📘 第 2 章：数制、运算与编码

Note

本章回答一个核心问题：数字电路怎样用有限的 0 和 1 表示、运算、传输并校验现实世界的信息？建议先掌握“位权”这个总原则，再学习进制转换、补码运算和编码。

本章导航

1. 十进制与二进制的位权结构
2. 二进制与十进制互换、二进制四则运算
3. 反码、补码和有符号数
4. 十六进制、八进制及其快速互换
5. BCD、Gray、ASCII、Unicode 等编码
6. 奇偶校验、CRC 与 Hamming 码

2.1 十进制：位权是所有进制的共同语言

十进制数字的位权位置关系也可由下图直观看出。

图 2-0　十进制数字位置与位权。

十进制使用 0～9 十个符号；一个数字的意义由“数字 × 所在位置的权”决定。整数位从小数点向左依次是 $10^0,10^1,10^2,\dots$，小数位向右依次是 $10^{-1},10^{-2},\dots$。

例如 $47=(4\times 10^1)+(7\times 10^0)=40+7$。又如：

$568.23=5\times 10^2+6\times 10^1+8\times 10^0+2\times 10^{-1}+3\times 10^{-2}=500+60+8+0.2+\mathrm{0.03.}$

例 2-1　将 47 写成各位数字值之和：$47=4\times 10+7\times 1=40+7$。相关题：求 939 中每个 9、3、9 的位值。

例 2-2　将 $568.23$ 展开如上。计算器练习：$10^3=1000$。检查题要会判断 7 在 1370、6725、7051、58.72 中分别具有 10、100、1000、0.1 的权。

2.2 二进制数

二进制只有 0、1 两个数字，位权为 $2^k$。最右位称最低有效位（LSB），最左位称最高有效位（MSB）。小数点右侧的权为 $2^{-1}=0.5,2^{-2}=0.25,\dots$。

计数与位数范围

四位二进制从 0000 数到 1111，即十进制 0～15。一般地，$n$ 位无符号数可表示 $2^n$ 种状态，最大值为：

$N_{max}=2^n-1.$

因此 5 位最大 31，6 位最大 63，8 位最大 255。计数器可把传感器脉冲变成二进制状态，再由译码器驱动七段显示器。例如网球计数器数到 9（1001）后换箱并清零。

图 2-1　简单二进制计数应用。

二进制位权与二进制转十进制

整数权从右到左为 $2^0,2^1,2^2,\dots$；小数权从左到右为 $2^{-1},2^{-2},\dots$。只需把所有为 1 的位权相加，0 位权直接忽略。

例 2-3　$1101101_2=2^6+2^5+2^3+2^2+2^0=64+32+8+4+1=109_{10}$。相关题：$10010001_2$。

例 2-4　$0.1011_2=2^{-1}+2^{-3}+2^{-4}=0.5+0.125+0.0625=0.6875_{10}$。相关题：$10.111_2$。

Success

看到二进制小数时，先在小数点下方写出 0.5、0.25、0.125、0.0625……，再挑出 1 所对应的权相加，最不容易出错。

2.3 十进制转二进制

位权法

寻找能够相加得到目标数的二进制权。9=8+1=$2^3+2^0$，所以 $9_{10}=1001_2$。

例 2-5

• $12=8+4\Rightarrow 1100_2$。
• $25=16+8+1\Rightarrow 11001_2$。
• $58=32+16+8+2\Rightarrow 111010_2$。
• $82=64+16+2\Rightarrow 1010010_2$。

相关题：$125_{10}$ 转二进制。

连续除 2 法（整数）

不断用 2 除商，记录余数，直到商为 0；从最后一个余数倒着读，首个余数就是 LSB，末个余数就是 MSB。

例 2-6　19 连续除 2 得余数（1、1、0、0、1），倒序为 $10011_2$；45 得 $101101_2$。计算器练习中，$57_{10}=111001_2$，相关题为 $39_{10}$。

小数转二进制

位权法示例：$0.625=0.5+0.125=2^{-1}+2^{-3}=0.101_2$。

连续乘 2 法：把小数反复乘 2，每次取整数部分作为下一位；保留新的小数部分继续，直到为 0 或达到精度。例 $0.3125\times 2=0.625$ 取 0，$0.625\times 2=1.25$ 取 1，$0.25\times 2=0.5$ 取 0，$0.5\times 2=1.0$ 取 1，所以 $0.3125=0.0101_2$。

2.4 二进制算术

加法

四条基本规则：$0+0=0$，$0+1=1$，$1+0=1$，$1+1=10$（本列写 0，向左进 1）。有进位时还要把进位加入本列。

例 2-7

• $11+11=110$（3+3=6）。
• $100+10=110$（4+2=6）。
• $111+11=1010$（7+3=10）。
• $110+100=1010$（6+4=10）。

减法

$0-0=0$、$1-1=0$、$1-0=1$。遇到 $0-1$ 时，向左借 1；本位得到二进制 10，故 $10-1=1$。

例 2-8　$11-01=10$（3-1=2）；$11-10=01$（3-2=1）。例 2-9　$101-011=010$（5-3=2），右列借位后再逐列相减。相关题：$110-101$。

乘法与除法

乘法规则和十进制 0、1 乘法相同：只要有一个因子为 0，积为 0；$1\times 1=1$。每一行部分积左移一位，再相加。

例 2-10　$11\times 11=1001$（3×3=9）；$101\times 111=100011$（5×7=35）。相关题：$1101\times 1010$。

二进制除法与十进制长除法完全同构。

例 2-11　$110÷11=10$（6÷3=2）；$110÷10=11$（6÷2=3）。相关题：$1100÷100$。

2.5 反码与补码

1 的反码：逐位翻转，0↔1。例如 $10110010\to 01001101$。数字电路中可用一排 NOT 门实现。

图 2-2　用反相器得到反码。

2 的补码：反码加 1，即

$\text{2 的补码}=\text{1 的补码}+1.$

例 2-12　$10110010\to 01001101+1=01001110$。

另一种快速法：从右向左照抄，直到（并包括）第一个 1；其左边所有位翻转。例 2-13：$10111000\to 01001000$。

图 2-3　反相后加 1 得 2 的补码。

2.6 有符号数与浮点数

有符号数最高位是符号位：0 表示正，1 表示负。三种整数表示法为符号-数值、1 的补码、2 的补码；工程中最常用 2 的补码。

三种表示

8 位 +25 的真值为 00011001。

• 符号-数值：-25=10011001（仅符号位变 1）。
• 1 的补码：-25=11100110。
• 2 的补码：-25=11100111。

例 2-14　-39 的 8 位表示：符号-数值 10100111；1 的补码 11011000；2 的补码 11011001。

例 2-15　符号-数值 10010101：符号为负，幅值位 0010101 的值为 21，故为 -21。

例 2-16　1 的补码 00010111=+23；11101000 的权和为 -24，再加 1 得 -23。

例 2-17　2 的补码 01010110=+86；10101010=-128+32+8+2=-86。

Warning

1 的补码有两个零（全 0 与全 1），2 的补码只有一个零；因此 CPU 通常采用 2 的补码。n 位 2 的补码范围是 $-2^{n-1}$ 到 $2^{n-1}-1$，8 位即 -128～+127。

浮点数

浮点数由符号 $S$、指数 $E$、尾数/小数 $F$ 组成。IEEE 单精度为 32 位：1 位符号、8 位偏置指数、23 位尾数。数值公式为：

$(-1{)}^S(1+F)2^{E-127}.$

例 2-18　$32480_{10}=111111011100000_2=1.11111011100000_2\times 2^{14}$，符号位 0，偏置指数 $14+127=141=10001101_2$，尾数取小数点后的 23 位，故格式为 0 10001101 11111011100000000000000。0 用全 0 表示，指数全 1 且尾数全 0 表示无穷大。

2.7 有符号数运算

2 的补码加法只需逐位相加并丢弃最终进位。四种情况是：正+正、较大正+较小负、较大负+较小正、负+负。减法等价于“被减数 + 减数的 2 的补码”。

溢出

只有同号相加才可能溢出：正+正却得负，或负+负却得正。异号相加不会溢出。

例 2-19　把 01000100、00011011、00001110、00010010 依次两两相加：先得第一、二数之和，再把第三、四数加入，最后得到总和；计算机累加字符串也采用此流程。

例 2-20　8 位减法：+8−(+3)=+5；+12−(−9)=+21；−25−(+19)=−44；−120−(−30)=−90。每次先求减数补码，和被减数相加并丢弃进位。

有符号乘除

乘法可用直接重复加法或部分积法。符号相同积为正，不同则为负。例 2-21：01001101×00000100（77×4）用直接加法得 100110100。例 2-22：01010011×11000101，先确定负号，将负乘数转真值，生成部分积左移相加，最后对积求补码并加符号位。

除法可用反复减法；符号相同商为正，否则为负。例 2-23：01100100÷00011001（100÷25），依次减 25 四次，商为 00000100，余数 0。

2.8 十六进制

十六进制基数为 16，符号是 0～9、A～F（A=10，B=11，C=12，D=13，E=14，F=15）。一位十六进制正好对应四位二进制。

十进制	二进制	十六进制
0～9	0000～1001	0～9
10	1010	A
11	1011	B
12	1100	C
13	1101	D
14	1110	E
15	1111	F

转换

二进制转十六进制：从右向左每 4 位分组，不足左侧补 0。例 2-24：1100101001010111→C A 5 7，即 CA57₁₆；111111000101101001 左侧补两个 0 得 3F169₁₆。

十六进制转二进制：每个符号替换为 4 位。例 2-25：10A4₁₆→0001 0000 1010 0100；CF8E₁₆→1100 1111 1000 1110；9742₁₆逐位替换。

十六进制转十进制可先转二进制，也可按 $16^0,16^1,16^2\dots$ 加权。例 2-26：1C₁₆=28₁₀；A85₁₆=2693₁₀。例 2-27：E5₁₆=229₁₀；B2F8₁₆=45816₁₀。

十进制转十六进制：反复除以 16，余数倒读。例 2-28：650₁₀=28A₁₆。

十六进制加减

按列把 A～F 当作 10～15；和超过 15 时减 16 并向左进 1。例 2-29：23+16=39，58+22=7A，2B+84=AF，DF+AC=18B。

减法可把减数转成 2 的补码再相加。求十六进制补码有三法：转二进制后求补码；用最大数减该数再加 1；逐位取十六进制 1 的补码再加 1。

例 2-30　84−2A：2A补码为 D6，84+D6=15A，丢弃进位得 5A；C3−0B：0B补码为 F5，结果 B8。

2.9 八进制

八进制只用 0～7，位权是 $8^0,8^1,\dots$。例如：

$2374_8=2\times 512+3\times 64+7\times 8+4=1276_{10}.$

十进制转八进制用连续除 8 法，359₁₀ 的余数倒读即可得到对应八进制。

每一位八进制对应 3 位二进制：0→000，1→001，…，7→111。

例 2-31：13₈→001 011，25₈→010 101，140₈→001 100 000，7526₈→111 101 010 110。

二进制转八进制从右向左每 3 位分组，左端不足补 0。例 2-32：110101₂→65₈；101111001₂→571₈；100110011010₂→4632₈；11010000100₂→3204₈。

2.10 BCD（8421 码）

BCD 不把整个十进制数当作一个二进制量，而是每个十进制数字单独用 4 位表示：0～9 对应 0000～1001。1010～1111 是无效码。

数字	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
BCD	0000	0001	0010	0011	0100	0101	0110	0111	1000	1001

例 2-33：35→0011 0101；98→1001 1000；170→0001 0111 0000；2469→0010 0100 0110 1001。

例 2-34：1000 0110→86；0011 0101 0001→351；1001 0100 0111 0000→9470。

BCD 加法：先按二进制加；若 4 位结果 >9 或产生组间进位，就加 0110 修正。

例 2-35：3+4=0011+0100=0111；23+15=0010 0011+0001 0101=0011 1000；86+13=99；450+417=867，均无需修正。例 2-36：9+4 先得 1101，再加 0110 得 0001 0011（13）；9+9 因进位修正为 18；16+15→31；67+53→120。

2.11 数字编码

Gray 码

Gray 码是无权码，相邻码字只改变 1 位，适合旋转编码器，能避免多个位同时变化造成的过渡误读。4 位序列为：0000、0001、0011、0010、0110、0111、0101、0100、1100、1101、1111、1110、1010、1011、1001、1000。

二进制转 Gray：Gray 的 MSB 等于二进制 MSB；后续各位为相邻二进制位异或（相加丢进位）。Gray 转二进制：二进制 MSB 等于 Gray MSB；之后每位为前一二进制位与当前 Gray 位异或。

例 2-37：11000110₂→10100101 Gray；10101111 Gray→11001010₂。

图 2-7　Gray 码使轴位置编码器相邻状态仅变化一位。

ASCII 与 Unicode

ASCII（American Standard Code for Information Interchange）用 7 位表示 128 个字符，通常作为 8 位且最高位为 0 的编码；00～1F 是控制字符，20～7F 是可显示字符。例 2-38：C 语句 if (x > 5) 的 ASCII 为：i=69h、f=66h、空格=20h、(=28h、x=78h、>=3Eh、5=35h、) =29h。键盘扫描码会再转换成 ASCII。扩展 ASCII 使用 80h～FFh。Unicode 用统一码点覆盖世界文字，并与 ASCII 前 128 个码点兼容。

2.12 错误检测码

奇偶校验

偶校验要求整组 1 的个数为偶数，奇校验要求为奇数。发送端增加一个校验位，接收端重新计数即可检测单比特（或奇数个比特）错误，但不能可靠检测两个同时翻转的位。

例 2-39：给 1010、111000、101101、1000111001001、101101011111 加偶校验位（置于最左），结果分别为 01010、1111000、0101101、0100011100101、1101101011111。例 2-40：奇校验接收 10110、11010、110011、110101110100、1100010101010，其中 1 的个数为偶数的 110011 和 1100010101010 出错。

CRC 与模 2 运算

CRC（循环冗余校验）用固定生成码做模 2 长除法。模 2 加/减就是 XOR：00→0，01→1，10→1，11→0，不产生借位或进位。

发送步骤：数据后补与生成码等长的 0；模 2 相除；把余数替换到附加位，使最终码再次相除余数为 0。接收端用同一生成码相除，余数非 0 即报错。

图 2-8　CRC 通信过程。

例 2-41：数据 D=11010011，生成码 G=1010。先补 4 个 0，模 2 除得余数 0100，发送码为 110100110100；再次除以 1010 余数为 0。

例 2-42：若传输中第二位翻转，收到 100100110100，再次除以 1010 得余数 0100，非 0，故检测到错误。

Hamming 码通过在数据中加入位于 $2^n$ 位置的冗余位，可定位并纠正单比特错误；经典 7 位 Hamming 码使用 4 个冗余位。

章末速记

• n 位无符号数最大为 $2^n-1$；二进制转十进制就是累加 1 位权。
• 整数除 2、十六进制除 16、八进制除 8，余数倒读。
• 2 的补码=反码+1；同号相加才可能溢出。
• 1 位十六进制=4 位二进制，1 位八进制=3 位二进制。
• BCD 是“每个十进制数字各占 4 位”，不是整串数字的普通二进制。
• Gray 码相邻只变 1 位；ASCII 用 7 位；CRC 的正确接收余数为 0。

自测题

1. 将 $1101101.101_2$ 转为十进制，并说明每一位的权。
2. 用连续除 2 法把 $173_{10}$ 转为二进制，再用位权法核对。
3. 用 8 位 2 的补码计算 $37-89$，判断是否溢出。
4. 将 3A7₁₆ 转为二进制、十进制；再将结果转为八进制。
5. 对 BCD 1001 0111 + 0001 0101 做修正，并说明为什么要加 0110。
6. 将二进制 101101 转 Gray，再把所得 Gray 码转回二进制。
7. 数据 10110010 使用生成码 1010 做 CRC 时，接收端余数非 0 代表什么？

自测一下

为什么二进制位权能直接用于进制转换？

参考答案：因为任何进制的数都是”各位数字 × 对应位权”之和，二进制的权就是 …、8、4、2、1 和 0.5、0.25、0.125…。转十进制时只要把为 1 的位权相加，如 $1101101_2=64+32+8+4+1=109_{10}$；反过来把十进制数分解成若干权之和（如 $9=8+1=1001_2$），或用连续除 2 取余数倒读，就完成了十进制转二进制。位权是所有进制转换共同的总原则。

补码表示有符号数时，最高位具有什么含义？

参考答案：最高位是符号位：0 表示正数，1 表示负数；同时它还带着 $-2^{n-1}$ 的权参与求值。例如 8 位 10101010 按权相加得 $-128+32+8+2=-86$。因此 n 位 2 的补码表示范围是 $-2^{n-1}$ 到 $2^{n-1}-1$，8 位即 -128～+127，且只有一个零，这也是 CPU 采用 2 的补码的原因。

BCD 码与普通二进制数有什么区别？

参考答案：普通二进制把整个十进制数当作一个二进制量整体转换，而 BCD 是每个十进制数字单独用 4 位表示，0～9 对应 0000～1001，1010～1111 是无效码。例如十进制 35 的 BCD 是 0011 0101，而普通二进制是 $100011_2$。BCD 加法先按二进制相加，若某组 4 位结果大于 9 或产生组间进位，就要加 0110 修正，如 9+4 先得 1101，再加 0110 得 0001 0011（13）。

Gray 码为何适合旋转编码器？

参考答案：Gray 码的关键特性是相邻两个码字只改变 1 位。旋转编码器的位置连续变化时，若用普通二进制，多位同时翻转会因各位快慢不一而被误读到中间错误状态；Gray 码每次只有一位变化，就避免了这种过渡误读。转换方法是：Gray 的 MSB 等于二进制 MSB，其余各位由相邻二进制位异或（相加丢进位）得到，如 11000110₂→10100101 Gray。

CRC 校验相比奇偶校验有什么优势？

参考答案：奇偶校验只增加 1 位，只能检测奇数个比特出错，两位同时翻转就查不出来。CRC 用固定生成码对数据做模 2 除法（加减即 XOR），把余数附在数据后发送，接收端用同一生成码再除，余数为 0 才判定正确。例如数据 11010011 用生成码 1010 得发送码 110100110100；若传输中一位翻转，再除得余数 0100 非 0，即可检测到错误。