📘 第 1 章：信号与系统

这一篇在干嘛？

这一章是整门课的「词典」：先学会用数学函数描述信号，再把千奇百怪的信号按性质分成几大类，最后认识「系统」这个把输入变成输出的黑箱。后面的卷积、傅里叶变换、拉普拉斯变换，全部建立在这一章的基本信号（阶跃、冲激、复指数）和系统分类（线性、时不变）之上，务必把定义记牢。

• 1.1 引言
• 1.2 信号及其分类
• 1.3 基本连续时间信号
• 1.4 基本离散时间信号
• 1.5 系统及其分类
• 典型例题精解
• 附录：其余素材图示与习题速览
• 自测

1.1 引言

信号与系统的概念和理论，几乎出现在所有电气工程领域，也广泛用于其他工程与科学学科。所谓信号，就是承载某种物理现象信息的函数；所谓系统，就是对信号进行加工、变换的物理过程或数学模型。

本章做三件事：

1. 学会用数学语言描述与表示信号和系统；
2. 给信号和系统分类（连续/离散、周期/非周期、能量/功率……）；
3. 定义几个贯穿全书、必须烂熟于心的基本信号（单位阶跃、单位冲激、复指数、正弦）。

为什么不用学会这些就不行？因为后续所有章节（卷积、频域分析、采样定理）都在反复使用这些基本信号的「积木」性质——比如任何信号都能拆成冲激的加权和，LTI 系统对复指数有特征函数性质等。地基不牢，后面全塌。

1.2 信号及其分类

信号的定义：信号是表示某个物理量或变量的函数，通常包含关于现象行为或本质的信息。例如 RC 电路中，电容上的电压、电阻中流过的电流都是信号。数学上，信号写成自变量 $t$（通常代表时间）的函数，记作 $x(t)$。

A. 连续时间与离散时间信号

• 若自变量 $t$ 是连续变量，则 $x(t)$ 是连续时间信号；
• 若 $t$ 只取离散值，即信号只在离散时刻上有定义，则它是离散时间信号。由于只在离散时刻有定义，离散时间信号常直接写成数的序列，记作 $\{x_n\}$ 或 $x[n]$，其中 $n$ 为整数。

图 1-1 (a) 连续时间信号与 (b) 离散时间信号的图形表示（上图：连续曲线处处有定义；下图：只在整数时刻有「棒状」取值）

离散时间信号有两种来源：

1. 自变量天然离散：例如每日收盘股价，本来只在每天收盘时刻取值；
2. 对连续信号采样得到：取 $x(t_0),x(t_1),\dots ,x(t_n),\dots$，简记为

$$x[0],x[1],\dots ,x[n],\dots$$

或

$$x_0,x_1,\dots ,x_n,\dots$$

其中约定

$$x_n=x[n]=x(t_n)$$

这些 $x_n$ 称为样本（samples），相邻样本的时间间隔叫采样间隔。若采样间隔相等（均匀采样），则

$$x_n=x[n]=x(n{T}_{\mathrm{s}})$$

常数 $T_s$ 即采样间隔。

定义一个序列有两种方式：

1. 给出通项规则，例如

$$x[n]=x_n=\{\begin{array}{ll}{\left(\frac{1}{2}\right)}^n& n\ge 0\\ 0& n<0\end{array}$$

也可以写成

$$\{x_n\}=\left\{1,\frac{1}{2},\frac{1}{4},\dots ,{\left(\frac{1}{2}\right)}^n,\dots \right\}$$

2. 逐项列出数值，例如图 1-1(b) 的序列可写为

$$\begin{array}{c}\{x_n\}=\{\dots ,0,0,1,2,2,1,0,1,0,2,0,0,\dots \}\\ \uparrow \end{array}$$

箭头 $\uparrow$ 标出 $n=0$ 的项。约定：若无箭头，则第一项对应 $n=0$，且 $n<0$ 的所有值均为零——这是初学者最容易忽略的隐含条件。

两个序列的和、积、数乘逐点定义：

$$\begin{array}{ll}\left\{c_n\right\}=\left\{a_n\right\}+\left\{b_n\right\}\to c_n=a_n+b_n& \\ \left\{c_n\right\}=\left\{a_n\right\}\left\{b_n\right\}& \to c_n=a_n{b}_n\\ \left\{c_n\right\}=\alpha \left\{a_n\right\}& \to c_n=\alpha a_n\alpha =\text{ constant }\end{array}$$

B. 模拟信号与数字信号

• 若连续时间信号 $x(t)$ 可以在连续区间 $(a,b)$ 内取任意值（$a$ 可为 $-\infty$，$b$ 可为 $+\infty$），称其为模拟信号；
• 若离散时间信号 $x[n]$ 只能取有限个不同值，称其为数字信号。

一句话记忆：模拟 = 连续时间 + 连续取值；数字 = 离散时间 + 有限取值。

C. 实信号与复信号

取值为实数的信号叫实信号，取值为复数的信号叫复信号。一般复信号写成

$$x(t)=x_1(t)+j{x}_2(t)\text{\hspace{1em}(1.1)}$$

其中 $x_1(t)$、$x_2(t)$ 为实信号，$j=\sqrt{-1}$。注意式 (1.1) 中的 $t$ 既可以是连续变量也可以是离散变量。

D. 确定性信号与随机信号

• 确定性信号：任一时刻的取值完全确定，可以用已知的时间函数建模；
• 随机信号：任一时刻取值随机，只能用统计方法刻画（第 8、9 章讨论）。

E. 偶信号与奇信号

若

$$\begin{array}{c}x(-t)=x(t)\\ x[-n]=x[n]\end{array}\text{\hspace{1em}(1.2)}$$

则称 $x(t)$（或 $x[n]$）为偶信号（关于纵轴对称）；若

$$\begin{array}{c}x(-t)=-x(t)\\ x[-n]=-x[n]\end{array}\text{\hspace{1em}(1.3)}$$

则称为奇信号（关于原点对称）。

图 1-2 (a)(b)

图 1-2 (c)

图 1-2 偶信号 (a)(b) 与奇信号 (c)(d) 的例子

重要结论：任何信号都可以分解为一个偶分量与一个奇分量之和：

$$\begin{array}{c}x(t)=x_e(t)+x_o(t)\\ x[n]=x_e[n]+x_o[n]\end{array}\text{\hspace{1em}(1.4)}$$

其中

$$x_e(t)=\frac{1}{2}\left\{x(t)+x(-t)\right\}\text{ even part of }x(t)\text{\hspace{1em}(1.5)}$$ $$x_e[n]=\frac{1}{2}\{x[n]+x[-n]\}\text{ even part of }x[n]$$ $$x_o(t)=\frac{1}{2}\left\{x(t)-x(-t)\right\}\mathrm{oddpartof}x(t)$$ $$x_o[n]=\frac{1}{2}\left\{x[n]-x[-n]\right\}\text{odd part of}x[n]\text{\hspace{1em}(1.6)}$$

易错点：偶×偶 = 偶，奇×奇 = 偶，偶×奇 = 奇（见例题 1.7 的证明）。另外，奇信号在原点必满足 $x(0)=0$，因为 $x(-0)=x(0)=-x(0)$。

F. 周期信号与非周期信号

若存在正的非零常数 $T$，使得对一切 $t$ 有

$$x(t+T)=x(t)\text{ all }t\text{\hspace{1em}(1.7)}$$

则称连续时间信号 $x(t)$ 为周期信号，$T$ 为周期。由式 (1.7) 立即得到

$$x(t+mT)=x(t)\text{\hspace{1em}(1.8)}$$

对一切整数 $m$ 成立。使式 (1.7) 成立的最小正 $T$ 称为基波周期 $T_0$。

图 1-3 (a)

图 1-3 周期信号的例子

易错点 1：常值信号（直流信号）对任何 $T$ 都满足式 (1.7)，不存在最小正值，因此其基波周期无定义。

离散时间情形完全类似：若存在正整数 $N$ 使得

$$x[n+N]=x[n]\text{ all }n\text{\hspace{1em}(1.9)}$$

则序列 $x[n]$ 以 $N$ 为周期，且 $x[n+mN]=x[n]$（式 1.10）；最小正整数 $N$ 称为基波周期 $N_0$。

图 1-12 (a) $\alpha >1$ 的实指数序列（此处先预告：1.4 节将系统展开）

两条常考结论（证明见例题 1.12、1.14、1.15）：

• 对周期连续信号均匀采样得到的序列未必周期；
• 两个连续时间周期信号之和未必周期（周期之比须为有理数），但两个周期序列之和必定周期（周期为两者周期的最小公倍数）。

G. 能量信号与功率信号

设电阻 $R$ 上电压为 $v(t)$、电流为 $i(t)$，则每欧姆的瞬时功率为

$$p(t)=\frac{v(t)i(t)}{R}=i^2(t)\text{\hspace{1em}(1.11)}$$

每欧姆的总能量 $E$ 与平均功率 $P$ 为

$$E={\int }_{-\infty }^{\infty }{i}^2(t)dt\text{ joules }\text{\hspace{1em}(1.12)}$$ $$P=\underset{T\to \infty }{\lim }\frac{1}{T}{\int }_{-T/2}^{T/2}{i}^2(t)dt\mathrm{watts}\text{\hspace{1em}(1.13)}$$

由此推广，对任意连续时间信号 $x(t)$，定义其归一化能量

$$E={\int }_{-\infty }^{\infty }|x(t){|}^{2}dt\text{\hspace{1em}(1.14)}$$

与归一化平均功率

$$P=\underset{T\to \infty }{\lim }\frac{1}{T}{\int }_{-T/2}^{T/2}|x(t){|}^{2}dt\text{\hspace{1em}(1.15)}$$

对离散时间信号 $x[n]$，相应定义为

$$E=\sum _{n=-\infty }^{\infty }|x[n]{|}^2\text{\hspace{1em}(1.16)}$$ $$P=\underset{N\to \infty }{\lim }\frac{1}{2N+1}\sum _{n=-N}^N|x[n]{|}^2\text{\hspace{1em}(1.17)}$$

据此把信号分成三类：

1. 能量信号：当且仅当 $0<E<\infty$（此时必有 $P=0$）；
2. 功率信号：当且仅当 $0<P<\infty$（此时必有 $E=\infty$）；
3. 两者都不满足的信号，既非能量信号也非功率信号（如 $x(t)=tu(t)$，见例题）。

记忆技巧：能量有限⇒功率为零；功率有限⇒能量无穷。两者不可能同时有限（否则信号只能是零信号）。周期信号若每周期能量有限，则为功率信号，且其平均功率只需在一个周期上计算（见例题 1.18 结论）。

1.3 基本连续时间信号