📘 第 3 章：拉普拉斯变换与连续时间 LTI 系统

这一篇在干嘛？

第 2 章告诉我们：LTI 系统的输出是输入与冲激响应的卷积，但卷积积分往往很繁琐。本章引入拉普拉斯变换，把时域信号搬到「s 域」（复频域），让卷积变成乘法、微分方程变成代数方程。学完本章，你将掌握求变换、求反变换、画零极点图、判断因果与稳定性这一整套核心技能。

• 3.1 引言
• 3.2 拉普拉斯变换
• 3.3 常用信号的拉普拉斯变换
• 3.4 拉普拉斯变换的性质
• 3.5 拉普拉斯反变换
• 3.6 系统函数
• 3.7 单边拉普拉斯变换
• 精选习题精解
• 进阶练习（补充习题提示）
• 自测

3.1 引言

第 2 章的核心结论是：LTI 系统对任意输入 $x(t)$ 的响应等于输入与冲激响应 $h(t)$ 的卷积。但直接计算卷积并不轻松。本章给出另一种表示信号与 LTI 系统的方式——拉普拉斯变换：把连续时间信号表示在 s 域（s 是复变量），并为连续时间 LTI 系统引入「系统函数」的概念。

一句话记住它的价值：在 s 域里，卷积变成乘法，微分方程变成代数方程。许多在时域里难以看出的系统性质（因果性、稳定性），在 s 域里只需看一眼极点位置和收敛域就能得出结论。

3.2 拉普拉斯变换

为什么会有拉普拉斯变换？

回忆第 2 章：当 LTI 系统的输入是复指数信号 $e^{st}$ 时，输出仍是同形式的信号，只是乘了一个系数：

$$y(t)=\mathbf{T}\{e^{st}\}=H(s)e^{st}\text{\hspace{1em}(3.1)}$$

其中

$$H(s)={\int }_{-\infty }^{\infty }h(t)e^{-st}dt\text{\hspace{1em}(3.2)}$$

既然复指数是 LTI 系统的「特征函数」，而任意信号又能分解成复指数的加权和，那么对信号做「复指数分解系数」的分析就顺理成章——这正是拉普拉斯变换。

A. 定义

对一般连续时间信号 $x(t)$，其拉普拉斯变换 $X(s)$ 定义为

$$X(s)={\int }_{-\infty }^{\infty }x(t)e^{-st}dt\text{\hspace{1em}(3.3)}$$

变量 s 一般是复数：

$$s=\sigma +j\omega \text{\hspace{1em}(3.4)}$$

式 (3.3) 称为双边拉普拉斯变换（two-sided）。与之对比，还有单边拉普拉斯变换：

$$X_I(s)={\int }_{0^{-}}^{\infty }x(t)e^{-st}dt\text{\hspace{1em}(3.5)}$$

其中 $0^{-}={\lim }_{\epsilon \to 0}(0-\epsilon )$。注意：只有当 $x(t)$ 在 $t<0$ 时为零，双边与单边变换才等价。单边变换在 3.7 节专门讨论（它对处理带初始条件的微分方程特别有用）。

常用记号：变换操作写作 $\mathcal{L}$，信号与其变换构成一个「变换对」：

$$X(s)=\mathcal{L}\left\{x(t)\right\}\text{\hspace{1em}(3.6)}$$ $$x(t)\leftrightarrow X(s)\text{\hspace{1em}(3.7)}$$

B. 收敛域（ROC）：没有它，变换就不唯一

是什么：使拉普拉斯变换积分收敛的那些 s 值的集合，称为收敛域（Region of Convergence, ROC）。

为什么必须有它：不同的信号可能有完全相同的 $X(s)$ 代数表达式，但收敛域不同。不标 ROC，反变换时就不知道原信号是右边、左边还是双边信号。

例 3.1（右边信号的收敛域在极点右侧）：考虑

$$x(t)=e^{-at}u(t)a\text{ 为实数}\text{\hspace{1em}(3.8)}$$

由式 (3.3)：

$$\begin{array}{rl}X(s)& ={\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-at}u(t)e^{-st}dt={\int }_{0^{+}}^{\infty }{e}^{-(s+a)t}dt\\ & =-\frac{1}{s+a}{e}^{-(s+a)t}{|}_{0^{+}}^{\infty }=\frac{1}{s+a}\mathrm{Re}(s)>-a\end{array}\text{\hspace{1em}(3.9)}$$

收敛的理由：只有当 $\mathrm{Re}(s+a)>0$，即 $\mathrm{Re}(s)>-a$ 时，才有 ${\lim }_{t\to \infty }{e}^{-(s+a)t}=0$。所以 ROC 是复平面（简称 s 平面）上直线 $\mathrm{Re}(s)=-a$ 右侧的半平面。s 平面的横轴叫 $\sigma$ 轴，纵轴叫 $j\omega$ 轴。

图 3-1　例 3.1 的收敛域（阴影区域）

例 3.2（左边信号的收敛域在极点左侧）：考虑

$$x(t)=-e^{-at}u(-t)a\text{ 为实数}\text{\hspace{1em}(3.10)}$$

其拉普拉斯变换为（推导见习题 3.1）

$$X(s)=\frac{1}{s+a}\mathrm{Re}(s)<-a\text{\hspace{1em}(3.11)}$$

图 3-2(a)　例 3.2 中 $a>0$ 情形的收敛域

图 3-2(b)　例 3.2 中 $a<0$ 情形的收敛域

关键对比：式 (3.9) 与 (3.11) 的 $X(s)$ 代数表达式一模一样，但 ROC 一个在直线右侧、一个在左侧，对应的是两个完全不同的信号。所以结论是——ROC 必须作为拉普拉斯变换的一部分一并给出，变换才唯一。这是本章最重要的易错点。

C. $X(s)$ 的零点与极点

通常 $X(s)$ 是 s 的有理函数：

$$X(s)=\frac{a_0{s}^m+a_1{s}^{m-1}+\cdots +a_m}{b_0{s}^n+b_1{s}^{n-1}+\cdots +b_n}=\frac{a_0}{b_0}\frac{(s-z_1)\cdots (s-z_m)}{(s-p_1)\cdots (s-p_n)}\text{\hspace{1em}(3.12)}$$

• 零点：分子多项式的根 $z_k$，在这些 s 值处 $X(s)=0$；
• 极点：分母多项式的根 $p_k$，在这些 s 值处 $X(s)\to \infty$；
• 当 $n>m$ 时称为真分式，$n\le m$ 时称为假分式。

由定义，极点处变换不收敛，所以极点一定在 ROC 之外；零点则可能在 ROC 内或外。除了比例系数 $a_0/b_0$，零极点完全确定了 $X(s)$，因此习惯在 s 平面上用「×」标极点、「o」标零点，再画出 ROC——这是表达 $X(s)$ 最紧凑的方式。

例如

$$X(s)=\frac{2s+4}{s^2+4s+3}=2\frac{s+2}{(s+1)(s+3)}\mathrm{Re}(s)>-1$$

它在 $s=-2$ 有一个零点，在 $s=-1$ 和 $s=-3$ 有两个极点，比例系数为 2：

图 3-3　$X(s)=(2s+4)/(s^2+4s+3)$ 的 s 平面表示

D. 收敛域的性质

设 $X(s)$ 是有理函数，ROC 有五条重要性质：

1. ROC 不含任何极点（极点处变换发散，直接由定义得到）。
2. 若 $x(t)$ 是有限时长信号（只在有限区间 $t_1\le t\le t_2$ 上非零），则 ROC 是整个 s 平面（可能除去 $s=0$ 或 $s=\infty$）。
3. 若 $x(t)$ 是右边信号（$t<t_1$ 时为零），则 ROC 形如

$$\mathrm{Re}(s)>{\sigma }_{\max }$$

其中 ${\sigma }_{\max }$ 是所有极点实部的最大值——ROC 是所有极点右侧的半平面。 4. 若 $x(t)$ 是左边信号（$t>t_2$ 时为零），则 ROC 形如

$$\mathrm{Re}(s)<{\sigma }_{\min }$$

其中 ${\sigma }_{\min }$ 是所有极点实部的最小值——ROC 是所有极点左侧的半平面。 5. 若 $x(t)$ 是双边信号（既非右边也非左边），则 ROC 形如

$${\sigma }_1<\mathrm{Re}(s)<{\sigma }_2$$

即两条竖线 $\mathrm{Re}(s)={\sigma }_1$ 与 $\mathrm{Re}(s)={\sigma }_2$ 之间的竖直条带。

3.3 常用信号的拉普拉斯变换