第10章噪声与非线性失真：系统性能的两道天花板

这一章在干嘛？

前面九章我们默认器件是”线性且确定”的——输入决定输出，一丝不差。现实世界有两道天花板打破了这个幻想：往下，任何高于绝对零度的物体都在热振动中产生噪声，噪声决定了接收机”能听见多小的信号”；往上，放大器会饱和、会产生谐波和交调产物，失真决定了”能处理多大的信号”。这一章把两道天花板都量化：噪声用噪声温度/噪声系数描述（含级联 Friis 公式），失真用 1dB 压缩点/三阶截点/动态范围描述。学完这章你就能读懂接收机系统预算表。

10.1 微波电路中的噪声

动态范围与噪声的来源

真实的放大器（功率增益 $G$ ）长这样：输入为零时输出不为零——那是它自己产生的噪声基底（noise floor），典型 −80 到 −140 dBm；输入太大时输出饱和、最终烧毁。中间那段 $P_{o u t} = G P_{in}$ 近似成立的范围就是动态范围。

/图：真实放大器的输出-输入功率关系：噪声基底、线性区与饱和区

噪声的来源分内外两路：

内部噪声（载流子随机运动）：

热噪声（Johnson/Nyquist 噪声）：束缚电荷的热振动，最基本、无处不在；
散粒噪声（shot noise）：电子管/固态器件中载流子的随机涨落；
闪烁噪声（1/f 噪声）：功率与频率成反比，低频严重；
等离子体噪声、量子噪声（通常可忽略）。

外部噪声：大地热噪声、宇宙背景、太阳/恒星、闪电、无线电发射机、微波炉、人为干扰……通过天线或耦合进入系统。

只要噪声谱在系统带宽内近似平坦（白噪声），后面的噪声温度/噪声系数体系就一视同仁地适用。

噪声功率与等效噪声温度

一个温度为 $T$ （开尔文）的电阻，其端电压热涨落的均方根值由普朗克黑体辐射定律给出：

V_{n} = \frac{4 h f B R}{e ^{h f / k T} - 1}

微波频段 $h f ≪ k T$ （最苛刻的组合 100 GHz + 100 K 也有 $h f$ 比 $k T$ 小 20 倍），指数作泰勒展开后得到瑞利-金斯近似：

V_{n} = 4 k T B R

其中 $k = 1.38 \times 1 0^{- 23}$ J/K 是玻尔兹曼常数， $B$ 是系统带宽。这个噪声电阻用戴维南等效（无噪电阻 + 噪声电压源）接匹配负载后，输出的最大可用噪声功率是全书最重要的公式之一：

P_{n} = k T B

/图：噪声电阻产生的随机电压波形

三个直觉：带宽越窄收集的噪声越少（ $B \to 0$ 则 $P_{n} \to 0$ ）；器件越冷噪声越小（ $T \to 0$ 则 $P_{n} \to 0$ ）； $B \to \infty$ 会推出”紫外灾难”——说明近似失效，得回到普朗克公式。独立白噪声源是高斯随机变量，功率（方差）直接相加。

任何白噪声源都可以折算成一个等效热噪声源：定义等效噪声温度

T_{e} = \frac{N _{o}}{k B}

对增益 $G$ 、带宽 $B$ 的噪声放大器，令输入源温度为 0 K，输出噪声全由放大器自产，则其等效噪声温度为

T_{e} = \frac{N _{o}}{G k B}

/图：噪声放大器等效噪声温度的定义：左为真实噪声放大器，右为等效的无噪放大器加热源

校准噪声源还常用**超噪比（ENR）**描述：

ENR (dB) = 10 lo g \frac{T _{g} - T _{0}}{T _{0}}, T_{0} = 290 K

固态噪声发生器典型 ENR 为 20~40 dB。

Y 因子法测噪声温度

0 K 的源造不出来，实测用”冷热双源”：接温度 $T_{1}$ （热）和 $T_{2}$ （冷）的两个匹配负载，分别测输出功率 $N_{1}$ 、 $N_{2}$ ：

N_{1} = G k T_{1} B + G k T_{e} B, N_{2} = G k T_{2} B + G k T_{e} B

定义 Y 因子为两次输出功率之比：

Y = \frac{N _{1}}{N _{2}} = \frac{T _{1} + T _{e}}{T _{2} + T _{e}} > 1

解出被测件的等效噪声温度：

T_{e} = \frac{T _{1} - Y T _{2}}{Y - 1}

/图：Y 因子法测量放大器等效噪声温度的装置：冷热两个匹配负载轮流接入

例 10.1：噪声温度测量

X 波段放大器，增益 20 dB、带宽 1 GHz。热源 290 K 时输出 −62.0 dBm，冷源 77 K（液氮）时输出 −64.7 dBm：

$Y = 2.7$ dB = 1.86；
$T_{e} = (290 - 1.86 \times 77) / (1.86 - 1) = 170$ K；
若接 $T_{s} = 450$ K 的天线，输出噪声功率 $N_{o} = G k (T_{s} + T_{e}) B = - 60.7$ dBm。

Y 因子的两个温度别靠太近

若 $T_{1}$ 和 $T_{2}$ 相差不大， $Y$ 趋近 1，公式 (10.9) 变成”两个相近大数相减”，测量误差被急剧放大。实用中一个源用室温负载，另一个用液氮（77 K）或液氦（4 K）冷负载、或 ENR 20~40 dB 的热噪声源，拉开温差才有精度。

10.2 噪声系数

定义

噪声系数衡量的是信噪比被网络劣化的程度：

F = \frac{S _{i} / N _{i}}{S _{o} / N _{o}} \geq 1

注意定义里藏着一个约定：输入噪声规定为 $T_{0} = 290$ K 匹配电阻的热噪声，即 $N_{i} = k T_{0} B$ 。把 $N_{o} = G k B (T_{0} + T_{e})$ 、 $S_{o} = G S_{i}$ 代入，得到噪声系数与噪声温度的互换关系：

F = 1 + \frac{T _{e}}{T _{0}}, T_{e} = (F - 1) T_{0}

无噪网络 $F = 1$ （0 dB）。dB 值即 $F (dB) = 10 lo g (1 + T_{e} / T_{0})$ 。

/图：噪声系数的定义：信号与噪声通过有噪两端口网络前后的信噪比变化

有耗线/衰减器的噪声系数

物理温度 $T$ 、损耗因子 $L = 1/ G > 1$ 的无源有耗网络与外界处于热平衡，输出噪声必为 $k T B$ 。把它拆成”输入噪声衰减后透过来 + 网络自产”两部分：

N_{a dd e d} = (L - 1) k T B

于是等效噪声温度与噪声系数为

T_{e} = (L - 1) T, F = 1 + (L - 1) \frac{T}{T _{0}}

当线处于室温 $T = T_{0}$ 时， $F = L$ ——室温下 6 dB 衰减器的噪声系数就是 6 dB。白话：衰减器把信号砍掉多少 dB，就把信噪比砍掉多少 dB，一分不还价。

/图：温度 T 下损耗为 L 的有耗线或衰减器的噪声系数推导模型

级联系统的噪声系数（Friis 公式）

两级级联（增益 $G_{1}, G_{2}$ 、噪声温度 $T_{e 1}, T_{e 2}$ ）：第二级贡献的噪声要先被 $G_{1}$ 除。级联等效噪声温度与噪声系数：

T_{c a s} = T_{e 1} + \frac{T _{e 2}}{G _{1}}

F_{c a s} = F_{1} + \frac{F _{2} - 1}{G _{1}}

推广到 $N$ 级（Friis 级联公式）：

F_{c a s} = F_{1} + \frac{F _{2} - 1}{G _{1}} + \frac{F _{3} - 1}{G _{1} G _{2}} + \dots

这是全章工程价值最大的公式：第一级的噪声系数直接全额计入，后面每一级都被前面所有级的总增益”稀释”。所以低噪声设计的第一铁律是——把预算花在第一级：低噪放（LNA）必须噪声系数最低、且有一定增益。

/图：两级级联网络及其等效网络的噪声系数/噪声温度推导模型

例 10.2：无线接收机前端噪声分析

前端链路：LNA（ $G_{a} = 10$ dB， $F_{a} = 2$ dB）→ 滤波器（ $G_{f} = - 1$ dB， $F_{f} = 1$ dB）→ 混频器（ $G_{m} = - 3$ dB， $F_{m} = 4$ dB）。

换成倍数后套 Friis 公式： $F = 1.58 + (1.26 - 1) /10 + (2.51 - 1) / (10 \times 0.79) = 1.80 = 2.55$ dB；
系统等效噪声温度 $T_{e} = (1.80 - 1) \times 290 = 232$ K；
天线噪声温度 $T_{A} = 150$ K、带宽 10 MHz、总增益 3.95：输出噪声 $N_{o} = k (T_{A} + T_{e}) B G = - 96.8$ dBm；
要求输出 SNR 20 dB，输入信号只需 $- 82.8$ dBm，即 50 Ω 系统下约 16.2 μV（rms）。

/图：例 10.2 的无线接收机前端框图：LNA、滤波器、混频器级联

经典错误：源温度不是 290 K 时直接用 F 算绝对噪声功率

例 10.2 里若用 $N_{o} = k T_{A} B F G$ 会得到 $- 98.7$ dBm——错的。因为 $F$ 的定义默认输入噪声是 $k T_{0} B$ （290 K），而本题天线只有 150 K。涉及绝对噪声功率时，老老实实用噪声温度： $N_{o} = k (T_{A} + T_{e}) B G$ ，别拿 F 硬套。

无源网络的噪声系数（考虑失配）

一般化热力学论证：温度 $T$ 的无源二端口网络，可用可用增益 $G_{21}$ （考虑端口失配）替代简单增益：

G_{21} = \frac{∣ S _{21} ∣ ^{2} ( 1 - ∣ Γ _{S} ∣ ^{2} )}{∣1 - S _{11} Γ _{S} ∣ ^{2} ( 1 - ∣ Γ _{o u t} ∣ ^{2} )}

于是 $T_{e} = \frac{1 - G _{21}}{G _{21}} T$ ， $F = 1 + \frac{1 - G _{21}}{G _{21}} \frac{T}{T _{0}}$ 。匹配时退化为 $G_{21} = ∣ S_{21} ∣^{2}$ 的老结果。三个实用推论：

失配有耗线： $T_{e} = \frac{( L - 1 ) ( L + ∣ Γ _{s} ∣ ^{2} )}{L ( 1 - ∣ Γ _{s} ∣ ^{2} )} T$ ——比匹配时的 $(L - 1) T$ 更大。原因：有耗线两个端口都往外发噪声，输入口失配时部分噪声被源反射回线内再绕到输出端。匹配即降噪。
Wilkinson 功分器（一端接匹配负载）： $T_{e} = (2 L - 1) T$ ，室温无耗时 $F = 2 = 3$ dB——多出来的噪声来自隔离电阻。
失配放大器： $F_{m} = 1 + \frac{F - 1}{1 - ∣Γ ∣ ^{2}}$ ——输入失配同样劣化噪声系数， $∣Γ∣$ 越大越糟。

/图：端口存在阻抗失配的一般无源二端口网络

一套公式打天下：无源件噪声速查

室温下（ $T = T_{0}$ ）记住三件事就够用：衰减器噪声系数 = 插损 $F = L$ ；Wilkinson 功分器 $F = 2 L$ （无耗时 3 dB，“元凶”是隔离电阻）；3 dB 正交桥同理 3 dB。失配只会让噪声更差、不会更好，所以低噪前端必须先匹配再谈噪声。

10.3 非线性失真

非线性器件的通用模型

把任何非线性网络的输出对输入电压展开成泰勒级数：

v_{o} = a_{0} + a_{1} v_{i} + a_{2} v_{i}^{2} + a_{3} v_{i}^{3} + \dots

每一项各司其职： $a_{0}$ 整流出直流、 $a_{1}$ 是线性放大/衰减、 $a_{2}$ 混频与倍频、 $a_{3}$ 交调与压缩。非线性不全是坏事（检波、混频、倍频全靠它），但在放大器里它意味着：谐波、饱和、交调、交叉调制、AM-PM 转换、频谱再生。

/图：一般非线性器件或网络：输入电压与输出电压的泰勒级数关系

增益压缩与 1dB 压缩点

单音输入 $v_{i} = V_{0} cos ω_{0} t$ 代入级数，基波幅度为 $a_{1} V_{0} + \frac{3}{4} a_{3} V_{0}^{3}$ ，电压增益：

G_{v} = a_{1} + \frac{3}{4} a_{3} V_{0}^{2}

实际放大器 $a_{3}$ 与 $a_{1}$ 反号（瞬时输出被电源电压”顶住”），于是输入越大增益越低——增益压缩/饱和。定义 1dB 压缩点 $P_{1 d B}$ ：实际输出功率比理想线性外推低 1 dB 处的功率。同一参考点的关系为 $O P_{1 d B} = I P_{1 d B} + G - 1$ dB。习惯上放大器标输出 $P_{1 d B}$ （数值大好看），混频器标输入 $P_{1 d B}$ 。

/图：非线性放大器的 1dB 压缩点定义：实际曲线偏离理想线性外推 1 dB 处

谐波与交调失真

双音输入 $v_{i} = V_{0} (cos ω_{1} t + cos ω_{2} t)$ 展开后，输出谱由 $m ω_{1} + n ω_{2}$ 组合频率构成，阶数 $∣ m ∣ + ∣ n ∣$ ：

/图：双音输入时二阶与三阶交调产物在输出频谱上的位置（ω1<ω2）

二阶产物（ $2 ω_{1}$ 、 $2 ω_{2}$ 、 $ω_{1} \pm ω_{2}$ ）：离基频远，容易滤掉——对放大器无害，对混频器反而是”正主”（和频/差频就是想要的输出）；
三阶产物（ $3 ω_{1}$ 、 $2 ω_{1} \pm ω_{2}$ 等）：其中 $2 ω_{1} - ω_{2}$ 和 $2 ω_{2} - ω_{1}$ 两个差频产物紧贴着基频，落在放大器通带内，滤不掉——这就是三阶交调失真（IMD3），放大器的头号大敌。

两个便于记忆的幅度关系：二阶差频幅度是二次谐波的 2 倍（功率差 6 dB）；三阶交调幅度是三次谐波的 3 倍（功率差约 9.5 dB）。

三阶截点 IP3

看功率增长规律：线性产物功率随输入一次方增长（对数图上斜率 1），三阶交调随输入三次方增长（斜率 3）。两条线迟早相交——这个假想交点就是三阶截点 $I P_{3}$ ，可参考输入（ $I I P_{3}$ ）或输出（ $O I P_{3}$ ， $O I P_{3} = G \times I I P_{3}$ ）。

/图：非线性器件的三阶截点图：斜率 1 的基波线与斜率 3 的三阶交调线相交于 IP3

用泰勒系数表达：令基波输出 $P_{ω_{1}} = \frac{1}{2} a_{1}^{2} V_{0}^{2}$ 、三阶产物 $P_{2 ω_{1} - ω_{2}} = \frac{9}{32} a_{3}^{2} V_{0}^{6}$ ，在截点处相等，解得

V_{I P} = \frac{4 a _{1}}{3 a _{3}}, O I P_{3} = \frac{2 a _{1}^{3}}{3 a _{3}}

实用规律： $I P_{3}$ 通常比 $P_{1 d B}$ 高 10~15 dB（同一参考点）。

级联系统的 IP3 会变差（变小），且交调产物是确定性的、可能同相相干——最坏情况按电压相加：

O I P_{3} = (\frac{1}{G _{2} O I P _{3}^{'}} + \frac{1}{O I P _{3}^{''}})^{- 1}

产物相位随机（非相干）时按功率合成：

O I P_{3} = (\frac{1}{G _{2}^{2} ( O I P _{3}^{'} ) ^{2}} + \frac{1}{( O I P _{3}^{''} ) ^{2}})^{- 1/2}

/图：级联系统的三阶截点：两级网络及其等效网络

例 10.4：级联截点计算

LNA（ $G = 20$ dB， $O I P_{3}^{'} = 22$ dBm）后接混频器（变频损耗 6 dB， $I I P_{3}^{''} = 13$ dBm）。先把混频器截点换到输出端： $O I P_{3}^{''} = 13 - 6 = 7$ dBm = 5 mW。相干合成：

O I P_{3} = (\frac{1}{0.25 \times 158} + \frac{1}{5})^{- 1} = 4.4 mW = 6.4 dBm

非相干合成 6.9 dBm。级联 IP3（6.4 dBm）比任何单级的 IP3 都低——和无噪系数”第一级主导”不同，末级的线性度同样致命。

无源交调（PIM）

金属-金属接触也能产生交调：连接器接触不良、铁基金属氧化、射频接触面污染、碳纤维/铁磁材料，甚至大功率下的热效应。PIM 难以从第一性原理预测，只能靠测量。因为三阶产物随输入三次方增长，PIM 只在大功率场景发威：蜂窝基站发射机 30~40 dBm 多载波并发时，要求 PIM 低于 −125 dBm——动态范围横跨一百多 dB，对电缆、连接器、天线的选型和日常维护（防氧化、防振动）都是硬约束。接收机功率小，一般不用操心 PIM。

10.4 动态范围

线性动态范围 LDR

功率放大器关心的指标：下限是噪声，上限是 1dB 压缩点。

LDR (dB) = O P_{1 d B} - N_{o}

（ $O P_{1 d B}$ 与输出噪声 $N_{o}$ 都用 dBm。）

无杂散动态范围 SFDR

低噪放大器/接收机更关心三阶交调什么时候污染信号：定义 SFDR 为”三阶交调功率恰好等于噪声底”时的最大信号功率与噪声底之比。利用 $P_{2 ω_{1} - ω_{2}} = P_{ω_{1}}^{3} / O I P_{3}^{2}$ ，令其等于 $N_{o}$ ，得

SFDR = (\frac{O I P _{3}}{N _{o}})^{2/3}

dB 形式最好记：

SFDR (dB) = \frac{2}{3} (O I P_{3} - N_{o})

若系统还要求最低输出信噪比 SNR，则再扣一刀：

SFDR (dB) = \frac{2}{3} (O I P_{3} - N_{o}) - SNR

/图：线性动态范围 LDR 与无杂散动态范围 SFDR 的图示：噪声底、基波线与三阶交调线

例：接收机的 LDR 与 SFDR

接收机 $F = 7$ dB、 $O P_{1 d B} = 25$ dBm、 $G = 40$ dB、 $O I P_{3} = 35$ dBm，天线噪声温度 $T_{A} = 150$ K，带宽 100 MHz，要求输出 SNR 10 dB：

输出噪声： $N_{o} = G k B [T_{A} + (F - 1) T_{0}] = - 47.4$ dBm；
$LDR = 25 + 47.4 = 72.4$ dB；
$SFDR = \frac{2}{3} (35 + 47.4) - 10 = 44.9$ dB。

SFDR 总是小于 LDR——因为三阶交调随功率立方爬升，比饱和来得早得多。

交调产物与谐波是两回事，别混着防

谐波（ $2 ω_{0}$ 、 $3 ω_{0}$ ）和大部分交调产物离基频远，滤波器一挡了之；唯独三阶交调差频 $2 ω_{1} - ω_{2}$ 、 $2 ω_{2} - ω_{1}$ 紧贴基频，滤波器无能为力。所以放大器线性度看 IM3/IP3，不看谐波——双音测试就是为此设计的。

系统设计速查表

想要低噪声：Friis 公式说第一级说了算 → LNA 低噪 + 高增益放最前面

想要大 IP3：级联截点公式说末级说了算 → 功率级/混频器线性度要高

想要宽 SFDR： $S F D R = \frac{2}{3} (O I P_{3} - N_{o})$ ，等价于”既低噪又线性”，两头都得抓

室温衰减器 $F = L$ ：能不加插损就不要加，每 1 dB 插损直接劣化 1 dB 噪声系数

自测题

自测 5 题（点击展开答案）

1. 一个放大器增益 20 dB、 $T_{e} = 170$ K，求其噪声系数（dB）。

答案： $F = 1 + T_{e} / T_{0} = 1 + 170/290 = 1.586$ ，即 $10 lo g (1.586) = 2.0$ dB。

2. 为什么级联系统的噪声性能主要由第一级决定？写出 Friis 公式并说明。

答案： $F_{c a s} = F_{1} + \frac{F _{2} - 1}{G _{1}} + \frac{F _{3} - 1}{G _{1} G _{2}} + \dots$ 。后面每一级自己产生的等效输入噪声都要除以其前面所有级的总增益；只要第一级增益足够大（如 LNA 20 dB），第二级之后的噪声贡献被稀释上百倍。反之若第一级是有耗元件（如先接一段长电缆）， $G_{1} < 1$ 会放大后面所有级的贡献。

3. 室温下 6 dB 衰减器的噪声系数是多少？为什么？

答案：6 dB。有耗网络与室温环境处于热平衡，输出噪声固定为 $k T_{0} B$ ；由 $F = 1 + (L - 1) T / T_{0}$ ，在 $T = T_{0}$ 时 $F = L = 4$ （倍数），即 6 dB。信号被衰减 6 dB 而噪声底不变，信噪比恶化 6 dB。

4. 双音信号通过放大器，为什么三阶交调产物 $2 ω_{1} - ω_{2}$ 比二次谐波 $2 ω_{1}$ 更危险？

答案：位置决定生死。 $2 ω_{1}$ 离基频很远，在通带外，用滤波器即可去除；而 $2 ω_{1} - ω_{2} = ω_{1} - (ω_{2} - ω_{1})$ ，当两音间隔很近时它只比 $ω_{1}$ 低一个音间隔，落在通带内，无法滤除，会直接干扰邻近信道的信号。且它的功率随输入三次方增长，信号越强恶化越快。

5. 某接收机 $O I P_{3} = 35$ dBm、输出噪声 $N_{o} = - 47.4$ dBm，求 SFDR；若要求输出 SNR 10 dB 呢？

答案： $SFDR = \frac{2}{3} (35 + 47.4) = 54.9$ dB；计入最低信噪比后 $SFDR = 54.9 - 10 = 44.9$ dB。几何直觉：三阶线斜率是基波线的 3 倍，两者差距每增大 Δ dB，可用无杂散范围只增大 $\frac{2}{3} Δ$ dB。

参考文献

Pozar, Microwave Engineering, 4th ed., Chapter 10
Maas, Nonlinear Microwave and RF Circuits, 2nd ed., Artech House, 2003
Egan, Practical RF System Design, Wiley, 2003

description	热噪声、噪声温度、噪声系数与级联 Friis 公式，1dB 压缩点、三阶交调与动态范围。
tags	微波工程精讲

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第10章噪声与非线性失真：系统性能的两道天花板

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10.1 微波电路中的噪声

动态范围与噪声的来源

噪声功率与等效噪声温度

Y 因子法测噪声温度

例 10.1：噪声温度测量

10.2 噪声系数

定义

有耗线/衰减器的噪声系数

级联系统的噪声系数（Friis 公式）

例 10.2：无线接收机前端噪声分析

无源网络的噪声系数（考虑失配）

10.3 非线性失真

非线性器件的通用模型

增益压缩与 1dB 压缩点

谐波与交调失真

三阶截点 IP3

例 10.4：级联截点计算

无源交调（PIM）

10.4 动态范围

线性动态范围 LDR

无杂散动态范围 SFDR

例：接收机的 LDR 与 SFDR

自测题

参考文献

关系图谱

目录

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动态范围与噪声的来源

噪声功率与等效噪声温度

Y 因子法测噪声温度

例 10.1：噪声温度测量

10.2 噪声系数

定义

有耗线/衰减器的噪声系数

级联系统的噪声系数（Friis 公式）

例 10.2：无线接收机前端噪声分析

无源网络的噪声系数（考虑失配）

10.3 非线性失真

非线性器件的通用模型

增益压缩与 1dB 压缩点

谐波与交调失真

三阶截点 IP3

例 10.4：级联截点计算

无源交调（PIM）

10.4 动态范围

线性动态范围 LDR

无杂散动态范围 SFDR

例：接收机的 LDR 与 SFDR

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