第12章 微波放大器设计：稳定圆与增益圆

第12章 微波放大器设计

本章在干嘛？

信号放大是射频/微波系统里最基础、最常见的电路功能。上一章我们认识了晶体管这件”零件”，本章就来用它搭放大器：全部设计工作都基于器件的S 参数（或等效电路）展开。主线非常清晰——先学会算增益（12.1），再保证电路不振荡（12.2），然后按需设计：最大增益、指定增益、最低噪声（12.3），带宽不够再上平衡/分布式架构（12.4），最后是大信号下的功率放大器（12.5）。

12.1 二端口功率增益

三种增益定义

考虑任意二端口网络（S 参数矩阵 $[S]$），接上源阻抗 $Z_S$ 和负载阻抗 $Z_L$（图 12.1）。源和负载的反射系数：

\Gamma_L = \frac{Z_L - Z_0}{Z_L + Z_0}, \qquad \Gamma_S = \frac{Z_S - Z_0}{Z_S + Z_0}. \tag{12.1}

三种功率增益定义——区别全在”源和负载是怎么匹配的”：

• 功率增益 $G=P_L/P_{\mathrm{in}}$：负载耗散功率 ÷ 送到网络输入口的功率。与 $Z_S$ 无关；
• 可用功率增益 $G_A=P_{\mathrm{avn}}/P_{\mathrm{avs}}$：网络可用功率 ÷ 源可用功率。假设源与负载都共轭匹配；依赖 $Z_S$、与 $Z_L$ 无关；
• 转换功率增益 $G_T=P_L/P_{\mathrm{avs}}$：送到负载的功率 ÷ 源可用功率。同时依赖 $Z_S$ 和 $Z_L$。

输入输出都共轭匹配时增益最大，此时 $G=G_A=G_T$。

关键中间量——朝网络里看的反射系数（把负载的影响”折”进输入口）：

\Gamma_{\mathrm{in}} = S_{11} + \frac{S_{12}S_{21}\Gamma_L}{1 - S_{22}\Gamma_L}, \qquad \Gamma_{\mathrm{out}} = S_{22} + \frac{S_{12}S_{21}\Gamma_S}{1 - S_{11}\Gamma_S}. \tag{12.3}

注意 ${\Gamma }_{\mathrm{in}}$ 里含 ${\Gamma }_L$：负载变了，输入阻抗也跟着变——这是 $S_{12}\ne 0$（双向器件）带来的”反馈通道”。由源电压 $V_S$ 出发，一步步算出输入功率与负载功率：

P_{\mathrm{in}} = \frac{|V_S|^2}{8Z_0}\frac{|1-\Gamma_S|^2}{|1-\Gamma_S\Gamma_{\mathrm{in}}|^2}\left(1-|\Gamma_{\mathrm{in}}|^2\right), \tag{12.5}

P_L = \frac{|V_S|^2}{8Z_0}\frac{|S_{21}|^2(1-|\Gamma_L|^2)|1-\Gamma_S|^2}{|1-S_{22}\Gamma_L|^2\,|1-\Gamma_S\Gamma_{\mathrm{in}}|^2}. \tag{12.7}

两者相除得功率增益：

G = \frac{|S_{21}|^2(1-|\Gamma_L|^2)}{(1-|\Gamma_{\mathrm{in}}|^2)|1-S_{22}\Gamma_L|^2}, \tag{12.8}

除以源可用功率 $P_{\mathrm{avs}}=P_{\mathrm{in}}{|}_{{\Gamma }_{\mathrm{in}}={\Gamma }_S^{\ast }}$（把 ${\Gamma }_{\mathrm{in}}={\Gamma }_S^{\ast }$ 代入 12.5）得转换功率增益：

G_T = \frac{|S_{21}|^2(1-|\Gamma_S|^2)(1-|\Gamma_L|^2)}{|1-\Gamma_S\Gamma_{\mathrm{in}}|^2|1-S_{22}\Gamma_L|^2}. \tag{12.13}

两个特例要记住：

• 输入输出都按零反射匹配（${\Gamma }_S={\Gamma }_L=0$，非共轭）：$G_T=|S_{21}{|}^2$（12.14）——数据手册上增益的来历；
• 单向化转换增益（$S_{12}=0$，于是 ${\Gamma }_{\mathrm{in}}=S_{11}$）：

G_{TU} = \frac{|S_{21}|^2(1-|\Gamma_S|^2)(1-|\Gamma_L|^2)}{|1-S_{11}\Gamma_S|^2|1-S_{22}\Gamma_L|^2}. \tag{12.15}

例 12.1（三种增益对比）：硅 BJT 在 1 GHz：$S_{11}=0.38\angle -158°$、$S_{12}=0.11\angle 54°$、$S_{21}=3.5\angle 80°$、$S_{22}=0.40\angle -43°$，$Z_S=25\Omega$、$Z_L=40\Omega$。算得 ${\Gamma }_S=-0.333$、${\Gamma }_L=-0.111$、${\Gamma }_{\mathrm{in}}=0.365\angle -152°$、${\Gamma }_{\mathrm{out}}=0.545\angle -43°$，代入 (12.8)(12.12)(12.13)：

$G=13.1,G_A=19.8,G_T=\mathrm{12.6.}$

三个数各不相同——因为源和负载都失配。

放大器设计的增益分解

单级晶体管放大器（图 12.2）= 输入匹配网络 + 晶体管 + 输出匹配网络。设计中最有用的是转换增益（同时计入源和负载失配），它可以拆成三段连乘：

G_T = G_S\,G_0\,G_L,\qquad G_0 = |S_{21}|^2,\quad G_S = \frac{1-|\Gamma_S|^2}{|1-S_{11}\Gamma_S|^2},\quad G_L = \frac{1-|\Gamma_L|^2}{|1-S_{22}\Gamma_L|^2}. \tag{12.16/12.17}

白话：$G_0$ 是”裸管子”的增益（管子定了就不能改），$G_S$、$G_L$ 是两个匹配网络贡献的”有效增益”——它们可以大于 1，因为失配的管子原本会在端口反射掉功率，匹配网络把这部分损失找了回来。放大器设计的实质：在稳定的前提下，用 $G_S$、$G_L$ 这两个旋钮调出想要的总体增益。

用等效电路也能直接估增益。单向化 FET（$C_{gd}=0$）输入端串感抗 $X=1/\omega C_{gs}$ 抵消 $C_{gs}$、输出端并感纳 $B=-\omega C_{ds}$ 抵消 $C_{ds}$，实现共轭匹配后：

G_{TU} = \frac{g_m^2R_{ds}}{4\omega^2R_iC_{gs}^2} = \frac{R_{ds}}{4R_i}\left(\frac{f_T}{f}\right)^2. \tag{12.18}

增益每倍频程掉 6 dB 是物理规律

(12.18) 显示共轭匹配 FET 放大器的增益按 $1/f^2$ 下降——每倍频程 6 dB。这不是设计缺陷，而是器件的固有属性（$f_T$ 之外电容分流越来越重）。宽带放大器的一切技巧（12.4 节）本质上都是在跟这条 6 dB/octave 的斜坡作斗争，且都拿增益、噪声或复杂度来换。

12.2 稳定性

放大器振荡的条件：输入或输出端口阻抗出现负实部，即 $|{\Gamma }_{\mathrm{in}}|>1$ 或 $|{\Gamma }_{\mathrm{out}}|>1$。由于 ${\Gamma }_{\mathrm{in}}$、${\Gamma }_{\mathrm{out}}$ 都依赖匹配网络给出的 ${\Gamma }_S$、${\Gamma }_L$，稳定性是”器件 + 匹配网络”整体的属性。两类稳定性：

• 无条件稳定（unconditionally stable）：对所有无源源/负载阻抗（$|{\Gamma }_S|<1$、$|{\Gamma }_L|<1$）都有 $|{\Gamma }_{\mathrm{in}}|<1$ 且 $|{\Gamma }_{\mathrm{out}}|<1$；
• 条件稳定（conditionally stable / potentially unstable）：只对一部分无源源/负载阻抗成立。

稳定性是逐频点的事

S 参数随频率变化，匹配网络也随频率变化——放大器可能在设计频率上稳定，在带外振荡。规范的放大器设计必须在器件工作的整个频段上检查稳定性，而不是只查设计频率那一个点。另外，S 参数依赖偏置条件，稳定性同样依赖偏置。

稳定圆

无条件稳定要求 (12.19) 成立：

\left|S_{11} + \frac{S_{12}S_{21}\Gamma_L}{1-S_{22}\Gamma_L}\right| < 1,\qquad \left|S_{22} + \frac{S_{12}S_{21}\Gamma_S}{1-S_{11}\Gamma_S}\right| < 1. \tag{12.19}

单向器件（$S_{12}=0$）简单：$|S_{11}|<1$、$|S_{22}|<1$ 就无条件稳定。双向器件则要在 Smith 圆图上画稳定圆：让 $|{\Gamma }_{\mathrm{in}}|=1$ 的 ${\Gamma }_L$ 轨迹（输出稳定圆）和让 $|{\Gamma }_{\mathrm{out}}|=1$ 的 ${\Gamma }_S$ 轨迹（输入稳定圆）。定义散射矩阵行列式：

\Delta = S_{11}S_{22} - S_{12}S_{21}, \tag{12.21}

把 $|{\Gamma }_{\mathrm{in}}|=1$ 整理成圆方程 $|{\Gamma }_L-C_L|=R_L$，得输出稳定圆的圆心与半径：

C_L = \frac{(S_{22} - \Delta S_{11}^*)^*}{|S_{22}|^2 - |\Delta|^2}, \qquad R_L = \left|\frac{S_{12}S_{21}}{|S_{22}|^2 - |\Delta|^2}\right|. \tag{12.25}

交换 $S_{11}\leftrightarrow S_{22}$ 得输入稳定圆：

C_S = \frac{(S_{11} - \Delta S_{22}^*)^*}{|S_{11}|^2 - |\Delta|^2}, \qquad R_S = \left|\frac{S_{12}S_{21}}{|S_{11}|^2 - |\Delta|^2}\right|. \tag{12.26}

圆的一侧稳定、另一侧不稳定，哪侧？用”圆图中心检验法”：令 $Z_L=Z_0$（即 ${\Gamma }_L=0$），则 $|{\Gamma }_{\mathrm{in}}|=|S_{11}|$。

• 若 $|S_{11}|<1$：圆图中心在稳定区 → 稳定区是稳定圆之外的圆图部分（图 12.5a）；
• 若 $|S_{11}|>1$：中心在不稳定区 → 稳定区是稳定圆内部与圆图相交的部分（图 12.5b）。

无条件稳定意味着稳定圆完全在圆图外（或完全包住圆图）：

\left||C_L| - R_L\right| > 1\ \ (\text{当}\ |S_{11}|<1), \qquad \left||C_S| - R_S\right| > 1\ \ (\text{当}\ |S_{22}|<1). \tag{12.27}

若 $|S_{11}|>1$ 或 $|S_{22}|>1$，器件不可能无条件稳定（取 $Z_S=Z_0$ 就会让 $|{\Gamma }_{\mathrm{in}}|>1$）。条件稳定的器件也有救：把工作点选在稳定区内即可；若能接受低于最大增益，用电阻加载通常能把管子做到无条件稳定。

无条件稳定的判别式：K–Δ 检验与 μ 检验

画稳定圆麻烦，更快捷的代数判据是 Rollet 条件加辅助条件（两者同时满足才充分）：

K = \frac{1 - |S_{11}|^2 - |S_{22}|^2 + |\Delta|^2}{2|S_{12}S_{21}|} > 1, \tag{12.28}

|\Delta| = |S_{11}S_{22} - S_{12}S_{21}| < 1. \tag{12.29}

K–Δ 用两个参数，不方便比较器件之间的”稳定程度”。μ 检验只用一个参数：

\mu = \frac{1 - |S_{11}|^2}{|S_{22} - \Delta S_{11}^*| + |S_{12}S_{21}|} > 1. \tag{12.30}

$\mu >1$ 即无条件稳定，且 μ 越大越稳定——可以直接拿它排座次。推导思路：无条件稳定要求 $|{\Gamma }_{\mathrm{out}}|<1$ 对任意无源 ${\Gamma }_S$ 成立；把单位圆边界 ${\Gamma }_S=e^{j\varphi }$ 映射到 ${\Gamma }_{\mathrm{out}}$ 平面得圆（圆心 $C$、半径 $R$，见 12.32–12.33），要求圆整体落在单位圆内 $|C|+R<1$，整理即得 (12.30)；K 条件可由 μ 条件配方推出（平方步骤引入的符号歧义正是辅助条件 12.29 的来源）。

例 12.2（晶体管稳定性）：Triquint T1G6000528 GaN HEMT 在 1.9 GHz：$S_{11}=0.869\angle -159°$、$S_{12}=0.031\angle -9°$、$S_{21}=4.25\angle 61°$、$S_{22}=0.507\angle -117°$。算得：

$|\Delta |=0.336<1✓,K=0.383<1\times ,\mu =0.678<1\times .$

K–Δ 与 μ 检验一致：潜在不稳定。稳定圆数据：

$C_L=1.59\angle 132°,R_L=0.915;C_S=1.09\angle 162°,R_S=\mathrm{0.205.}$

由于 $|S_{11}|<1$、$|S_{22}|<1$，圆图中心附近是稳定区——匹配网络只要别把 ${\Gamma }_S$、${\Gamma }_L$ 选到图 12.6 的阴影区就能稳定工作。

判稳定性的实操顺序

拿到 S 参数先算三件套：$|\Delta |$、$K$、$\mu$。$\mu >1$（等价于 K>1 且 |Δ|<1）→ 无条件稳定，直接按最大增益设计；否则画稳定圆找稳定区，把 ${\Gamma }_S$、${\Gamma }_L$ 圈在稳定区里。别忘了在整个工作频段逐频点检查——例 12.3 里同一只管子 4/5 GHz 稳定、3 GHz 就不稳定。

12.3 单级晶体管放大器设计

最大增益设计（共轭匹配）

$G_0=|S_{21}{|}^2$ 固定，总增益靠匹配网络的 $G_S$、$G_L$ 抬。最大传输功率的条件是同时满足：

\Gamma_{\mathrm{in}} = \Gamma_S^*, \qquad \Gamma_{\mathrm{out}} = \Gamma_L^*. \tag{12.36}

双向器件的 ${\Gamma }_{\mathrm{in}}$ 与 ${\Gamma }_{\mathrm{out}}$ 互相牵扯，两个条件要联立求解。代入 (12.3) 化成一元二次方程，解为：

\Gamma_S = \frac{B_1 \pm \sqrt{B_1^2 - 4|C_1|^2}}{2C_1},\qquad \Gamma_L = \frac{B_2 \pm \sqrt{B_2^2 - 4|C_2|^2}}{2C_2}, \tag{12.40}

其中：

$B_1=1+|S_{11}{|}^2-|S_{22}{|}^2-|\Delta {|}^2,C_1=S_{11}-\Delta S_{22}^{\ast },$ B_2 = 1 + |S_{22}|^2 - |S_{11}|^2 - |\Delta|^2,\quad C_2 = S_{22} - \Delta S_{11}^*. \tag{12.41}

根号内为正当且仅当 $K>1$——无条件稳定的器件总能共轭匹配到最大增益。最大转换增益的闭式：

G_{T_{\max}} = \frac{|S_{21}|}{|S_{12}|}\left(K - \sqrt{K^2-1}\right), \tag{12.43}

又称匹配增益。条件稳定（$K<1$）时同时共轭匹配不可能，改用最大稳定增益（$K=1$ 代入）作品质因数：

G_{\mathrm{msg}} = \frac{|S_{21}|}{|S_{12}|}. \tag{12.44}

单向特例最简单：${\Gamma }_S=S_{11}^{\ast }$、${\Gamma }_L=S_{22}^{\ast }$，

G_{TU_{\max}} = \frac{1}{1-|S_{11}|^2}\,|S_{21}|^2\,\frac{1}{1-|S_{22}|^2}. \tag{12.42}

例 12.3（4 GHz 最大增益放大器）：GaAs MESFET，三个频点的 S 参数给出后先查稳定性：

f (GHz)	K	Δ
3.0	0.77	0.592
4.0	1.19	0.487
5.0	1.53	0.418

4、5 GHz 无条件稳定，3 GHz 条件稳定——设计照做，事后核查 3 GHz。用 (12.40) 求 ${\Gamma }_S=0.872\angle 123°$、${\Gamma }_L=0.876\angle 61°$，增益分解：

$G_S=6.20\mathrm{dB},G_0=8.30\mathrm{dB},G_L=2.22\mathrm{dB}\Rightarrow G_{T_{\max }}=16.7\mathrm{dB}.$

匹配网络用 Smith 圆图设计：开路并联短截线 + 一段线。输入段：线长 0.120λ + 短截线 0.206λ；输出段类似。CAD 仿真结果（图 12.7c）：4 GHz 增益 16.7 dB、回波损耗很好，但 1 dB 增益带宽只有约 2.5%——共轭匹配用足了失配，也用光了带宽。

等增益圆与指定增益设计

最大增益的带宽太窄？办法是故意失配，把增益压到指定值换带宽。设计工具是 Smith 圆图上的等增益圆：让 $G_S$（或 $G_L$）取定值的 ${\Gamma }_S$（或 ${\Gamma }_L$）轨迹。以单向器件为例，先算单向化品质因数评估近似误差：

U = \frac{|S_{12}||S_{21}||S_{11}||S_{22}|}{(1-|S_{11}|^2)(1-|S_{22}|^2)},\qquad \frac{1}{(1+U)^2} < \frac{G_T}{G_{TU}} < \frac{1}{(1-U)^2}. \tag{12.45/12.46}

匹配段增益的最大值在 ${\Gamma }_S=S_{11}^{\ast }$（${\Gamma }_L=S_{22}^{\ast }$）处：

G_{S_{\max}} = \frac{1}{1-|S_{11}|^2},\qquad G_{L_{\max}} = \frac{1}{1-|S_{22}|^2}. \tag{12.47}

定义归一化增益 $g_S=G_S/G_{S_{\max }}\in [0,1]$，把 $G_S$ 表达式配方成圆方程，得等增益圆：

C_S = \frac{g_S S_{11}^*}{1-(1-g_S)|S_{11}|^2},\qquad R_S = \frac{\sqrt{1-g_S}\,(1-|S_{11}|^2)}{1-(1-g_S)|S_{11}|^2}, \tag{12.51}

C_L = \frac{g_L S_{22}^*}{1-(1-g_L)|S_{22}|^2},\qquad R_L = \frac{\sqrt{1-g_L}\,(1-|S_{22}|^2)}{1-(1-g_L)|S_{22}|^2}. \tag{12.52}

几何直觉：所有等增益圆的圆心都在 $S_{11}^{\ast }$（或 $S_{22}^{\ast }$）的辐角方向上；$g=1$ 时半径缩为零（缩成共轭匹配点）；0 dB 圆（$G_S=1$）永远过圆图中心。圆上的解不唯一——挑离圆图中心最近的点，失配最小、带宽最大（除非要把输入失配留给噪声设计用，见下）。

例 12.4（11 dB 指定增益放大器）：单向管（$S_{12}=0$）在 4 GHz：$S_{11}=0.75\angle -120°$、$S_{21}=2.5\angle 80°$、$S_{22}=0.60\angle -70°$。算得 $G_{S_{\max }}=3.6$ dB、$G_{L_{\max }}=1.9$ dB、$G_0=8.0$ dB → 最大可用 $G_{T{U}_{\max }}=13.5$ dB，比指标多 2.5 dB。画等增益圆族（图 12.8a）：

$\begin{array}{llll}{G}_S=3\mathrm{dB}:& g_S=0.875,& C_S=0.706\angle 120°,& R_S=0.166;\\ G_S=2\mathrm{dB}:& g_S=0.691,& C_S=0.627\angle 120°,& R_S=0.294;\\ G_L=1\mathrm{dB}:& g_L=0.806,& C_L=0.520\angle 70°,& R_L=0.303;\\ G_L=0\mathrm{dB}:& g_L=0.640,& C_L=0.440\angle 70°,& R_L=\mathrm{0.440.}\end{array}$

选 $G_S=2$ dB + $G_0=8$ dB + $G_L=1$ dB = 11 dB；在每个圆上取离中心最近的点：${\Gamma }_S=0.33\angle 120°$、${\Gamma }_L=0.22\angle 70°$。结果：±1 dB 增益起伏带宽约 25%（比最大增益设计的 2.5% 宽一个数量级），代价是设计频点回波损耗只有约 5 dB。

低噪声放大器设计

接收机第一级的噪声系数主导整机噪声性能（第 10 章级联公式），所以前置放大器要尽量低噪。矛盾在于：最小噪声系数和最大增益一般不可兼得——最佳噪声源阻抗不是共轭匹配点。解决办法：等增益圆 + 等噪声系数圆一起画，在两者之间找折中。

二端口放大器的噪声系数可以写成：

F = F_{\min} + \frac{R_N}{G_S}\left|Y_S - Y_{\mathrm{opt}}\right|^2, \tag{12.53}

其中 $F_{\min }$ 是管子的最小噪声系数，$Y_{\mathrm{opt}}$ 是达到 $F_{\min }$ 的最佳源导纳，$R_N$ 是等效噪声电阻——三者是器件的噪声参数，由厂家给出或实测。换用反射系数 ${\Gamma }_S$、${\Gamma }_{\mathrm{opt}}$ 表示，定义噪声量度参数：

N = \frac{|\Gamma_S - \Gamma_{\mathrm{opt}}|^2}{1-|\Gamma_S|^2} = \frac{F - F_{\min}}{4R_N/Z_0}\left|1+\Gamma_{\mathrm{opt}}\right|^2, \tag{12.58}

对固定 $F$，$N$ 是常数，配方成圆方程得等噪声系数圆：

C_F = \frac{\Gamma_{\mathrm{opt}}}{N+1},\qquad R_F = \frac{\sqrt{N(N+1-|\Gamma_{\mathrm{opt}}|^2)}}{N+1}. \tag{12.60}

几何直觉：圆心都在 ${\Gamma }_{\mathrm{opt}}$ 方向上；$F=F_{\min }$ 时圆缩成点 ${\Gamma }_{\mathrm{opt}}$。

例 12.5（F = 2 dB 低噪设计）：GaAs MESFET 偏置在最小噪声点，4 GHz：$S_{11}=0.6\angle -60°$、$S_{12}=0.05\angle 26°$、$S_{21}=1.9\angle 81°$、$S_{22}=0.5\angle -60°$、$F_{\min }=1.6$ dB、${\Gamma }_{\mathrm{opt}}=0.62\angle 100°$、$R_N=20\Omega$。

• 稳定性：$K=2.78$、$\Delta =0.37$ → 无条件稳定；
• 单向近似误差：$U=0.059$ → $G_T$ 与 $G_{TU}$ 差 ±0.5 dB 内；
• 2 dB 噪声圆：$N=0.0986$，$C_F=0.56\angle 100°$，$R_F=0.24$；
• 画输入等增益圆族，发现 $G_S=1.7$ dB 圆恰好与 2 dB 噪声圆相切——再高的增益就要牺牲噪声。取切点附近 ${\Gamma }_S=0.53\angle 75°$；
• 输出端没有噪声约束，直接共轭匹配：${\Gamma }_L=S_{22}^{\ast }=0.5\angle 60°$，$G_L=1.25$ dB；
• 总增益 $G_{TU}=1.7+5.58+1.25=8.53$ dB（CAD 实测 8.36 dB）。

低噪声 MOSFET 放大器：源极电感负反馈

MOSFET 的交流输入电阻低，直接匹配困难；栅极串电阻能匹配但会加噪声。聪明的办法是源极电感负反馈（inductive source degeneration）：在源极串一只小电感 $L_s$。对栅极输入电流 $I$，$C_{gs}$ 上电压 $V_c=I/j\omega C_{gs}$，栅极对地电压：

V = \frac{I}{j\omega C_{gs}} + j\omega L_s(I + g_mV_c) = I\left(\frac{1}{j\omega C_{gs}} + j\omega L_s + \frac{g_mL_s}{C_{gs}}\right). \tag{12.61}

输入阻抗：

Z = \frac{V}{I} = \frac{g_mL_s}{C_{gs}} + j\left(\omega L_s - \frac{1}{\omega C_{gs}}\right). \tag{12.62}

白话：跨导项把源极电感”搬”出一只纯电阻 $g_m{L}_s/C_{gs}$——不用加任何噪声电阻就实现了实数输入阻抗！选 $L_s=Z_0{C}_{gs}/g_m$ 匹配源阻抗，再选栅极串联电感 $L_g$ 抵消剩余容性电抗；三者构成 RLC 串联谐振，品质因数：

Q = \frac{\omega L_gC_{gs}}{g_mL_s}. \tag{12.63}

例 12.6（900 MHz 低噪 MOSFET 放大器）：BF1005（$C_{gs}=2.1$ pF，$g_m=24$ mS），$Z_0=50\Omega$：

$L_s=\frac{Z_0{C}_{gs}}{g_m}=4.37\mathrm{nH},L_g=\frac{59.5}{2\pi (900\times 10^6)}=10.5\mathrm{nH},$

$Q=1.2$，带宽理论上可达 80%（实际会因模型近似而窄一些）。

一套流程走天下

单级放大器设计的标准动作：① 拿 S 参数算 $K$/$\mu$ 查稳定（逐频点）；② 画等噪声圆（低噪设计）或等增益圆（指定增益设计）；③ 在圆上选 ${\Gamma }_S$（低噪设计选噪声圆与增益圆的切点，指定增益选离圆心最近的点）；④ 输出端一般共轭匹配 ${\Gamma }_L=S_{22}^{\ast }$；⑤ Smith 圆图或 CAD 综合匹配网络（并联开路短截线 + 线段是经典组合）；⑥ CAD 验证带宽、回损与全频段稳定性。第 13 章的振荡器设计会复用同一套数学。

12.4 宽带晶体管放大器设计

理想放大器要在带宽内增益平坦且匹配良好，但三座大山挡路：共轭匹配带宽窄；指定增益设计牺牲匹配；$|S_{21}|$ 以 6 dB/octave 随频率下滑（且失配程度受 Bode–Fano 增益带宽限制）。常用对策一览——每种都拿别的东西换带宽：

• 补偿匹配网络：匹配段故意设计成补偿增益滚降——牺牲端口匹配；
• 电阻匹配网络：匹配好——牺牲增益和噪声系数；
• 负反馈：展平增益、改善匹配、增强稳定性，带宽可超一个倍频程——牺牲增益和噪声；
• 平衡放大器：90° 电桥对消反射，一个倍频程以上好匹配——牺牲复杂度、双倍直流功耗（增益不变）；
• 分布式放大器：多管沿传输线排布，增益/匹配/噪声俱佳、带宽超一个倍频程——电路大、增益不如同管数的级联；
• 差分放大器：两管差分驱动，器件电容等效串联，$f_T$ 约翻倍，输出摆幅更大、共模噪声抑制——器件数与功耗翻倍。

平衡放大器

两只相同放大器夹在两个 90° 混合电桥之间（图 12.11）：第一个电桥把输入分成等幅、相差 90° 的两路，第二个电桥把输出重新合成。关键机制：两路放大器的反射波在电桥输入口相位抵消，被电桥终端吸收——端口匹配”骗”好了，单管的稳定性也跟着改善。设两路电压增益 $G_A$、$G_B$，反射系数 ${\Gamma }_A$、${\Gamma }_B$：

S_{21} = \frac{-j}{2}(G_A + G_B),\qquad S_{11} = \frac{1}{2}(\Gamma_A - \Gamma_B). \tag{12.66/12.68}

两路一致时 $S_{11}=0$、总增益等于单路增益；噪声系数 $F=(F_A+F_B)/2$；一只放大器失效时总增益只跌 6 dB（优雅降级）。实际 MMIC 里常用 Lange 电桥（宽带且紧凑）。带宽没有超过单管放大器——改善的只是匹配与稳定性。

例 12.7（平衡化改造 + CAD 优化）：把例 12.4 的 11 dB 放大器放进正交电桥平衡结构（3–5 GHz）：回波损耗相对单端设计大幅改善（4 GHz 附近最好，受电桥带宽限制）；随后把增益指标降到 10 dB，让 CAD 优化器自动微调四段枝节/线长（如输入枝节 0.100λ→0.109λ），3–5 GHz 内增益平坦度显著变好。

分布式放大器

思想源自 1940 年代的真空管宽带放大器：N 只 FET 的栅极接在一条特性阻抗 $Z_g$、周期 ${\ell }_g$ 的传输线（栅线）上，漏极接在另一条 $Z_d$、周期 ${\ell }_d$ 的传输线（漏线）上（图 12.13）。输入波沿栅线传播，每只 FET 分一点功率放大，放大后的电流在漏线上同相叠加成行波——条件是栅线与漏线相位同步：

\beta_g\ell_g = \beta_d\ell_d. \tag{同步条件}

FET 的 $C_{gs}$、$C_{ds}$ 直接被”吃进”两条传输线的分布电容里，反向行波被终端阻抗吸收——这就是它也叫行波放大器的原因。用单向 FET 模型把每只 FET 的集总参数摊到 ${\ell }_g$、${\ell }_d$ 长度的单位元上（近似条件：单元电长度小），可算出栅线/漏线的等效特性阻抗与衰减常数：

Z_g = \sqrt{\frac{L_g}{C_g + C_{gs}/\ell_g}},\qquad \gamma_g \cong \frac{\omega^2R_iC_{gs}^2Z_g}{2\ell_g} + j\omega\sqrt{L_g(C_g+C_{gs}/\ell_g)}, \tag{12.70/12.71}

Z_d = \sqrt{\frac{L_d}{C_d + C_{ds}/\ell_d}},\qquad \gamma_d \cong \frac{Z_d}{2R_{ds}\ell_d} + j\omega\sqrt{L_d(C_d+C_{ds}/\ell_d)}. \tag{12.73/12.74}

把各管贡献求和（等比数列）并应用同步条件，总增益为：

G = \frac{g_m^2Z_dZ_g}{4}\,\frac{\left(e^{-N\alpha_g\ell_g} - e^{-N\alpha_d\ell_d}\right)^2}{\left(e^{-\alpha_g\ell_g} - e^{-\alpha_d\ell_d}\right)^2}. \tag{12.79}

两个反直觉的结论（图 12.16）：

• 无耗极限（${\alpha }_g={\alpha }_d=0$）：$G=g_m^2{Z}_d{Z}_g{N}^2/4$——增益按 $N^2$ 增长（级联是按 $G_0^N$）；
• 有耗现实：栅线上输入电压指数衰减，末端的 FET 几乎分不到信号；漏线也在衰减前段的输出。N→∞ 时增益趋于零——存在最优级数：

N_{\mathrm{opt}} = \frac{\ln(\alpha_g\ell_g/\alpha_d\ell_d)}{\alpha_g\ell_g - \alpha_d\ell_d}. \tag{12.80}

例 12.8（级数怎么选）：$Z_d=Z_g=Z_0=50\Omega$，FET 参数 $R_i=5\Omega$、$R_{ds}=250\Omega$、$C_{gs}=0.30$ pF、$g_m=30$ mS，算 N=2/4/8/16 的 1–18 GHz 增益：N 越大低频增益越高，但高频滚降越快，16 管在高频反而不如少管。16 GHz 处 ${\alpha }_g{\ell }_g=0.100$、${\alpha }_d{\ell }_d=0.114$，代 (12.80) 得 $N_{\mathrm{opt}}=9.4$——约 9 级最优。

差分放大器

单端放大器的输入输出以地为参考；差分放大器每个端口都是两条反相信号线（平衡）。优点：共模干扰（RFIC 上很常见的麻烦）在输出相减中被抵消；输出摆幅约两倍；代价是器件数与功耗约翻倍。单端↔平衡的转换靠巴伦（balun）：低频用变压器，高频用 180° 混合电桥或耦合线结构——最流行的 Marchand 巴伦。

用奇偶模分解分析两只 FET 的差分电路（源极接电阻 $R_s$，实际中它就是偏置电流源的模型；输入端任意激励都可分解为奇模+偶模的叠加）：

• 差模（奇模）——正常工作模式：两栅输入反相，电路中面是虚地，$R_s$ 不起作用。差模增益：

A_d = \frac{-g_mR_{ds}R_D}{(1+j\omega R_iC_{gs})(R_{ds}+R_D)}. \tag{12.83}

• 共模（偶模）——干扰模式：两栅输入同相，两源之间无电流，电路可对半剖开、$R_s$ 折半成 $2R_s$。共模增益：

A_c = \frac{-g_mR_{ds}R_D}{[1+j\omega C_{gs}(R_i+2R_s)](R_{ds}+R_D+2R_s)}. \tag{12.86}

**共模抑制比（CMRR）**是两者之比：$\mathrm{CMRR}=\left(1+\frac{2R_s}{R_{ds}+R_D}\right)\left(1+\frac{2j\omega C_{gs}{R}_s}{1+j\omega C_{gs}{R}_i}\right)$（12.87）。白话：$R_s=0$ 时 CMRR=1（毫无抑制——两条通路一模一样）；$R_s\to \infty$（理想电流源馈电）时 CMRR→∞（共模干扰被完美对消）。差分电路的干扰抑制能力，本质上来自源极电流源的”高阻抗”。

有耗线上的分布式放大器不是越多管越好

直觉里”N 管增益翻 N 倍”，但 (12.79) 说明有耗时增益存在最优级数 $N_{\mathrm{opt}}$，超过后加管反而降增益、带宽也变差。设计分布式放大器先算 (12.80)，别盲目堆管子。

12.5 功率放大器

功率放大器用在雷达/无线电发射机末级，把辐射功率推上去：移动通信 100–500 mW，雷达/固定无线 1–100 W。UHF 频段单管可给 10–100 W，更高频率一般 <10 W，再高就靠功率合成。

大信号的本质困难：前几节的设计都假设晶体管线性——S 参数与输入功率和负载无关。输入功率接近 1 dB 压缩点后，非线性登场，端口阻抗随功率电平变化，小信号 S 参数设计方法失效。

效率与放大器类别

功放是手持设备里的耗电大户，效率是头等大事。漏极（集电极）效率：

\eta = \frac{P_{\mathrm{out}}}{P_{\mathrm{DC}}}, \tag{12.88}

它没算输入功率的贡献（功放增益不高时会高估实际效率）。更公允的是功率附加效率：

\eta_{PAE} = \mathrm{PAE} = \frac{P_{\mathrm{out}} - P_{\mathrm{in}}}{P_{\mathrm{DC}}} = \left(1-\frac{1}{G}\right)\eta. \tag{12.89}

800–900 MHz 频段的硅 BJT 功放 PAE 可达约 80%，但随频率上升迅速变差。另一个常用指标是 1 dB 压缩增益 $G_1=G_0(\mathrm{dB})-1$。非线性还会产生杂散频率与交调失真——多载波发射机里可能落进邻道；非恒包络调制（ASK、高阶 QAM）对线性尤其敏感。

类别	导通角	理论最高效率	线性	典型用途
A	全周期导通	50%	天生线性	小信号、低噪放
B	半周期导通（推挽）	78%	较好	高效功放
C	<半周期	近 100%	差（限恒包络）	旧式发射机
D/E/F/S	开关模式	很高	差	高效开关功放

UHF 以上的通信发射机为压低失真产物，绝大多数用 A、AB 或 B 类。

大信号表征与 A 类功放设计

大信号下 S 参数不再唯一（依赖功率电平、负载、频率、偏置、温度），不能替代小信号参数（不过稳定性仍可用小信号 S 参数评估——不稳定往往从小信号就开始）。两种大信号表征手段：

• 大信号反射系数 ${\Gamma }_{SP}$、${\Gamma }_{LP}$：在指定输出功率（常取 ${\mathrm{OP}}_{1\mathrm{dB}}$）下使功率增益最大的源/负载反射系数，逐频点给出；
• 负载牵引（load-pull）等值线：输入端共轭匹配，扫描负载反射系数 ${\Gamma }_{LP}$，在 Smith 圆图上画等输出功率线。功能类似等增益圆，但因非线性不再是完美的圆。

设计 A 类功放的流程：① 用小信号 S 参数查稳定性（高功率振荡会直接烧管子）；② 选管按频率与功率，功率容量留约 20% 余量；几 GHz 以下硅 BJT 功率占优且便宜，GaN HBT/HEMT 是射频与低微波频段大功率的新宠；③ 输入匹配按最大传输（共轭匹配），输出匹配按最大功率（用 ${\Gamma }_{LP}$）——注意这两组最优值与小信号 (12.40) 算出的不一样；④ 低损耗匹配元件至关重要（末级电流最大），管芯内匹配可减小封装寄生、提高效率与带宽；⑤ 功率超过零点几瓦就必须保证管壳与散热器良好热接触。

例 12.9（2.3 GHz、10 W GaN 功放）：Nitronex NPT25100 GaN HEMT（$V_{DS}=28$ V，$I_D=600$ mA），$S_{11}=0.593\angle 178°$、$S_{12}=0.009\angle -127°$、$S_{21}=1.77\angle -106°$、$S_{22}=0.958\angle 175°$，大信号最优阻抗 $Z_{SP}=10-j3\Omega$、$Z_{LP}=2.5-j2.3\Omega$，10 W 输出时增益 16.4 dB、漏极效率 26%。

• 稳定性：$|\Delta |=0.579<1$、$K=2.08>1$ → 无条件稳定；
• 大信号反射系数：${\Gamma }_{SP}=0.668\angle 187°$、${\Gamma }_{LP}=0.905\angle -175°$；对比小信号 (12.40) 算出的 ${\Gamma }_S=0.508\angle 166°$、${\Gamma }_L=0.954\angle -176°$——接近但不相等，匹配网络必须按大信号值设计；
• 所需输入功率：

$P_{\mathrm{in}}=40\mathrm{dBm}-16.4\mathrm{dB}=23.6\mathrm{dBm}=229\mathrm{mW};$

• 直流功率 $P_{\mathrm{DC}}=P_{\mathrm{out}}/\eta =38.5$ W → 漏流 $I_D=P_{DC}/V_{DS}=1.37$ A；
• 功率附加效率：

${\eta }_{PAE}=\frac{10.0-0.229}{38.5}=25\%.$

功放设计千万别照抄小信号答案

例 12.9 里小信号共轭匹配点与大信号最优点差了十几度相位、零点几个模值——功率越高差距越大。输出匹配网络要按负载牵引/大信号 ${\Gamma }_{LP}$ 设计；小信号 S 参数只用来查稳定性和估小信号增益。稳定性检查在功放里尤其重要：高功率振荡能烧毁器件和外围电路。

自测题

自测 5 题（点击展开答案）

1. 三种二端口功率增益（G、G_A、G_T）的区别是什么？设计放大器时用哪一个？ 答：$G=P_L/P_{\mathrm{in}}$ 与源阻抗无关；$G_A=P_{\mathrm{avn}}/P_{\mathrm{avs}}$ 假设共轭匹配、依赖 $Z_S$ 不依赖 $Z_L$；$G_T=P_L/P_{\mathrm{avs}}$ 同时依赖源和负载失配。设计放大器用 $G_T$（转换增益），因为它计入了两端匹配网络的实际贡献，且可分解为 $G_T=G_S{G}_0{G}_L$ 便于分配增益预算。

2. 为什么 μ 检验优于 K–Δ 检验？两者的判据分别是什么？ 答：K–Δ 检验要求 $K>1$ 且 $|\Delta |<1$ 两个条件同时满足，是充要的但用了两个参数，无法比较不同器件的相对稳定度。μ 检验只需单个参数：$\mu =(1-|S_{11}{|}^2)/(|S_{22}-\Delta S_{11}^{\ast }|+|S_{12}{S}_{21}|)>1$ 即无条件稳定，且 μ 越大越稳定，可以直接给器件的稳定性排座次。

3. 最大增益设计与指定增益设计各自的代价是什么？等增益圆上的最优点一般怎么选？ 答：最大增益（共轭匹配）带宽极窄（例 12.3 中 1 dB 带宽仅 2.5%）；指定增益通过故意失配压低增益，带宽显著变宽（例 12.4 中约 25%），但端口回波损耗变差（约 5 dB）。等增益圆上的解不唯一时，一般选离 Smith 圆图中心最近的点以减小失配、最大化带宽——除非输入端要把失配留给噪声设计。

4. 低噪声放大器为什么不能按最小噪声系数直接设计？噪声圆和增益圆怎么配合使用？ 答：因为最佳噪声源阻抗 ${\Gamma }_{\mathrm{opt}}$ 与共轭匹配点 $S_{11}^{\ast }$ 一般不重合——最小噪声与最大增益不可兼得。做法：把等噪声系数圆（$C_F={\Gamma }_{\mathrm{opt}}/(N+1)$）与输入等增益圆画在同一张 Smith 圆图上，选定可接受的 $F$（如 2 dB）后取其噪声圆与尽可能高的增益圆的交点/切点，输出端不受噪声约束、直接共轭匹配。

5. 功率放大器的设计与低噪声小信号放大器有哪些本质不同？ 答：① 输入功率接近 1 dB 压缩点后晶体管非线性，端口阻抗随功率变化，小信号 S 参数失效，必须用大信号反射系数 ${\Gamma }_{SP}/{\Gamma }_{LP}$ 或负载牵引等值线设计匹配网络（稳定性仍可用小信号 S 参数评估）；② 核心指标从增益/噪声变成效率（$\eta$、PAE）、1 dB 压缩、交调失真与散热；③ 输入按最大功率传输、输出按最大功率输出（而非最大增益）设计，并强调低损耗匹配与热设计。