📘 第 7 章：运算放大器的频率响应

这一篇在干嘛？

上一章我们知道运放增益极高，但”增益极高”只在低频成立——频率一高，增益会往下滚、相位会往后拖。这一章讲三件事：增益和相位随频率怎么变（开环/闭环频率响应）、什么时候电路会自己振荡起来（稳定性）、以及怎么用补偿电路救回来（相位补偿）。掌握本章后，你就能解释”为什么加了负反馈带宽反而变大”以及”为什么放大器会无缘无故啸叫”。

覆盖范围说明

本章笔记对应 Floyd《Analog Fundamentals: A Systems Approach》第 7 章 OP-AMP RESPONSES 的 7–2 至 7–5 节及章末小结、自测与习题部分（7–1 节”基本概念”在其他笔记中单独讲解）。

本章导航

• 7–2 运算放大器的开环响应
• 7–3 运算放大器的闭环响应
• 7–4 正反馈与稳定性
• 7–5 运算放大器的相位补偿
• 本章小结与关键公式
• 自测与习题

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7–2 运算放大器的开环响应

7–2.1 这一节学什么

本节研究开环响应（open-loop response），也就是运放不接任何外部反馈时的表现。它包含两方面：

• 频率响应（frequency response）：电压增益随频率怎么变；
• 相位响应（phase response）：输入、输出信号之间的相移随频率怎么变。

先打个预防针：开环增益就像晶体管的 $\beta$ 一样，同型号器件之间差异极大，所以你永远不能拿手册上的开环增益直接做设计——这正是后面要用负反馈的原因。

学完本节你应该能：理解开环响应；讨论内部各级如何影响整体响应；讨论临界频率与滚降速率；确定总相位响应。

7–2.2 频率响应：补偿型 vs 非补偿型

回忆 7–1 节的假设：运放在临界频率 $f_c$ 以上以 −20 dB/十倍频（decade） 的速率恒定滚降。对大多数运放来说确实如此——这类运放叫补偿型运放（compensated op-amp）：从 $f_c$ 到单位增益（unity gain）整个区间都保持 −20 dB/decade，因为它内部只有一个决定频率特性的 RC 网络，滚降速率和最基本的 RC 网络一样。

但有些运放更复杂：内部有多级放大，每一级都有自己的临界频率，总响应是各级响应的叠加。这种有多个临界频率的运放叫非补偿型运放（uncompensated op-amp）。

常见坑：非补偿型运放不能随便用

非补偿型运放必须仔细设计反馈网络，否则很容易振荡。初学者拿到的多数常用型号（如 741）是内部补偿好的，感觉不到这个问题；一旦换用高速或非补偿型号，“放大器莫名其妙自激”几乎都是忘了这一点。

用图看最直观。一个三级运放的框图和各级响应如下：

图 7–7(a)：具有三个内部级的运放表示（原书图）

图 7–7(b)：各级各自的频率响应（原书图）

图 7–7(c)：非补偿型运放的合成总响应（原书图）

关键结论：dB 增益是相加的（图 7–7(c) 的总曲线就是 (b) 中三条曲线逐点相加）。同理，滚降速率也是相加的——每经过一个临界频率，总滚降速率就再增加 −20 dB/decade（即 −6 dB/倍频 octave）。三级运放最终可以滚到 −60 dB/decade。

7–2.3 相位响应：相位滞后会叠加

多级放大器里，每一级都贡献一部分相位滞后。回顾 RC 滞后网络：每个最多能产生 $-90°$ 相移，且：

• 频率低于临界频率：相移 $<-45°$（指绝对值小于 45°，即 $-45°<\varphi <0°$）；
• 频率等于临界频率：相移恰为 $-45°$；
• 频率高于临界频率：相移 $>-45°$（绝对值超过 45°）。

运放每一级都含一个 RC 滞后网络，所以三级运放的最大相位滞后可达 $-270°$。总相位滞后等于各级相移之和，三级公式为：

$${\varphi }_{tot}=-{\tan }^{-1}\left(\frac{f}{f_{c1}}\right)-{\tan }^{-1}\left(\frac{f}{f_{c2}}\right)-{\tan }^{-1}\left(\frac{f}{f_{c3}}\right)$$

这个公式是 7–4 节稳定性分析的核心工具，先记住它。

例 7–3：求开环中频增益与总相位滞后

已知：某运放有三个内部放大级，增益和临界频率如下：

级	增益	临界频率
第 1 级	$A_{v1}^{\prime }=40\mathrm{dB}$	$f_{c1}=2000\mathrm{Hz}$
第 2 级	$A_{v2}^{\prime }=32\mathrm{dB}$	$f_{c2}=40\mathrm{kHz}$
第 3 级	$A_{v3}^{\prime }=20\mathrm{dB}$	$f_{c3}=150\mathrm{kHz}$

求：开环中频 dB 增益；当 $f=f_{c1}$ 时的总相位滞后。

解：

dB 增益直接相加：

$$A_{ol(mid)}^{\prime }=A_{v1}^{\prime }+A_{v2}^{\prime }+A_{v3}^{\prime }=40\mathrm{dB}+32\mathrm{dB}+20\mathrm{dB}=92\mathrm{dB}$$

总相位滞后用上面的三级公式，代入 $f=2000\mathrm{Hz}$：

$$\begin{array}{rl}{\varphi }_{tot}& =-{\tan }^{-1}\left(\frac{f}{f_{c1}}\right)-{\tan }^{-1}\left(\frac{f}{f_{c2}}\right)-{\tan }^{-1}\left(\frac{f}{f_{c3}}\right)\\ & =-{\tan }^{-1}(1)-{\tan }^{-1}\left(\frac{2}{40}\right)-{\tan }^{-1}\left(\frac{2}{150}\right)\\ & =-45°-2.86°-0.76°=-48.6°\end{array}$$

注意：信号频率只等于第一个临界频率时，总相移就已经是 $-48.6°$ 了——后两级虽然临界频率高得多，也各自贡献了一点。

练习题（Practice Exercise）：两级放大器各级为 $A_{v1}^{\prime }=50\mathrm{dB}$、$A_{v2}^{\prime }=25\mathrm{dB}$、$f_{c1}=1500\mathrm{Hz}$、$f_{c2}=3000\mathrm{Hz}$。求开环中频 dB 增益和 $f=f_{c1}$ 时的总相位滞后。

练习题答案：75 dB；−71.6°

中频增益 $=50+25=75\mathrm{dB}$；相位 ${\varphi }_{tot}=-{\tan }^{-1}(1)-{\tan }^{-1}(1500/3000)=-45°-26.6°=-71.6°$。

7–2 节自查（附答案）

1. 若某运放各级增益为 20 dB 和 30 dB，总增益多少 dB？ 答：$A_{v(tot)}^{\prime }=20+30=50\mathrm{dB}$（dB 增益相加）。
2. 若各级相位滞后分别为 $-49°$ 和 $-5.2°$，总相位滞后是多少？ 答：${\varphi }_{tot}=-49°+(-5.2°)=-54.2°$（相位滞后相加）。

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7–3 运算放大器的闭环响应

7–3.1 为什么要闭环

运放正常使用时几乎都是闭环（closed-loop）+ 负反馈（negative feedback）配置，目的是精确控制增益和带宽——毕竟开环增益既大又不可控。回忆第 6 章的三种基本组态闭环增益公式：

同相放大器（noninverting amplifier）：

$$A_{cl(\mathrm{NI})}=\frac{R_f}{R_i}+1$$

电压跟随器（voltage-follower）：

$$A_{cl(\mathrm{VF})}\cong 1$$

反相放大器（inverting amplifier）：

$$A_{cl(\mathrm{I})}\cong -\frac{R_f}{R_i}$$

7–3.2 负反馈对带宽的影响：牺牲增益，换回带宽

负反馈把中频增益压低了，作为回报，带宽被拉大了。闭环临界频率为：

$$f_{c(cl)}=f_{c(ol)}(1+B{A}_{ol(mid)})\text{\hspace{1em}(7–4)}$$

即闭环临界频率比开环临界频率大了 $(1+B{A}_{ol(mid)})$ 倍，其中 $B$ 是反馈网络的衰减系数（feedback attenuation），$B=R_i/(R_i+R_f)$。

由于闭环放大器的带宽就等于其临界频率（运放中频响应一直延伸到直流，下限频率为 0），带宽同样扩大相同的倍数：

$$B{W}_{cl}=B{W}_{ol}(1+B{A}_{ol(mid)})\text{\hspace{1em}(7–5)}$$

常见坑：别把 B 和 β 搞混，也别忘了 B 的取值

这里的 $B$ 是反馈衰减（输出被反馈网络分到多少比例回输入），永远 ≤ 1，不要与晶体管的 $\beta$ 混为一谈。代入公式时先算清楚 $B=R_i/(R_i+R_f)$，很多错误都出在把 $R_f/R_i$ 的比值直接当 B 用。

例 7–4：求闭环带宽

已知：某放大器开环中频增益 $A_{ol(mid)}=150,000$，开环 3 dB 带宽 $B{W}_{ol}=200\mathrm{Hz}$，反馈环路衰减 $B=0.002$。

求：闭环带宽。

解：直接用式 (7–5)：

$$B{W}_{cl}=B{W}_{ol}(1+B{A}_{ol(mid)})=200\mathrm{Hz}[1+(0.002)(150,000)]=200\times 301=60.2\mathrm{kHz}$$

也就是说，负反馈把带宽从 200 Hz 扩大到了 60.2 kHz——整整 300 倍。

练习题：若 $A_{ol(mid)}=200,000$、$B=0.05$，闭环带宽是多少？

练习题答案：2.00 MHz

$B{W}_{cl}=B{W}_{ol}(1+B{A}_{ol(mid)})$。由增益带宽积守恒，$B{W}_{ol}\cdot A_{ol}=200\times 200,000$… 更直接地：本例中 $1+BA=1+0.05\times 200,000=10001$，配合原书给出的答案 $2.00\mathrm{MHz}$（对应开环带宽 200 Hz 时 $B{W}_{cl}=200\times 10^4\approx 2.00\mathrm{MHz}$）。

7–3.3 图形理解：两条曲线的交点

图 7–8：闭环增益与开环增益的比较（原书图）

看图 7–8（补偿型运放）：

• 开环增益曲线在低频很高，从 $f_{c(ol)}$ 开始以 −20 dB/decade 滚降；
• 加负反馈后，中频段闭环增益是一条水平线，且与开环增益无关（这就是负反馈的好处：增益由电阻决定，稳定可控）；
• 水平线与开环曲线的交点就是闭环临界频率 $f_{c(cl)}$；
• 交点之后，闭环增益沿着开环曲线同样的 −20 dB/decade 滚降——因为此时开环增益已经不够用了，负反馈”保不住”恒定增益了。

7–3.4 增益带宽积（GBW）：鱼与熊掌不可兼得

从图 7–8 能直观看出：闭环增益越高，交点越靠左，带宽越小；反之增益越低带宽越大。只要滚降速率固定为 −20 dB/decade，增益与带宽的乘积就是常数。设 $A_{cl}$ 为任意闭环组态的增益，$f_{c(cl)}$ 为闭环临界频率（= 闭环带宽），则：

$$A_{cl}{f}_{c(cl)}=A_{ol}{f}_{c(ol)}$$

这个乘积恒等于开环增益降到 1（0 dB）时的频率，即单位增益带宽（unity-gain bandwidth）：

$$A_{cl}{f}_{c(cl)}=\text{unity-gain bandwidth}\text{\hspace{1em}(7–6)}$$

通关标准：看到"增益带宽积"四个字要能脱口而出

(1) 增益带宽积 = 单位增益带宽，是器件常数；(2) 提高闭环增益必然压缩带宽，反之亦然；(3) 它成立的前提是滚降率为 −20 dB/decade。能给定任意两个量求第三个，就算过关。

例 7–5：两种组态的带宽各是多少

已知：图 7–9 中两个运放的 $A_{ol}^{\prime }=100\mathrm{dB}$，单位增益带宽 $=3\mathrm{MHz}$。

图 7–9(b)：例 7–5 的反相放大器电路（$R_f=47\mathrm{k\Omega },R_i=1.0\mathrm{k\Omega }$）（原书图）

图 7–9(a)：例 7–5 的同相放大器电路（$R_f=220\mathrm{k\Omega },R_i=3.3\mathrm{k\Omega }$）（原书图）

图：Multisim 仿真——演示闭环电压增益对运放带宽的影响（配套网站文件 F07-09）（原书图）

解：

(a) 同相放大器：先求闭环增益：

$$A_{cl(\mathrm{NI})}=\frac{R_f}{R_i}+1=\frac{220\mathrm{k\Omega }}{3.3\mathrm{k\Omega }}+1=66.7+1=67.7$$

用式 (7–6) 解出 $f_{c(cl)}$（即闭环带宽）：

$$f_{c(cl)}=B{W}_{cl}=\frac{\text{unity-gain }BW}{A_{cl}}=\frac{3\mathrm{MHz}}{67.7}=44.3\mathrm{kHz}$$

(b) 反相放大器：闭环增益为：

$$A_{cl(\mathrm{I})}=-\frac{R_f}{R_i}=-\frac{47\mathrm{k\Omega }}{1.0\mathrm{k\Omega }}=-47$$

取绝对值代入式 (7–6)：

$$B{W}_{cl}=\frac{3\mathrm{MHz}}{47}=63.8\mathrm{kHz}$$

练习题：若两运放的 $A_{ol}^{\prime }=90\mathrm{dB}$、单位增益带宽 $=2\mathrm{MHz}$，求各自带宽。

练习题答案：(a) 29.6 kHz；(b) 42.6 kHz

电阻没变，闭环增益不变（67.7 与 47），直接用新的单位增益带宽：$2\mathrm{MHz}/67.7=29.6\mathrm{kHz}$；$2\mathrm{MHz}/47=42.6\mathrm{kHz}$。注意 $A_{ol}^{\prime }=90\mathrm{dB}$ 这个条件只用来确认开环增益远大于闭环增益。

7–3 节自查（附答案）

1. 闭环增益总比开环增益小吗？答：是的，$A_{cl}$ 总是小于 $A_{ol}$。
2. 某运放接成增益 30、带宽 100 kHz 的反馈组态。若改电阻把增益提高到 60，新带宽是多少？答：增益带宽积不变，$30\times 100\mathrm{kHz}=3000\mathrm{kHz}$，故 $BW=3000/60=50\mathrm{kHz}$。
3. 该运放的单位增益带宽是多少？答：$3000\mathrm{kHz}/1=3\mathrm{MHz}$。

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7–4 正反馈与稳定性

本节可作选修（optional），但它解释了放大器"为什么会自己叫起来"，强烈建议读。

7–4.1 什么是稳定性、为什么会不稳定

**稳定（stable）**指运放在任何条件下都不振荡。不稳定（instability）的表现是：输入端明明没有信号（或只有噪声、瞬态电压），输出端却出现不想要的电压摆动——即振荡（oscillation）。

要理解不稳定，先看它的成因：

• 负反馈：反馈信号与输入信号反相，相减，增益被压低——只要反馈是负的，放大器就是稳定的。
• 正反馈（positive feedback）：反馈信号与输入信号同相，相加，放大器可能振荡。当信号经过运放和反馈网络一圈回到输入端时总相移为 360°（等价于 0°），就发生了正反馈。

7–4.2 环路增益：振荡的第二个条件

振荡需要同时满足两个条件：

1. 存在正反馈（总相移达到 360°）；
2. 环路增益（loop gain）大于 1。

环路增益定义为运放开环增益乘以反馈网络衰减：

$$\text{Loop gain}=A_{ol}B\text{\hspace{1em}(7–7)}$$

直观理解：如果绕一圈回来的信号与输入同相、而且比原输入还大，那每一圈都会越滚越大——这就是振荡。如果同相但回来的信号比原输入小，振荡起不来。

7–4.3 相位裕度：离”翻车”还有多远

看图 7–10 的三种反馈组态（同相放大器、电压跟随器、反相放大器），它们的共同点是：反馈环路都接在反相输入端。反相端到输出之间本来就有 180° 的固有反相，再加上运放内部 RC 滞后网络产生的额外相移 ${\varphi }_{tot}$，绕环总相移为：

$$180°+{\varphi }_{tot}$$

图 7–10(a)：同相放大器的反馈环路相移（原书图）

图 7–10(b)：电压跟随器的反馈环路相移（原书图）

图 7–10(c)：反相放大器的反馈环路相移（原书图）

相位裕度（phase margin）${\varphi }_{pm}$ 定义为：使绕环总相移达到 360° 还缺少的那部分额外相移：

$$180°+{\varphi }_{tot}+{\varphi }_{pm}=360°$$ $${\varphi }_{pm}=180°-|{\varphi }_{tot}|\text{\hspace{1em}(7–8)}$$

判据非常简洁：

• ${\varphi }_{pm}>0$：总相移不足 360°，稳定；
• ${\varphi }_{pm}\le 0$：反馈信号可能与输入同相，潜在不稳定——当 ${\varphi }_{tot}$ 达到或超过 180° 时，相位裕度为 0 或负，电路会振荡。

常见坑："稳定"不等于"裕度大就随便用"

相位裕度刚好为正一点点（比如 +3.6°）虽然在理论上稳定，但实际中由于杂散电容、电源噪声等额外路径，很可能照样振起来。工程经验：至少留 45° 相位裕度才够安全。

7–4.4 稳定性分析：看闭环增益线和开环曲线在哪里相交

大多数运放电路的环路增益都大于 1，所以稳定性取决于内部滞后网络的相位角。补偿型运放只有一个起主导作用的临界频率，反馈稳定性基本不成为问题；稳定性问题一般出现在非补偿型多级运放上，且发生在接近单位增益频率的区域。

以一个三级非补偿运放为例（临界频率 $f_{c1}=1\mathrm{kHz}$、$f_{c2}=10\mathrm{kHz}$、$f_{c3}=100\mathrm{kHz}$）：

图 7–11：三级运放响应的波特图（Bode plot）示例（原书图）

从波特图看：过 $f_{c1}$ 后以 −20 dB/decade 滚降，过 $f_{c2}$ 后变为 −40 dB/decade，过 $f_{c3}$ 后变为 −60 dB/decade。分析方法：画一条水平的中频闭环增益线，看它与开环曲线相交在哪个斜率段上，再算交点频率处的相位裕度。下面三个例子对应三种典型情形。

情形 1（Case 1）：交在 −20 dB/decade 段 → 稳定

闭环中频增益 106 dB，闭环临界频率 5 kHz（交点）。在此频率处三个滞后网络的总相移：

$${\varphi }_{tot}=-{\tan }^{-1}\left(\frac{f}{f_{c1}}\right)-{\tan }^{-1}\left(\frac{f}{f_{c2}}\right)-{\tan }^{-1}\left(\frac{f}{f_{c3}}\right)$$

代入 $f=5\mathrm{kHz}$、$f_{c1}=1\mathrm{kHz}$、$f_{c2}=10\mathrm{kHz}$、$f_{c3}=100\mathrm{kHz}$：

$$\begin{array}{rl}{\varphi }_{tot}& =-{\tan }^{-1}\left(\frac{5}{1}\right)-{\tan }^{-1}\left(\frac{5}{10}\right)-{\tan }^{-1}\left(\frac{5}{100}\right)\\ & =-78.7°-26.6°-2.9°=-108.1°\end{array}$$

图 7–12：情形 1——闭环增益交在 −20 dB/decade 斜率上（稳定工作）（原书图）

相位裕度：

$${\varphi }_{pm}=180°-|{\varphi }_{tot}|=180°-108.1°=+71.9°$$

裕度充足，中频段所有频率都稳定。一般规律：闭环增益线只要交在 −20 dB/decade 斜率段上，放大器在整个中频段都稳定。

情形 2（Case 2）：交在 −40 dB/decade 段 → 临界稳定

闭环增益降到 80 dB，交点约在 30 kHz。此处总相移：

$$\begin{array}{rl}{\varphi }_{tot}& =-{\tan }^{-1}\left(\frac{30\mathrm{kHz}}{1\mathrm{kHz}}\right)-{\tan }^{-1}\left(\frac{30\mathrm{kHz}}{10\mathrm{kHz}}\right)-{\tan }^{-1}\left(\frac{30\mathrm{kHz}}{100\mathrm{kHz}}\right)\\ & =-88.1°-71.6°-16.7°=-176.4°\end{array}$$

图 7–13：情形 2——闭环增益交在 −40 dB/decade 斜率上（临界稳定）（原书图）

相位裕度：

$${\varphi }_{pm}=180°-176.4°=+3.6°$$

虽然还是正的，中频段名义上稳定，但只要频率再稍微超过 $f_c$ 一点就会振荡——临界稳定（marginally stable），实际中可能因其他寄生路径而振荡。因为不稳定点就在 ${\varphi }_{pm}=0°$ 处，3.6° 的余量形同虚设。再次强调：建议最小 45° 相位裕度。

情形 3（Case 3）：交在 −60 dB/decade 段 → 不稳定

闭环增益进一步降到 18 dB，交点在 500 kHz。此处总相移：

$$\begin{array}{rl}{\varphi }_{tot}& =-{\tan }^{-1}\left(\frac{500\mathrm{kHz}}{1\mathrm{kHz}}\right)-{\tan }^{-1}\left(\frac{500\mathrm{kHz}}{10\mathrm{kHz}}\right)-{\tan }^{-1}\left(\frac{500\mathrm{kHz}}{100\mathrm{kHz}}\right)\\ & =-89.9°-88.9°-78.7°=-257.5°\end{array}$$

图 7–14：情形 3——闭环增益交在 −60 dB/decade 斜率上（不稳定工作）（原书图）

相位裕度：

$${\varphi }_{pm}=180°-257.5°=-77.5°$$

裕度为负，在中频段高端直接不稳定。

稳定性判据小结：

• 闭环增益线交在 −20 dB/decade 斜率段 → 整个中频段稳定；
• 交在 −40 dB/decade 段 → 临界稳定或完全不稳定（本例中闭环增益必须大于约 72 dB 才安全）；
• 交在 −60 dB/decade 段 → 除非用专门设计的反馈网络，中频段内必然出现不稳定。

一句话：要保证中频段全稳定，运放必须工作在”从主导临界频率开始滚降率不超过 −20 dB/decade”的闭环增益上。

通关标准：会用"交点斜率法"快速判断稳定性

给一张开环波特图和一个闭环增益值，先画水平增益线找交点，看交点落在哪个斜率段（−20 稳 / −40 临界 / −60 不稳），再用 ${\varphi }_{pm}=180°-|{\varphi }_{tot}|$ 算出具体裕度——两步走，就是本节的全部套路。

7–4.5 排查不想要的振荡

即使相位裕度为负（情形 3），也可以用专门设计的反馈网络挽救：在反馈通路中加**超前网络（lead network）**可以增大相位裕度；有些设计甚至会加入带放大器或其他有源元件的复杂反馈网络来提高稳定性。

但不是所有振荡都怪反馈网络。判断线索：如果振荡频率不在运放单位增益频率附近，问题多半不在反馈环。可能的原因包括：外部反馈路径（寄生耦合）、接地问题、电源线耦合进来的噪声。

一个简单测试：把增益调大，看振荡是否消失（这相当于让闭环增益线与开环曲线在更高处相交）。若振荡消失，说明是相位裕度问题；若依然振荡，得另找原因。

消除振荡的实操手段：

• 检查地线路径，尽量单点接地（single-point grounding）；
• 给电源加旁路电容（bypass capacitor）：低频时一只 $1\mu \mathrm{F}\sim 10\mu \mathrm{F}$ 钽电容往往就够了；高频时单只电容可能自谐振，需要再并联一只次级旁路电容；
• 消除到输入端的杂散电容耦合路径——面包板（尤其没有地平面的）和过长的导线都是嫌疑犯（记住：导线本身有电容）；
• 若振荡来自邻近干扰源，需要屏蔽；用短引线重新搭电路、保证有地平面，也可能直接解决问题。

7–4.6 系统层面的噪声（SYSTEM NOTE）

很多系统的多个机箱/部件共用电源，长长的电源电缆既容易拾取噪声、又是传导噪声的路径。对策：

• 每块电路板/部件的电源入口处装 0.1 ～ 1 $\mu \mathrm{F}$ 钽电容；
• 电路板上每 3～4 片 IC 就要在电源线上加旁路电容；
• 有些设计会在每块板上加独立稳压器来隔离主电源——改动很小，却能治好传导噪声。

图 SN7–1：用于 EMI 防护的射频衬垫（gasket）材料（原书图，Courtesy of Leader Tech, Tampa, FL.）

图：系统笔记配图——机箱与屏蔽结构（原书图）

像雷达这类系统里，大功率电路与灵敏接收电路共存于同一系统。为避免噪声问题：把大功率信号和电力电缆与低电平信号线隔离开；机箱盖板和屏蔽罩要保持完好归位（既为安全也防辐射噪声）；很多系统在门和机箱上使用电磁屏蔽衬垫来阻断电磁干扰（EMI, electromagnetic interference）路径——门没关严、盖板留着缝，屏蔽就全白做了，所以良好的装配习惯很重要。

7–4 节自查（附答案）

1. 什么反馈条件下放大器可能振荡？答：正反馈。
2. 放大器内部 RC 网络的相移达到多少就会不稳定？此时相位裕度是多少？答：180°；相位裕度为 0°。
3. 运放开环增益的最大滚降率是多少时器件仍能稳定？答：−20 dB/decade（−6 dB/倍频）。

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7–5 运算放大器的相位补偿

本节同样可作选修（optional）。

7–5.1 为什么要补偿

7–4 节的结论有点尴尬：想稳定，闭环增益就得很高（交在 −20 dB/decade 段）。但实际应用常常需要较低的闭环增益。要让运放在低增益下也稳定，就必须做相位滞后补偿（phase-lag compensation）。

不稳定根源是内部滞后网络造成的过度相移（达到或超过 180°）。补偿的思路：要么消灭开环响应中所有超过 −20 dB/decade 的滚降段，要么把 −20 dB/decade 段延伸到更低的增益。图 7–15 展示了这一概念。

图 7–15：相位补偿对典型运放开环增益影响的波特图（原书图）

7–5.2 补偿网络怎么工作

集成运放的补偿分内部补偿和外部补偿两条路，本质都是加一个 RC 网络。先看基本 RC 补偿网络的行为（图 7–16）：

• 低频时，补偿电容 $C_c$ 的容抗 $X_{C_c}$ 极大，输出约等于输入；
• 频率达到临界值 $f_c=1/[2\pi (R_1+R_2)C_c]$ 后，输出以 −20 dB/decade 下降；
• 一直滚到 $X_{C_c}\cong 0$，输出趋于由 $R_1$、$R_2$ 分压决定的水平值。

图 7–16(a)：基本补偿网络电路（原书图）

图 7–16(b)：理想输出电压——以 −20 dB/decade 滚降后趋于平坦（原书图）

把它接到运放里看整体效果（图 7–17，两级运放，补偿网络接在第 1 级输出端的 A 点）：

图 7–17：带补偿网络的运放表示（原书图）

关键设计：补偿网络的临界频率设置得比内部滞后网络的主导（最低）临界频率还低。于是：

1. 从补偿网络的临界频率起，−20 dB/decade 滚降提前开始；
2. 滚到主导滞后网络的临界频率处，补偿网络的响应趋于平坦，由主导网络的 −20 dB/decade 接棒；
3. 净效果：整条开环响应曲线左移——带宽变小了（图 7–18）。

图 7–18：补偿后运放频率响应示例（原书图）

图 7–18 配图：补偿网络响应曲线与总开环响应的对应关系（原书图）

例 7–6：设计补偿网络

已知：某运放开环响应如图 7–19，保证稳定的最低闭环增益约为 40 dB（增益线再低就交到 −40 dB/decade 段了）。某应用需要 20 dB 闭环增益。

求：(a) 补偿网络的临界频率；(b) 补偿网络的理想响应曲线；(c) 补偿后的总理想开环响应。

图 7–19：例 7–6 的开环响应（未补偿）（原书图）

解：

(a) 目标是让 −20 dB/decade 的滚降一直延伸到 20 dB（而不是 40 dB）。也就是说中频开环增益要提前一个十倍频（decade）开始滚降，因此补偿网络的临界频率必须设为 10 Hz。

(b) 补偿网络的滚降必须在 100 Hz 处结束（提前一个 decade，平坦点也从原主导临界频率提前一个 decade），如图 7–20(a)。

(c) 补偿后的总开环响应如图 7–20(b)：−20 dB/decade 段现在延伸到了 20 dB 增益，闭环增益 20 dB 时交点仍落在 −20 dB/decade 段上，稳定有保障。

图 7–20(a)：补偿网络的响应（原书图）

图 7–20(b)：补偿后的总开环响应（原书图）

练习题：本例中未补偿带宽是多少？补偿后带宽又是多少？

练习题答案：100 Hz；10 Hz

未补偿时 −20 dB/decade 从主导临界频率开始，40 dB 增益对应的交点即原带宽 100 Hz；补偿后整体左移一个 decade，20 dB 增益对应带宽 10 Hz。补偿的代价就是带宽缩了 10 倍。

7–5.3 补偿到什么程度

补偿电容越大 → 滚降开始得越早 → −20 dB/decade 段延伸到越低的增益（图 7–21(a)）。电容足够大时，可以把 −20 dB/decade 斜率一直延伸到单位增益（图 7–21(b)），这时运放无条件稳定（unconditionally stable）——任何闭环增益下都稳定。厂家做内部补偿的运放通常就是这种。

图 7–21(a)：部分补偿——−20 dB/decade 段只延伸到较低但不到单位增益（原书图）

图 7–21：补偿程度——完全补偿时 −20 dB/decade 一直延伸到单位增益（原书图）

但内部完全补偿有代价：带宽被牺牲，压摆率（slew rate）随之下降。所以很多 IC 运放提供外部补偿引脚——按应用”够用就好”，不多牺牲性能。图 7–22 是 LM101A 运放的典型封装，留出了外部补偿引脚。

图 7–22(a)：典型运放封装（LM101A，8 引脚）（原书图）

图 7–22(b)：8 引脚 DIP 或 SMT 封装（顶视图）（原书图）

图 7–22(c)：表面贴装芯片载体（顶视图）（原书图）

7–5.4 单电容补偿

以 LM101A 为例：在反相放大器配置中，把补偿电容 $C_1$ 接到引脚 1 和 8（图 7–23(a)）。$C_1$ 取两个值时的开环响应曲线见图 7–23(b)：

• $C_1=3\mathrm{pF}$：单位增益带宽接近 10 MHz；
• $C_1$ 增大 10 倍到 30 pF：带宽缩小 10 倍，此时 −20 dB/decade 斜率一直延伸穿过单位增益（完全补偿）。

闭环使用时（图 7–23(c)），有效带宽取决于 $C_1$：闭环增益 40 dB 时，$C_1=30\mathrm{pF}$ 带宽约 10 kHz；把 $C_1$ 减到 3 pF，带宽升到约 100 kHz。

图 7–23(a)：LM101A 反相放大器的单电容补偿接法（$C_1$ 接引脚 1、8）（原书图）

图 7–23(b)：两种 $C_1$ 值（3 pF 与 30 pF）对应的开环响应曲线（原书图）

图 7–23(c)：闭环增益 40 dB 时不同 $C_1$ 对应的带宽（原书图）

7–5.5 前馈补偿

另一种相位补偿方法叫前馈补偿（feedforward compensation），带宽损失更小。基本思路：高频时把运放的内部输入级旁路掉，直接驱动频率特性更好的第二级（图 7–24）。

图 7–24：前馈补偿——高频时旁路第一级（原书图）

LM101A 的前馈补偿接法见图 7–25(a)：前馈电容 $C_1$ 从反相输入端接到补偿端子；为保证稳定还需在 $R_f$ 上并联一个小电容。图 7–25(b) 的波特图对比了前馈补偿响应和前面讲的标准补偿响应——前馈的带宽损失明显更小。

图 7–25(a)：LM101A 前馈补偿——制造商推荐配置（原书图）

图 7–25(b)：LM101A 前馈补偿与标准补偿的响应曲线对比（原书图）

常见坑：前馈补偿只适用于反相放大器

前馈补偿的使用限制在反相放大器组态（信号从反相端进，才能用电容把反相端与第二级”短接”起来）。同相放大器想提速，只能用其他补偿方法。具体型号怎么补，优先查厂家数据手册（data sheet）的推荐电路。

7–5 节自查（附答案）

1. 相位补偿的目的是什么？答：在给定频率下增大相位裕度（让运放在低闭环增益下也稳定）。
2. 内部补偿和外部补偿的主要区别是什么？答：内部补偿是完全补偿（牺牲带宽换省心）；外部补偿可按需定制，把带宽最大化。
3. 补偿放大器后，带宽变大还是变小？答：变小。

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本章小结与关键公式

小结要点

• 开环增益：运放不加反馈时的电压增益；闭环增益：加负反馈后的电压增益。闭环增益总是小于开环增益。
• 运放的中频增益一直延伸到直流（0 Hz）；超过临界频率后增益开始下降。
• 造成滚降和相移的元凶是放大级内部固有的 RC 滞后网络。
• 负反馈降低增益、增大带宽；对补偿型运放，增益带宽积恒定，且等于单位增益频率。
• 正反馈：信号经运放（含 180° 反相）和反馈网络的总相移达到 0°（等价 360°）或更多时发生。
• 相位裕度：使绕环总相移达到 360° 还差的额外相移量。
• 闭环增益线交在开环曲线的 −20 dB/decade 斜率段 → 稳定；交在更陡的斜率段 → 临界稳定或不稳定。
• 建议最小相位裕度 45°，以留足安全余量。
• 完全补偿的运放 −20 dB/decade 滚降一直延伸到单位增益（如 741）；外部补偿运放（如 LM101A）可按应用定制补偿，不过度牺牲带宽和压摆率。

关键术语

术语	英文	含义
带宽	Bandwidth	下限临界频率与上限临界频率之间的频率范围
环路增益	Loop gain	运放开环电压增益 × 反馈网络衰减（$A_{ol}B$）
相移	Phase shift	时变信号相对参考量的角度偏移
相位裕度	Phase margin	放大器总相移与 180° 之差；距不稳定还允许的额外相移量
正反馈	Positive feedback	输出信号的一部分以与输入同相的方式返回输入，加强输出
稳定性	Stability	放大电路不振荡的状态

关键公式

$$BW=f_{cu}\text{\hspace{1em}(7–1)}$$

运放带宽（中频响应延伸到直流，带宽即上限临界频率）

$$A_{ol}=\frac{A_{ol(mid)}}{\sqrt{1+f^2/f_c^2}}\text{\hspace{1em}(7–2)}$$

开环增益随频率的变化

$$\varphi =-{\tan }^{-1}\left(\frac{f}{f_c}\right)\text{\hspace{1em}(7–3)}$$

RC 网络相移

$$f_{c(cl)}=f_{c(ol)}(1+B{A}_{ol(mid)})\text{\hspace{1em}(7–4)}$$

闭环临界频率

$$B{W}_{cl}=B{W}_{ol}(1+B{A}_{ol(mid)})\text{\hspace{1em}(7–5)}$$

闭环带宽

$$A_{cl}{f}_{c(cl)}=\text{unity-gain bandwidth}\text{\hspace{1em}(7–6)}$$

增益带宽积

$$\text{Loop gain}=A_{ol}B\text{\hspace{1em}(7–7)}$$

环路增益

$${\varphi }_{pm}=180°-|{\varphi }_{tot}|\text{\hspace{1em}(7–8)}$$

相位裕度

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自测与习题

自测题（Self-Test，附答案）

1. 运放的开环增益总是____闭环增益。（c：大于）
2. 某 ac 放大器下限临界频率 1 kHz、上限临界频率 10 kHz，带宽为____。（b：9 kHz）
3. 某 dc 放大器上限临界频率 100 kHz，带宽为____。（a：100 kHz）
4. 运放的中频开环增益____。（b：从 0 Hz 延伸到上限临界频率）
5. 开环增益等于 1 的频率叫____。（d：单位增益频率）
6. 运放的相移由____引起。（a：内部 RC 网络）
7. 运放中的每个 RC 网络____。（d：使增益以 −6 dB/倍频 和 −20 dB/十倍频 滚降）
8. 使用负反馈时，运放的增益带宽积____。（c：不变）
9. 同相运放中频开环增益 200,000、单位增益频率 5 MHz，增益带宽积为____。（b：5,000,000 Hz）
10. 同相运放闭环增益 20、上限临界频率 10 MHz，增益带宽积为____。（d：(a) 200 MHz 且 (c) 等于单位增益频率）
11. 正反馈发生在____。（d：(a) 输出与输入同相回馈 且 (c) 总相移 360°）
12. 闭环运放电路不稳定的条件是____。（d：(a) 存在正反馈 且 (b) 环路增益大于 1）
13. 使闭环总相移达到零（360°）所需的额外相移量叫____。（b：相位裕度）
14. 给定闭环增益下，正的相位裕度表示____。（c：稳定）
15. 相位滞后补偿的目的是____。（b：让运放在低增益下稳定）

自测题配图：

图：自测题部分配图（原书图）

排障小测验（Troubleshooter’s Quiz，附答案）

参照图 7–29(a)（同相放大器）。若 $R_f$ 用了 100 kΩ 而不是规定的 150 kΩ：

1. 低频输入信号时增益将____（答案：减小）；
2. 带宽将____（答案：增大）；
3. 增益带宽积将____（答案：不变）。

若运放的 $f_c$ 为 200 Hz 而不是规定的 150 Hz：

4. 带宽将____（答案：增大）；
5. 低频输入信号时增益将____（答案：不变）；
6. （增益将____，答案：增大）；
7. （增益带宽积将____，答案：不变）。

参照图 7–25(a)。若 $C_2$ 开路：

8. 稳定性将____（答案：减小）。

若 $R$ 大于规定值：

9. 带宽将____（答案：减小）；
10. 增益带宽积将____（答案：不变）。

若补偿电容 $C$ 开路：

11. 带宽将____（答案：增大）；
12. 稳定性将____（答案：减小）。

图 7–26：习题 6 用图——两个 RC 网络（原书图）

习题（Problems）

奇数题答案在原书末尾。此处保留原书配图并给出题目大意。

7–1 节（Basic Concepts）

1. 某运放中频开环增益 120 dB，负反馈把它降低 50 dB，闭环增益是多少？
2. 某运放开环响应的上限临界频率 200 Hz，中频增益 175,000。200 Hz 处的理想增益是多少？实际增益是多少？开环带宽是多少？
3. RC 滞后网络临界频率 5 kHz、电阻 1.0 kΩ，求 f = 3 kHz 时的 $X_C$。
4. RC 滞后网络 $f_c=12$ kHz，求 (a) 1 kHz (b) 5 kHz (c) 12 kHz (d) 20 kHz (e) 100 kHz 时的衰减。
5. 某运放中频开环增益 80,000、开环临界频率 1 kHz，求 (a) 100 Hz (b) 1 kHz (c) 10 kHz (d) 1 MHz 时的开环增益。
6. 求 2 kHz 时图 7–26 中每个网络的相移。
7. RC 滞后网络临界频率 8.5 kHz，求 (a) 100 Hz (b) 400 Hz (c) 850 Hz (d) 8.5 kHz (e) 25 kHz (f) 85 kHz 的相移并画相频曲线。

7–2 节（Op-Amp Open-Loop Response）

8. 某运放三级中频增益为 30 dB、40 dB、20 dB，临界频率 $f_{c1}=600\mathrm{Hz}$、$f_{c2}=50\mathrm{kHz}$、$f_{c3}=200\mathrm{kHz}$。(a) 中频开环增益（dB）是多少？(b) 信号频率 10 kHz 时含反相在内的总相移是多少？
9. 题 8 中下列频段的滚降率各是多少？(a) 0–600 Hz (b) 600 Hz–50 kHz (c) 50–200 kHz (d) 200 kHz–1 MHz

7–3 节（Op-Amp Closed-Loop Response）

10. 某放大器中频开环增益 180,000、开环临界频率 1500 Hz，反馈路径衰减 0.015，求闭环带宽。
11. 求图 7–27 中各放大器的中频增益（dB）。这些是开环增益还是闭环增益？
12. 已知 $f_{c(ol)}=750\mathrm{Hz}$、$A_{ol}^{\prime }=89\mathrm{dB}$、$f_{c(cl)}=5.5\mathrm{kHz}$，求闭环增益（dB）。
13. 题 12 的单位增益带宽是多少？
14. 对图 7–28 中每个放大器求闭环增益和带宽。运放开环增益 125 dB、单位增益带宽 2.8 MHz。
15. 图 7–29 中哪个放大器带宽更小？

图 7–27：习题 11 用图 (a)（原书图）

图 7–27：习题 11 用图 (b)(c)（原书图）

图 7–28：习题 14 用图 (b)（原书图）

图 7–28：习题 14 用图 (a)（原书图）

图 7–28：习题 14 用图 (d)（原书图）

图 7–29：习题 15 用图 (a)（原书图）

图 7–29：习题 15 用图 (b)（原书图）

7–4 节（Positive Feedback and Stability）

16. 图 7–30 运放电路的三个内部临界频率为 1.2 kHz、50 kHz、250 kHz，中频开环增益 100 dB。该放大器组态是稳定、临界稳定还是不稳定？
17. 对下列相位滞后分别求相位裕度：(a) 30° (b) 60° (c) 120° (d) 180° (e) 210°。
18. 某运放开环响应的内部临界频率为 125 Hz、25 kHz、180 kHz。信号频率 50 kHz 时通过放大器的总相移是多少？
19. 图 7–31 的每张图都画出了某运放配置的开环与闭环响应，逐一分析各情形的稳定性。

图 7–30：习题 16 用图（原书图）

图 7–30：习题 16 用图 (b)（原书图）

图 7–31：习题 19 用图 (b)（原书图）

图 7–31：习题 19 用图 (c)（原书图）

7–5 节（Op-Amp Compensation）

20. 某运放开环响应如图 7–32。某应用需要 30 dB 闭环中频增益，但 30 dB 增益线交在未补偿开环增益的 −40 dB/decade 段，稳定性无保障，必须加补偿。(a) 求补偿网络的临界频率，使 −20 dB/decade 斜率下延到与 30 dB 增益线相交；(b) 画补偿网络的理想响应曲线；(c) 画补偿后的总理想开环响应。
21. 某运放开环增益从 $f=250\mathrm{Hz}$ 起以 −20 dB/decade 滚降，该滚降延伸到增益 60 dB。若需要 40 dB 闭环增益，补偿网络的临界频率是多少？
22. 把题 21 改为 20 dB 闭环增益，重做。

图 7–32：习题 20 用图——未补偿开环响应（原书图）

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自测题 1：补偿型运放每经过一个新的临界频率，滚降率怎么变？

答：每经过一个临界频率，总滚降率增加 −20 dB/decade（−6 dB/倍频）。三级非补偿运放最终可达 −60 dB/decade；而补偿型运放只有一个临界频率，从 $f_c$ 到单位增益全程保持 −20 dB/decade。

自测题 2：负反馈让增益从 150,000 掉到可控值，带宽却从 200 Hz 变成 60.2 kHz——请写出中间那步公式。

答：$B{W}_{cl}=B{W}_{ol}(1+B{A}_{ol(mid)})=200\mathrm{Hz}\times [1+(0.002)(150,000)]=200\times 301=60.2\mathrm{kHz}$（式 7–5）。闭环临界频率扩大的倍数正是 $1+B{A}_{ol(mid)}$，带宽与临界频率同步扩大。

自测题 3：振荡的两个必要条件是什么？各自的物理含义？

答：(1) 正反馈——信号绕环路一圈（含运放 180° 反相和内部滞后网络相移）总相移达 360°，反馈信号与输入同相；(2) 环路增益大于 1（$A_{ol}B>1$）——绕一圈回来的信号不比原输入弱，扰动才会一圈圈放大成振荡。两者缺一不可。

自测题 4：某三级运放临界频率 1 kHz、10 kHz、100 kHz，闭环增益线与开环曲线交在 30 kHz（−40 dB/decade 段），算相位裕度并判断稳定性。

答：${\varphi }_{tot}=-{\tan }^{-1}(30/1)-{\tan }^{-1}(30/10)-{\tan }^{-1}(30/100)=-88.1°-71.6°-16.7°=-176.4°$；${\varphi }_{pm}=180°-176.4°=+3.6°$。名义上稳定但属临界稳定（marginally stable），实际很可能因寄生路径振荡，需要 ≥ 45° 裕度才安全。

自测题 5：为什么厂家要做"内部完全补偿"的运放（如 741）？代价是什么？

答：好处是 −20 dB/decade 滚降一直延伸到单位增益，运放无条件稳定——任何闭环增益下都不会因反馈而振荡，用户拿来就能用。代价是补偿电容把 −20 dB/decade 起点推到很低的频率，带宽被大幅牺牲，压摆率（slew rate）也随之下降；所以对带宽敏感的应用，可选带外部补偿引脚的型号（如 LM101A）按需定制。