📘 第 2 章：线性时不变系统

这一篇在干嘛？

线性与时不变是系统最重要的两个属性。本章证明一个核心结论：只要知道系统对单位冲激的响应 $h(t)$（或 $h[n]$），就能通过卷积算出它对任意输入的输出——这是整个信号与系统课程的基石。随后我们把这一结论推广到系统性质判定（记忆性、因果性、稳定性）、特征函数，以及微分方程与差分方程描述的系统。

• 2.1 引言
• 2.2 连续时间 LTI 系统的响应与卷积积分
• 2.3 连续时间 LTI 系统的性质
• 2.4 连续时间 LTI 系统的特征函数
• 2.5 用微分方程描述的系统
• 2.6 离散时间 LTI 系统的响应与卷积和
• 2.7 离散时间 LTI 系统的性质
• 2.8 离散时间 LTI 系统的特征函数
• 2.9 用差分方程描述的系统
• 典型习题精解
• 附：其余插图速览
• 自测

2.1 引言

一个系统最关键的两个属性是线性（linearity）与时不变（time-invariance），两者合称线性时不变（LTI）系统。本章要建立的核心结论是：

LTI 系统的输入输出关系可以用卷积运算来描述。只要知道系统对单位冲激输入的响应（冲激响应 $h(t)$ 或 $h[n]$），就能求出它对任意输入的输出。

为什么这一点如此重要？因为「测一次冲激响应，就知道全部行为」——系统的全部信息被浓缩在 $h$ 这一个函数里。本章还讨论如何用微分方程（连续时间）和差分方程（离散时间）来刻画 LTI 系统的输入输出关系。

2.2 连续时间 LTI 系统的响应与卷积积分

冲激响应

把单位冲激 $\delta (t)$ 送进系统 $\mathbf{T}$，得到的输出就叫冲激响应：

$$h(t)=\mathbf{T}\{\delta (t)\}\text{\hspace{1em}(2.1)}$$

对任意输入的响应：卷积的由来

第 1 章已经学过，任意信号都能拆成一串「移位加权的冲激」之和：

$$x(t)={\int }_{-\infty }^{\infty }x(\tau )\delta (t-\tau )d\tau \text{\hspace{1em}(2.2)}$$

现在对上式两边作用系统 $\mathbf{T}$。线性允许我们把 $\mathbf{T}$ 拿进积分号内：

$$y(t)=\mathbf{T}\{x(t)\}={\int }_{-\infty }^{\infty }x(\tau )\mathbf{T}\{\delta (t-\tau )\}d\tau \text{\hspace{1em}(2.3)}$$

而时不变告诉我们：冲激挪到 $\tau$ 时刻，响应也只是 $h(t)$ 平移同样的量：

$$h(t-\tau )=\mathbf{T}\{\delta (t-\tau )\}\text{\hspace{1em}(2.4)}$$

代回式 (2.3)，得到本章最重要的公式：

$$y(t)={\int }_{-\infty }^{\infty }x(\tau )h(t-\tau )d\tau \text{\hspace{1em}(2.5)}$$

式 (2.5) 说明：一个连续时间 LTI 系统被它的冲激响应 $h(t)$ 完全刻画。

卷积积分

式 (2.5) 定义了两个信号 $x(t)$ 与 $h(t)$ 的卷积，记作 $x(t)\ast h(t)$：

$$y(t)=x(t)\ast h(t)={\int }_{-\infty }^{\infty }x(\tau )h(t-\tau )d\tau \text{\hspace{1em}(2.6)}$$

即：任意连续时间 LTI 系统的输出 = 输入与冲激响应的卷积。冲激响应的定义及式 (2.6) 的关系如图 2-1 所示。

图 2-1 连续时间 LTI 系统：冲激响应的定义与卷积关系

卷积积分的三条代数性质：

1. 交换律：

$$x(t)\ast h(t)=h(t)\ast x(t)\text{\hspace{1em}(2.7)}$$

2. 结合律：

$$\{x(t)\ast h_1(t)\}\ast h_2(t)=x(t)\ast \{h_1(t)\ast h_2(t)\}\text{\hspace{1em}(2.8)}$$

3. 分配律：

$$x(t)\ast \{h_1(t)+h_2(t)\}=x(t)\ast h_1(t)+x(t)\ast h_2(t)\text{\hspace{1em}(2.9)}$$

这三条性质都有系统含义：结合律对应「级联系统的总冲激响应 = 各级冲激响应的卷积」；分配律对应「并联系统的总冲激响应 = 各支路冲激响应之和」。

卷积积分的计算步骤

利用交换律 (2.7)，卷积也可以写成：

$$y(t)=h(t)\ast x(t)={\int }_{-\infty }^{\infty }h(\tau )x(t-\tau )d\tau \text{\hspace{1em}(2.10)}$$

有时这个形式更好算。无论哪种形式，图解卷积都遵循四个步骤：

1. 把 $h(\tau )$ 反转得 $h(-\tau )$，再平移 $t$ 得 $h(t-\tau )=h[-(\tau -t)]$（此时把 $\tau$ 当变量、$t$ 当参数）；
2. 固定某个 $t$，把 $x(\tau )$ 与 $h(t-\tau )$ 相乘；
3. 对乘积 $x(\tau )h(t-\tau )$ 关于 $\tau$ 积分，得到该时刻的一个输出值 $y(t)$；
4. 让 $t$ 从 $-\infty$ 变到 $+\infty$，重复前三步，得到完整的 $y(t)$。

阶跃响应

把单位阶跃 $u(t)$ 送进系统得到的输出叫阶跃响应：

$$s(t)=\mathbf{T}\{u(t)\}\text{\hspace{1em}(2.11)}$$

利用式 (2.10) 可以方便地求出 $s(t)$：

$$s(t)=h(t)\ast u(t)={\int }_{-\infty }^{\infty }h(\tau )u(t-\tau )d\tau ={\int }_{-\infty }^{t}h(\tau )d\tau \text{\hspace{1em}(2.12)}$$

即阶跃响应 = 冲激响应的积分。反过来对 $t$ 求导：

$$h(t)=s^{\prime }(t)=\frac{ds(t)}{dt}\text{\hspace{1em}(2.13)}$$

即冲激响应 = 阶跃响应的导数。这一对关系在已知 $s(t)$ 求 $h(t)$（或反过来）时非常常用。

易错点

「冲激响应与阶跃响应互为微积分关系」只对 LTI 系统成立；卷积中反转平移的对象是 $h$ 还是 $x$ 可以任选（交换律保证结果一样），但选定后积分限必须跟着新变量写对。

2.3 连续时间 LTI 系统的性质

有了卷积这个工具，LTI 系统的抽象性质都能翻译成对 $h(t)$ 的直接判据。

记忆性

无记忆系统的输出只取决于当前输入。若系统同时是线性时不变的，这个关系只能是：

$$y(t)=Kx(t)\text{\hspace{1em}(2.14)}$$

其中 $K$ 是（增益）常数。对应的冲激响应为：

$$h(t)=K\delta (t)\text{\hspace{1em}(2.15)}$$

因此判据是：只要 $h(t)$ 在 $t_0\ne 0$ 处有非零值，系统就有记忆。

因果性

因果系统在事件发生之前不会有响应。连续时间 LTI 系统因果的充要条件是：

$$h(t)=0t<0\text{\hspace{1em}(2.16)}$$

把它代入式 (2.10)，因果系统的输出可写成：

$$y(t)={\int }_0^{\infty }h(\tau )x(t-\tau )d\tau \text{\hspace{1em}(2.17)}$$

或者代入式 (2.6)：

$$y(t)={\int }_{-\infty }^{t}x(\tau )h(t-\tau )d\tau \text{\hspace{1em}(2.18)}$$

式 (2.18) 表明：计算 $y(t)$ 只用到 $\tau \le t$ 的输入值——这正是「不依赖未来」的数学表述。

类似地，把信号本身也分类：满足 $x(t)=0,t<0$ 的信号称为因果信号：

$$x(t)=0t<0\text{\hspace{1em}(2.19a)}$$

满足 $x(t)=0,t>0$ 的信号称为反因果信号：

$$x(t)=0t>0\text{\hspace{1em}(2.19b)}$$

当输入 $x(t)$ 本身是因果信号时，因果 LTI 系统的输出简化为：

$$y(t)={\int }_0^{t}h(\tau )x(t-\tau )d\tau ={\int }_0^{t}x(\tau )h(t-\tau )d\tau \text{\hspace{1em}(2.20)}$$

稳定性

连续时间 LTI 系统 BIBO（有界输入有界输出）稳定的充要条件是冲激响应绝对可积：

$${\int }_{-\infty }^{\infty }|h(\tau )|d\tau <\infty \text{\hspace{1em}(2.21)}$$

直观点说：$h(t)$ 的曲线与横轴围成的总面积有限，输出才不会「爆炸」。

2.4 连续时间 LTI 系统的特征函数

把复指数信号 $e^{st}$（$s$ 为复数）送进 LTI 系统，输出居然还是它自己，只是乘了一个复常数——这就是特征函数：

$$\mathbf{T}\{e^{st}\}=\lambda e^{st}\text{\hspace{1em}(2.22)}$$

推导很简单：在式 (2.10) 中取 $x(t)=e^{st}$，

$$y(t)={\int }_{-\infty }^{\infty }h(\tau )e^{s(t-\tau )}d\tau =\left[{\int }_{-\infty }^{\infty }h(\tau )e^{-s\tau }d\tau \right]e^{st}=H(s)e^{st}=\lambda e^{st}\text{\hspace{1em}(2.23)}$$