$X(z)=\frac{1}{1-a{z}^{-1}}|z|<|a|$$

即

$$X(z)=\frac{z}{z-a}|z|<|a|$$

ROC 在极点圆内侧（见图 4-2）。

图 4-2 形如 $|z|<|a|$ 的收敛域（圆内区域）

最容易踩的坑

例 4.1 和例 4.2 的 $X(z)$ 代数表达式完全相同（$\frac{z}{z-a}$），但 ROC 不同，对应的却是两个不同的序列！所以：写 z 变换必须同时写表达式和 ROC，缺一不可。这一点和拉普拉斯变换完全一样。

C. ROC 的五条性质

设 $X(z)$ 是有理函数，其 ROC 有如下性质：

1. ROC 内不含任何极点（极点处 $X(z)\to \infty$，当然不收敛）；
2. 有限长序列（只在 $N_1\le n\le N_2$ 非零）：ROC 是除 0、$\infty$ 之外（可能）的整个 z 平面；
3. 右边序列（$n<N_1$ 时为零）：ROC 形如 $|z|>r_{max}$，即最远极点圆的外部（可能不含 $\infty$）；
4. 左边序列（$n>N_2$ 时为零）：ROC 形如 $|z|<r_{min}$，即最近极点圆的内部（可能不含 0）；
5. 双边序列：ROC 形如 $r_1<|z|<r_2$，即两极点模长之间的圆环，不含极点。

图 4-6(a) 双边序列 $x[n]=a^{|n|}$ 的波形（$a<1$）

图 4-6(b) 双边序列 $x[n]=a^{|n|}$ 的波形（$a>1$）

图 4-7 双边序列的 ROC：$a<|z|<1/a$ 的圆环（仅当 $a<1$ 时存在）

其中「右边序列对应圆外、左边序列对应圆内」是判断因果性的核心依据（见 4.6 节）。

4.3 常见序列的 z 变换

A. 单位脉冲序列 $\delta [n]$

由定义直接求和，只有 $n=0$ 一项存活：

$$X(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta [n]z^{-n}=z^{-0}=1$$

即

$$\delta [n]\leftrightarrow 1\text{全部 z}$$

B. 单位阶跃序列 $u[n]$

在例 4.1 中取 $a=1$ 即得：

$$u[n]\leftrightarrow \frac{1}{1-z^{-1}}=\frac{z}{z-1}|z|>1$$

C. 常用变换对速查表

下表是本章解题的「字典」，做逆变换全靠它：

$x[n]$	$X(z)$	ROC
$\delta [n]$	$1$	全部 z
$u[n]$	$\frac{1}{1-z^{-1}}=\frac{z}{z-1}$	$\Vert z\Vert >1$
$-u[-n-1]$	$\frac{1}{1-z^{-1}}=\frac{z}{z-1}$	$\Vert z\Vert <1$
$\delta [n-m]$	$z^{-m}$	除 0（$m>0$）或 $\infty$（$m<0$）
$a^{n}u[n]$	$\frac{1}{1-a{z}^{-1}}=\frac{z}{z-a}$	$\Vert z\Vert >\Vert a\Vert$
$-a^{n}u[-n-1]$	$\frac{1}{1-a{z}^{-1}}=\frac{z}{z-a}$	$\Vert z\Vert <\Vert a\Vert$
$n{a}^{n}u[n]$	$\frac{a{z}^{-1}}{(1-a{z}^{-1}{)}^2}=\frac{az}{(z-a{)}^2}$	$\Vert z\Vert >\Vert a\Vert$
$-n{a}^{n}u[-n-1]$	$\frac{a{z}^{-1}}{(1-a{z}^{-1}{)}^2}=\frac{az}{(z-a{)}^2}$	$\Vert z\Vert <\Vert a\Vert$
$(n+1)a^{n}u[n]$	$\frac{1}{(1-a{z}^{-1}{)}^2}={\left[\frac{z}{z-a}\right]}^2$	$\Vert z\Vert >\Vert a\Vert$
$(\cos {\Omega }_{0}n)u[n]$	$\frac{z^2-(\cos {\Omega }_0)z}{z^2-(2\cos {\Omega }_0)z+1}$	$\Vert z\Vert >1$
$(\sin {\Omega }_{0}n)u[n]$	$\frac{(\sin {\Omega }_0)z}{z^2-(2\cos {\Omega }_0)z+1}$	$\Vert z\Vert >1$
$(r^n\cos {\Omega }_{0}n)u[n]$	$\frac{z^2-(r\cos {\Omega }_0)z}{z^2-(2r\cos {\Omega }_0)z+r^2}$	$\Vert z\Vert >r$
$(r^n\sin {\Omega }_{0}n)u[n]$	$\frac{(r\sin {\Omega }_0)z}{z^2-(2r\cos {\Omega }_0)z+r^2}$	$\Vert z\Vert >r$
$a^n(0\le n\le N-1)$，其余为 0	$\frac{1-a^N{z}^{-N}}{1-a{z}^{-1}}$	$\Vert z\Vert >0$