第07章 反馈环路分析与稳定性：从传递函数到补偿设计

这一篇在干嘛？

开关电源为什么会”叫”、为什么输出会振荡？因为反馈环路不稳定。这一章从最简单的 RC 电路出发，一路建立传递函数、波特图、极点/零点、相位裕度的直觉，最终手把手完成 Type 3 补偿网络的设计计算。这是全书最难也最值钱的一章。

从 RC 电路说起：什么是传递函数

把任何电路看成一个”黑盒子”：两个端子进（输入/激励），两个端子出（输出/响应），这就是二端口网络。电源本身也可以这样看。

回顾第 1 章的 RC 充电电路：给 RC 网络加一个阶跃电压 $v_i$，取电容电压 $v_o$ 为输出。定义输出与输入之比为传递函数：

$$\frac{v_o(t)}{v_i}=1-e^{-t/RC}$$

白话：输出按指数规律逼近输入，RC 越大爬得越慢。

注意传递函数不一定无量纲。例如电流检测电阻的传递函数是 V/A（即电阻）；PWM 级的输入是控制电压、输出是占空比，其传递函数单位是 V⁻¹。

推导过程要用基尔霍夫电压定律建立微分方程 $v_i=i(t)R+q(t)/C$，最终解出指数形式。这类只含一阶导数的方程叫一阶微分方程，其中除以 q(t) 的项（本例 RC）叫时间常数，常数项（$v_i/R$）叫强迫函数。

为什么到处都是 e，以及对数坐标

常数 e ≈ 2.718 之所以无处不在，是因为它描述了”每一步都按固定比例变化”的自然过程。

例：10000 台电源，年失效率 10%。2005 年 10000 台，2006 年 9000 台，2007 年 8100 台，2008 年 7290 台……把这些点画出来就是标准的衰减指数曲线（图 7-1）。最朴素的”恒定失效率”假设，天然导出指数函数——这就是 e 无处不在的原因。

对数坐标的关键用途：对 $f(x)=A\times e^{-x}$ 两边取自然对数，得 $\ln [f(x)]=-x+\ln (A)$——与直线方程 $y=mx+c$ 形式完全一致。所以指数函数画在”对数 y 轴 + 线性 x 轴”上就是一条直线（图 7-2）。另外记住换算：任何数的对数乘以 2.303 就是它的自然对数（$\ln 10=2.303$），所以底 10 对数与自然对数只是比例关系，曲线形状不变。

时域、频域与复数表示

纯电阻电路没有”滞后/超前”，时间无关紧要。一旦电路里有电容或电感，就必须研究响应随时间的变化——这是时域分析。

而任何周期波形都可分解为一系列正弦波的叠加（傅里叶分析），各分量彼此独立、可分别计算再求和——研究系统对不同频率正弦激励的响应，就是频域分析。

含电抗元件的电路中，电压电流之间有相位差，不能直接算术相加，必须用复数。复数同时携带幅值与相位信息：

$$\mathrm{A}=\mathrm{Re}+\mathrm{j}\mathrm{Im},\Vert A\Vert =\sqrt{{\mathrm{Re}}^2+{\mathrm{Im}}^2},\varphi ={\tan }^{-1}\left(\frac{\mathrm{Im}}{\mathrm{Re}}\right)$$

白话：实部虚部像直角三角形的两条直角边，幅值是斜边长，相位是夹角。

电抗元件的复阻抗为：

$$Z_L=\mathrm{j}\mathrm{L}\omega Z_C=\frac{1}{\mathrm{j}\mathrm{C}\omega }$$

白话：j 因子本质上携带了 90° 相移信息——电感电流滞后电压 90°，电容电流超前 90°；电阻只有实部，相位为零。欧姆定律升级为 $V(\omega t)=I(\omega t)\times Z(\omega )$。欧拉公式 $e^{j\theta }=\cos \theta +j\sin \theta$ 是连接指数与正弦的桥梁。

s 平面与拉普拉斯变换

真实的激励不会”从时间尽头开始重复”——比如阶跃信号就是非重复的。分析它需要连续的频率成分，还要允许幅值随时间增减，于是引入实指数项：正弦波写成 $e^{(\sigma +j\omega )t}$。复频率 $s=\sigma +\mathrm{j}\omega$ 构成 s 平面。做稳态分析时令 σ = 0，即 $s=\mathrm{j}\omega$ 即可。

在 s 平面里，阻抗写法变得极简：

$$Z_L=\mathrm{Ls}{Z}_C=\frac{1}{\mathrm{Cs}}$$

串并联规则与电阻一样（只是电容的行为”相反”：电容并联相加、串联取积除以和）：

$$Z(s)=Z_1(s)+Z_2(s)(\text{串联})Z(s)=\frac{Z_1\times Z_2}{Z_1+Z_2}(\text{并联})$$

拉普拉斯变换就是把时域微分方程映射到 s 域的方法：先变换激励，再变换电路，在 s 域解方程（比时域暴力法优雅得多），需要时再反变换回时域。二阶微分方程映射后，传递函数就是 s 的多项式之比：

$$\mathrm{G}(\mathrm{s})=\frac{{\mathrm{c}}_2{\mathrm{s}}^2+{\mathrm{c}}_1\mathrm{s}+{\mathrm{c}}_0}{{\mathrm{d}}_2{\mathrm{s}}^2+{\mathrm{d}}_1\mathrm{s}+{\mathrm{d}}_0},\mathrm{V}(\mathrm{s})=\mathrm{G}(\mathrm{s})\cdot \mathrm{U}(\mathrm{s})$$

白话：时域里的”求导”在 s 域里就是”乘 s”——微分方程瞬间变成代数方程。

对电源设计师的实用结论：算稳定性裕量只需要稳态分析（s = jω）；只有要精确算阶跃响应时才需要完整拉普拉斯变换。

扰动与反馈：控制到底知不知道自己该改多少

电源面对的扰动是输入电压变化（line）和负载变化（load）。反馈的目的是让输出”拒绝”这些扰动。

一个深刻的哲学问题：控制电路怎么知道该把占空比 correction 多少？它其实不知道，只知道方向。改慢了，输出过冲且持续时间长；改猛了，就会”矫枉过正”、来回振荡（ringing）。振荡的根源是任何反馈环路固有的因果不确定性：控制永远分不清眼前的误差是外部扰动，还是自己上次纠正的回响。

• 振荡几个周期后稳定 → 临界稳定（marginally stable）；
• 振荡不断放大、永不停止 → 不稳定（unstable）。

最优的反馈环路既不能太慢也不能太快。测试方法：在环路中某点注入小幅正弦扰动，看它绕一圈回来时的幅值和相位——若某频率下扰动同相位同幅值地”自我强化”，系统在该频率下不稳定。

由于只研究线性系统（输入加倍输出也加倍），且扰动必须足够小才不触碰内部”轨”（op-amp 饱和），所以这套分析叫小信号分析。注入信号幅值要适中：太大会削顶失真，太小会被开关噪声淹没。经验判据：在示波器上看开关波形，抖动约占边沿的 5~10% 为佳。

RC 滤波器：第一个极点与波特图

把 RC 分压网络变换到频域（图 7-4），令 s = jω，画出增益曲线和相位曲线，合称波特图（Bode plot）。增益与相位只在稳态有意义（“相位”只对正弦波才有定义）。

关键结论：

• 高频段增益每 10 倍频程下降 10 倍，用分贝表示就是 -20 dB/十倍频（decade），或 -6 dB/倍频（octave）。分贝定义：dB = 20×log(电压比)。
• 这种斜率常记作 “-1” 斜率（在对数-对数坐标且两轴等比例时，图形与横轴夹角恰为 45°）。两个电抗元件的 LC 滤波器则是 -2 斜率（-40 dB/dec，-12 dB/oct，夹角约 63°）。
• 增益渐近线的转折点叫转折频率（corner/break frequency）：

$$f=\frac{1}{2\pi RC}$$

• 渐近线近似误差很小：一阶滤波器最坏误差只有 3 dB，且恰发生在转折频率处。
• 相位在转折频率的 1/10 处开始变化、10 倍处结束，共移 90°；恰在极点频率处相位偏移为 45°。
• 增益与相位都随频率下降 → 这里存在一个极点。分母为零时传递函数无穷大，定义出极点；分子为零则定义出零点——零点是”反极点”：增益和相位都随频率上升，且能抵消同频率的极点。

白话记忆法：极点 = 分母归零 = 增益往下弯、相位往下掉；零点 = 分子归零 = 增益往上翘、相位往上抬。

积分器：极点在原点的放大器

反相运放的反馈支路只有一只电容（图 7-5）。直流下电容”不存在”→ 直流反馈为零 → 直流增益无穷大（实际受运放限制）。这正是补偿网络最需要的：直流增益越高，直流调节与低频纹波抑制越好。

它的特殊频率点不是转折点，而是增益恰好为 1（0 dB）的点，记作 fp0——即积分器的穿越频率：

$$fp0\equiv \frac{1}{2\pi \times RC}=\mathrm{Gai}{\mathrm{n}}_{\mathrm{A}}\times {\mathrm{f}}_{\mathrm{A}}$$

白话：-1 斜率的直线上，任意一点的”增益×频率”乘积处处相等，都等于 fp0——这是后面所有补偿计算的核心工具。

极点在零频率处的传递函数一般形式为 $1/(\mathrm{Xs})$，穿越频率 $\mathrm{fcross}=1/(2\pi X)$，此处 X = RC。

对数平面里的数学

级联模块相乘时，在 dB 域就是相加：$\log (AB)=\log (A)+\log (B)$。相位同样是各级相移之和。已知穿越频率和斜率，就能算出任意频率处的增益；把直线竖直平移，穿越频率也随之改变（图 7-6 的公式）。

LC 滤波器：双极点与 Q 值

buck 输出端天然有后置 LC 滤波器。boost 和 buck-boost 虽然实际电路中 L 和 C 之间隔着开关/二极管，但通过”标准型模型（canonical model）“技巧也能等效出一个后置 LC——只是电感要换成 $L/(1-D{)}^2$，C 不变。

核心结论：

• 谐振频率 $f=1/(2\pi \sqrt{LC})$，与负载和寄生电阻近似无关。
• 高频段增益以 -2 斜率下降，相位共移 180° → 这是一个双极点（double pole）。
• Q 值衡量谐振点的尖峰程度：Q = 20 意味着谐振频率处输出是输入的 20 倍（dB 图上为 20×log Q）。Q 大 → 欠阻尼；Q 小 → 过阻尼；Q = 0.707 为临界阻尼（谐振点增益比直流低 3 dB）。阻尼因子 $\zeta =1/(2Q)$。
• 串联寄生电阻（L 的 DCR、C 的 ESR）越大 Q 越低；轻载时负载电阻大，反而使 Q 升高。
• 与 RC 不同，LC 在 Q > 1 时输出可以超过输入（这就是”谐振”）。
• Q 很高时相位在谐振点附近急转 180°，可能诱发”条件稳定”问题（后述）——所以适当的阻尼对相位有利。
• 经验提醒：输出电容不能无脑加大——大 C 推高 Q、加剧尖峰和相位急变；若要加 C，同时加 L 可维持 Q 不变。

一阶/二阶低通滤波器传递函数的标准写法（务必熟悉，后面到处出现）：

$$G(s)=\frac{1/\mathrm{RC}}{s+1/\mathrm{RC}}(RC\text{ 低通})$$ $$G(s)=\frac{1/\mathrm{LC}}{s^2+s\left(1/\mathrm{RC}\right)+1/\mathrm{LC}}(LC\text{ 低通})$$

其中 ${\omega }_0=1/\sqrt{LC}$，且有两个常用恒等式：$L/R=1/({\omega }_{0}Q)$，$1/RC={\omega }_0/Q$。

反馈环路的整体框图

电源的”被控对象（plant）“可拆成级联的几块：PWM 级 → 功率级（驱动+开关）→ LC 滤波器；反馈块则包括分压器 + 带补偿的误差放大器。

开环增益就是绕环一圈的乘积 GH 的幅值；闭环增益指参考到输出的传递函数。一个反直觉的事实：实际电源根本无法真正”断开”反馈来测开环增益——增益太高，反馈电压稍动输出就会乱摆。必须先闭合环路（让变换器进入稳态调节），才能测所谓的”开环增益”。数学上也可证明：绕 G、H 级联一圈的比值恒为 GH，与环路闭合与否无关。

分压器与 PWM 增益

分压器把输出按比例降压，与 VREF 比较。稳态时运放两输入端近似相等，得设计公式：

$$\frac{Rf2}{Rf1}=\frac{{\mathrm{V}}_{\mathrm{O}}}{{\mathrm{V}}_{\mathrm{REF}}}-1$$

白话：想要的输出电压比基准高几倍，上下电阻就按几比一减一来配。

关键点：对理想运放，交流环路分析中只有上电阻 Rf2 参与计算，下电阻 Rf1 纯粹是直流偏置。（它间接影响环路——改 Rf1 会改变输出电压即改变被控对象——但从不进入极点/零点方程。）

PWM 级把”控制电压”变成占空比：误差放大器输出与锯齿波 ramp 比较，输出低于设定值 → COMP 升高 → 占空比加大。其增益为：

$${\text{Gain}}_{PWM}=\frac{1}{{\mathrm{V}}_{\mathrm{RAMP}}}$$

白话：锯齿波峰峰值 1 V，控制电压每变 1 V，占空比就变 100%；ramp 越大，控制越”钝”。单位是 V⁻¹。

电压前馈：让线扰动的校正”瞬时完成”

改进技巧：检测输入电压，输入翻倍就让 ramp 斜率翻倍，则占空比立刻减半——对 buck 这正是需要的响应（$D=V_O/V_{IN}$），而且完全绕过了误差放大器的延迟，实现了近乎完美的线扰动抑制。有意思的是，电压模式+前馈对 buck 的线抑制优于电流模式控制（电流模式的 ramp 来自电感电流，输入翻倍并不能让斜率翻倍）。前馈只适用于电压模式控制。

三种拓扑的被控对象传递函数

以下默认电压模式控制、CCM 连续导通，暂不含 ESR 零点。被控对象（控制到输出）传递函数 = PWM × 占空比到输出 × LC 滤波器三级相乘。

Buck（对 D 求导得 $\mathrm{d}{\mathrm{V}}_{\mathrm{O}}/dD=V_{IN}$）：

$$\frac{1}{V_{RAMP}}\times V_{IN}\times \frac{1/\mathrm{LC}}{s^2+s\left(1/\mathrm{RC}\right)+1/\mathrm{LC}}$$

白话：低频增益由 $V_{IN}/V_{RAMP}$ 决定，LC 双极点在 $1/(2\pi \sqrt{LC})$。

Boost（$\mathrm{d}{\mathrm{V}}_{\mathrm{O}}/dD=V_{IN}/(1-D{)}^2$，且注意分子多了一项！）：

$$\frac{1}{V_{RAMP}}\times \frac{V_{IN}}{(1-D{)}^2}\times \frac{\left(1-\frac{s}{{\omega }_{RHP}}\right)}{{\left(\frac{s}{{\omega }_0}\right)}^2+\frac{s}{{\omega }_{0}Q}+1}$$

Buck-boost（$\mathrm{d}{\mathrm{V}}_{\mathrm{O}}/dD$ 恰与 boost 相同，分子也带 RHP 零点项）：

$$\frac{1}{V_{RAMP}}\times \frac{V_{IN}}{(1-D{)}^2}\times \frac{\left(1-\frac{s}{{\omega }_{RHP}}\right)}{{\left(\frac{s}{{\omega }_0}\right)}^2+\frac{s}{{\omega }_{0}Q}+1}$$

所有拓扑的线到输出传递函数形式相同，只是把 $V_{IN}/V_{RAMP}$ 换成直流变比 D（buck）、$1/(1-D)$（boost）、$D/(1-D)$（buck-boost）。

注意两点：被控对象传递函数不依赖负载电流（CCM 下改变负载，波特图几乎不变）；对 boost/buck-boost，上述公式里的 L 要换成 $L/(1-D{)}^2$。

RHP 零点：boost 和 buck-boost 的天敌

注意 boost/buck-boost 分子里的 $\left(1-\frac{s}{{\omega }_{RHP}}\right)$——它是一个零点，但符号相反：频率升高时增益上升（像正常零点），相位却下降（像极点）。它无法用常规手段补偿（“杀不死”），唯一办法是把穿越频率压得远低于它（至少低一个数量级）。

它的位置（R 为负载电阻）：

$$f_{RHP}=\frac{R\times (1-D{)}^2}{2\pi L}(boost)f_{RHP}=\frac{R\times (1-D{)}^2}{2\pi L\times D}(buck\text{-}boost)$$

直觉解释：负载突然增大 → 输出微降 → 控制加大占空比想救输出。但 boost/buck-boost 只在开关关断期间向输出传能！占空比加大 = 关断时间变短 = 每周期送到输出的能量反而更少 → 输出先跌得更深，要等几个周期电感电流爬上来才能恢复。这就是 RHP 零点在作祟。它的根源：这两种拓扑的 L 和 C 之间隔着开关/二极管，没有真正的后置 LC。

常见坑：把穿越频率设得逼近 RHP 零点

RHP 零点处的相位塌陷会把相位裕度吃光。设计铁律：穿越频率必须至少比 RHP 零点低一个数量级，而且重载（D 大、f_RHP 低）时最危险——务必在最坏占空比下校验。

ESR 零点：又爱又恨的意外来客

输出电容的 ESR（串联等效电阻）会在传递函数分子上贡献一个”表现良好”的左半平面零点：

$$\frac{V_{IN}}{V_{RAMP}}\times \frac{\left(\frac{s}{\omega esr}+1\right)}{{\left(\frac{s}{{\omega }_0}\right)}^2+\frac{1}{Q}\left(\frac{s}{{\omega }_0}\right)+1},\omega esr=\frac{1}{ESR\times C}$$

白话：频率过了 $f_{esr}=1/(2\pi \cdot ESR\cdot C)$ 后，电容不再像纯电容，ESR 占主导，增益斜率从 -2 抬到 -1（若存在双极点）。

麻烦在于 ESR 很难控制：厂家一般不提供 min/max 规格、走线长度会叠加等效 ESR、铝电解的 ESR 还随温度和时间漂移。所以首选策略是粗略估计 ESR 零点位置，然后用补偿网络中的一个极点在同位置把它整体抵消掉。另外，为让环路对高频开关噪声不敏感，通常再放一个高频极点——早期经验放在 10 倍穿越频率处（因为它的影响从其 1/10 频率处就开始，放在 10 倍处就不会侵扰穿越点附近的相位）。

稳定性判据：相位裕度

闭环传递函数为：

$$\frac{\mathrm{G}(\mathrm{s})}{1+\mathrm{G}(\mathrm{s})\mathrm{H}(\mathrm{s})}$$

分母为零（$GH=-1$，即增益为 1、相位为 -180°）时系统”爆炸”。所以稳定性判据：扰动绕环一圈回来，幅值和相位都不能与出发点完全相同。相位上再转 180°（负反馈本身提供），即：开环传递函数在穿越频率（增益=1 处）的相位不能等于 -180°。

相位裕度（phase margin）= 穿越频率处相位与 -180° 的距离：

• 1°（相位 -179°）理论上也不算完全不稳定，但每次暂态都剧烈振铃，且元件容差、温度变化随时能把它推入深渊；
• 推荐 45°：振铃一两个周期、过冲很小——黄金平衡点；
• 80° 过于稳定：不振铃但响应太慢，过冲/下冲反而更大。

其他设计约定：穿越频率不超过开关频率的一半（采样定理），电压模式一般取开关频率的 1/6；穿越频率还必须避开 RHP 零点和电流模式的次谐波不稳定极点。另外要记住相位从极点/零点频率的 1/10 处就开始缓变，高 Q 双极点会在谐振点急转 180°——不靠策略单靠目测几乎无法估计相位裕度。

实用策略（流行且简单）：让开环增益以 -1 斜率穿越 0 dB 轴，且穿越点远离一切麻烦的极点零点。

大信号提醒：极大的 line/load 阶跃已超出小信号范畴，初始过冲几乎完全由输出大电容决定——它的作用是”撑住”输出直到环路介入。

补偿设计的完整推导

只放一个积分器会怎样？积分器 -1 斜率 + LC 双极点 -2 斜率 = 双极点之后以 -3 斜率下坠，无法满足”-1 穿越”的要求。解法分两步：

第一步：用两个单零点抵消 LC 双极点。 补偿后的开环增益全程 -1 斜率，此时穿越频率与积分器极点的关系为：

$$fp0=\frac{V_{RAMP}}{V_{IN}}\times \mathrm{fcross}\equiv \frac{1}{2\pi \times RC}$$

白话：想要的穿越频率越高、输入对 ramp 的低频增益越大，积分器的 RC 时间常数就要越小。boost/buck-boost 只需把 $V_{IN}/V_{RAMP}$ 换成 $V_{IN}/(V_{RAMP}(1-D{)}^2)$、L 换成 $L/(1-D{)}^2$。

第二步：再放一个极点抵消 ESR 零点（保证高频段快速下坠、抑制开关噪声）。

这就是 Type 3 补偿：1 个极点在原点（pole-at-zero）+ 2 个零点 + 2 个极点。其传递函数：

$$\frac{\omega p0}{s}\times \frac{\left(\frac{s}{\omega z1}+1\right)\left(\frac{s}{\omega z2}+1\right)}{\left(\frac{s}{\omega p1}+1\right)\left(\frac{s}{\omega p2}+1\right)}$$

在 $R_1\gg R_3$、$C_1\gg C_3$ 的简化假设下，各极点零点位置为：

$$fp0\approx \frac{1}{2\pi R_1{C}_1},fp1=\frac{1}{2\pi R_3{C}_2},fp2\approx \frac{1}{2\pi R_2{C}_3}$$ $$fz1=\frac{1}{2\pi R_2{C}_1},fz2\approx \frac{1}{2\pi R_1{C}_2}$$

典型例题 1：Type 3 补偿完整设计

题：300 kHz 同步 buck 控制器，15 V 降到 1 V，负载 0.2 Ω（5 A），ramp = 2.14 V，L = 5 µH，C = 330 µF，ESR = 48 mΩ。

第一步：低频被控对象增益与 LC 双极点。

$$20\log \left(\frac{V_{IN}}{V_{RAMP}}\right)=20\log \left(\frac{15}{2.14}\right)=16.9\text{dB}$$ $$\mathrm{fLC}=\frac{1}{2\pi \sqrt{LC}}=\frac{1}{2\pi \sqrt{5\times 10^{-6}\times 330\times 10^{-6}}}\approx 3.918\text{kHz}$$

第二步：目标穿越频率与积分器 RC。 取开关频率的 1/6，即 50 kHz：

$$R_1{C}_1=\frac{V_{IN}}{2\pi \times V_{RAMP}\times \mathrm{fcross}}=\frac{15}{2\pi \times 2.14\times 50\times 10^3}=2.231\times 10^{-5}\text{s}$$

选 $R_1=2\text{k}\Omega$，则 $C_1=2.231\times 10^{-5}/2000\approx 11.16\text{nF}$，积分器极点 $fp0=1/(2\pi R_1{C}_1)\approx 7.133\text{kHz}$。

第三步：ESR 零点与极零点布局。

$$\mathrm{fesr}=\frac{1}{2\pi \times 48\times 10^{-3}\times 330\times 10^{-6}}\approx 10.05\text{kHz}$$

布局方案：$fz1=fz2=3.918\text{kHz}$（抵消 LC 双极点）；$fp1=\mathrm{fesr}=10.05\text{kHz}$（抵消 ESR 零点）；$fp2=10\times \mathrm{fcross}=500\text{kHz}$（高频滚降）。

第四步：解出剩余元件（用未简化的联立方程）：

$$C_2=\frac{1}{2\pi R_1}\left(\frac{1}{fz2}-\frac{1}{fp1}\right)\approx 12.4\text{nF}$$ $$R_2=R_1\frac{fp0}{\mathrm{fLC}}=2000\times \frac{7.133}{3.918}\approx 3.641\text{k}\Omega$$ $$C_3=\frac{1}{2\pi (R_{2}fp2-R_{1}fp0)}\approx 88.11\text{pF}$$ $$R_3=\frac{R_1\times fz2}{fp1-fz2}=\frac{2000\times 3.918}{10.05-3.918}\approx 1.278\text{k}\Omega$$

典型例题 2：把相位裕度从 79° 优化到 45°

上图显示裕量过于”慷慨”——很稳定但响应偏慢（过阻尼）。分析：两个零点抵消了双极点，fp1 抵消 ESR 零点，剩下的是积分器的极点在原点，贡献 -90° 相移 → 理论相位裕度 90°，实测 79° 合理。

直觉：极点让相位变差（拖向 -180°），零点让相位变好。想主动把裕度降到 45°，就该”故意加一个极点”——fp2 正是干这个的。把它的判据从”10 倍穿越”改为恰放在穿越频率：

$$fp2=\mathrm{fcross}=50\text{kHz}$$

单极点在自己频率处贡献 45° 相移，估算新裕度 79° − 45° = 34°。重算元件后实测（图 7-17）：相位裕度约 45°，原因是穿越频率自己滑落到约 40 kHz（极点在穿越点会造成 3 dB 的实际增益下坠，穿越提前）。

推论：采用”高频极点放在穿越频率”策略时，初始目标穿越频率应设为期望值的 1.2 倍左右，因为最终会缩水约 20%。

其他技巧：把两个零点对称地”摊开”在 LC 双极点两侧而非重合，可以吸收双极点 180° 相位急转的”突兀感”。

条件稳定（conditional stability）：若某频段相位过度贴近 -180°（虽然增益很高、平时不振荡），一旦大信号扰动使误差放大器”到轨”、增益瞬间跌向 0 dB，就可能在相位恰为 -180° 的频率穿越 → 全面失稳。这就是为什么要用零点吸收双极点的相位陡变。

开环增益到底买了什么：输入纹波抑制

闭环后，线扰动被额外压低 $1/(1+T)$ 倍（T = 开环增益）：

$${\text{line-to-output}}_{\text{with feedback}}=\left(\frac{1}{1+T}\right)\times {\text{line-to-output}}_{\text{without feedback}}$$

低频下 T 很大（T+1 ≈ T），额外衰减量（dB）≈ 开环增益（dB）——这就是拼命抬高低频开环增益的意义。

典型例题 3：100 Hz 输入纹波能压到多小

题：离线电源要压制 100 Hz 输入纹波，穿越频率 500 kHz（补偿后开环低频段等效为纯 pole-at-zero）。求对 100 Hz 分量的总衰减。

解：利用”-1 斜率直线上增益×频率守恒”：

$${\text{Open-Loop-Gain}}_{100Hz}=\frac{\mathrm{fcross}}{100}=\frac{500\times 10^3}{100}=500$$

即 $20\log (500)=54\text{dB}$ 的额外衰减。加上无反馈时已有的 $|20\log D|=23.5\text{dB}$（D = 0.067），总衰减 $54+23.5=77.5\text{dB}$，相当于 $10^{77.5/20}\approx 7500$ 倍。若输入低频纹波 ±15 V，输出只剩 $\pm 15/7500=\pm 2\text{mV}$。

负载暂态方面：无反馈时输出阻抗为 R、C、L 三者并联 $Z_{out}=s\underline{L}/(1+s\frac{L}{R}+s^{2}LC)$；闭环后同样被压低为 $Z_{out}/(1+T)$——它直接告诉你负载阶跃后输出最终会偏移多少。

Type 1 / Type 2 补偿与跨导运放

• Type 1：只有 pole-at-zero（纯积分器）。只能配合电流模式控制（且 ESR 零点在穿越频率以下）使用。
• Type 2：pole-at-zero + 1 零点 + 1 极点。零点数量不够抵 LC 双极点，因此适合电流模式控制（没有 LC 双极点），或电压模式下借用 ESR 零点充当第二个零点（要求 ESR 零点低于穿越频率）。
• Type 3：pole-at-zero + 2 零点 + 2 极点。电压模式控制 buck 的标准配置。

跨导（gm）运放：电压转电流的开环放大器，$gm=\Delta I/\Delta V$，输出电流流过阻抗 Z 形成控制电压。与普通运放的关键区别：分压器的上下两个电阻 Rf2、Rf1 都进入交流分析（分压器可视为增益 $Rf1/(Rf1+Rf2)$ 的降压块，与运放级联）。全功能 gm 补偿可拆成 H1（输入侧）、H2、H3 三块级联，形式酷似 Type 3 但有个陷阱：H1 的零点和极点是”捆绑”的——固定了极点 fp2，零点 fz2 就自动确定。所以 H1 的零点只有在 fp2 位于穿越频率或更远时才可用。

典型例题 4：跨导运放补偿（全功能版）

题：300 kHz 同步 buck，25 V 降到 5 V，负载 0.2 Ω（25 A），ramp = 2.14 V，L = 5 µH，C = 330 µF，ESR = 48 mΩ，gm = 0.3 mhos，VREF = 1 V。

LC 双极点同前：$\mathrm{fLC}\approx 3.918\text{kHz}$。取穿越 50 kHz。按分压公式取 Rf2 = 4 kΩ、Rf1 = 1 kΩ（对应 5 V/1 V），则前馈电容：

$$\mathrm{Cff}=\frac{(Rf1+Rf2)}{2\pi \times (Rf1\cdot Rf2)\times \mathrm{fcross}}\approx 3.98\text{nF}$$

反馈块整体穿越频率：

$$fp0=\frac{V_{RAMP}\times (Rf1+Rf2)}{(2\pi {)}^2\times \mathrm{fLC}\times {Rf2}^2\times {\mathrm{Cff}}^2\times V_{IN}\times Rf1}\approx 10.9\text{kHz}$$

据此算出：$C_1=\frac{1}{2\pi fp0}\times \frac{Rf1}{Rf1+Rf2}\times gm\approx 0.87\mu \text{F}$；$R_1=\frac{1}{2\pi \mathrm{fLC}{C}_1}\approx 46.5\Omega$；$C_2=C_{OUT}\times ESR/R_1\approx 0.34\mu \text{F}$。实测（图 7-21 对应设计）：相位裕度约 40°，穿越约 40 kHz——合格。

简化版：当输出电压接近基准（Rf2 ≪ Rf1）时 H1 的零极点会重合抵消，全功能方案失效。此时改用 ESR 零点补足斜率（不再用极点去抵消它），电路只剩 C1、R1：$fp0=\frac{V_{RAMP}\times \mathrm{fcross}}{2\pi \times \mathrm{fLC}\times ESR\times C_{OUT}\times V_{IN}}$，再算 $C_1=\frac{1}{2\pi fp0}\times \frac{Rf1}{Rf1+Rf2}\times gm$、$R_1=\frac{1}{2\pi \mathrm{fLC}{C}_1}$。前提：ESR 零点必须位于 LC 极点频率与穿越频率之间。想要更低裕度可再引入 C2 形成极点放在穿越频率处——同样会使穿越缩水约 20%。

电流模式控制的补偿

电流模式下 PWM ramp 来自电感电流，电感等效”出局”，LC 双极点消失，只剩输出电容与负载电阻形成的单极点（输出极点）——补偿大幅简化，环路可以做得更快。但电流模式建模极其困难（电压环+电流环双环作用，学界至今未有完全统一的模型）。共识：极点变了，零点没变——boost/buck-boost 的 RHP 零点依然存在，穿越频率仍须远低于它。

简化模型要点（Middlebrook 简化版）：

• 被控对象只剩单极点 + pole-at-zero 级联后开环以 -2 斜率下坠 → 只需一个零点拉回 -1 穿越。可用 Type 2 补偿，或直接利用 ESR 零点（要求其低于穿越频率，此时甚至 Type 1 就够）。
• 次谐波不稳定：电流模式的怪病——开关脉冲一宽一窄交替出现、暂态响应恶化。发生条件：D ≥ 50% 且 CCM 同时成立。其源头是开关频率一半处的一个增益尖峰（有 Q 值，类似 LC 双极点），现被建模为”半开关频率极点”。它虽远在穿越频率之外，但尖峰过高时可能再次触碰 0 dB 轴 → 失稳。
• 对策是斜坡补偿（slope compensation）：往比较器的电流 ramp 上叠加一个小斜坡（或等效地修改控制电压），相当于混入一点电压模式。它经由”转移电阻” $R_{MAP}$（V/I 映射比）可用 A/s 或 V/s 两种等价单位描述。

• 尖峰的 Q 由电感电流上下斜坡与补偿斜坡共同决定：补偿不足 → Q 升高；给定补偿量就需要最小电感量（反之，给定电感就需要最小补偿量）。但补偿斜坡会影响峰值电流限流点，进而影响输出功率能力——输入电压两端都要校验。
• 经验值：保证 Q ≤ 2（源自大量实测数据）。Q 再小更安全但电感更大；Q 大则次谐波不稳定。最小电感方程（见 DC-DC 设计章）正是按 Q ≤ 2 推出的。

设计步骤（跨导运放版，常规运放类似）：① 选穿越频率（目标 1/3 开关频率，且手动确认远低于 RHP 零点）；② 由被控对象直流增益 $G_0=A/B$ 定 $fp0=\mathrm{fcross}/(A/B)$；③ $C_1=\frac{y\cdot gm}{2\pi fp0}$（y 为分压衰减比）；④ $R_1=\frac{1}{2\pi C_1{f}_P}$（$f_P$ 为输出极点）；⑤ $C_2=\frac{1}{2\pi R_{1}fesr}$（抵消 ESR 零点）。

通关标准：

1. 会画 RC（单极点，-1 斜率/-90°）与 LC（双极点，-2 斜率/-180°）的渐近波特图，并说出 Q 的物理意义；
2. 能解释为什么闭环系统在”增益=1 且相位=-180°“处爆炸，以及 45° 相位裕度为何是黄金值；
3. 理解 RHP 零点（增益升、相位降、无法补偿，只能把穿越频率压低一个数量级）与 ESR 零点（可利用或用极点抵消）的本质区别；
4. 能独立完成 Type 3 补偿的完整元件计算，并知道 fp2=fcross 可把裕度优化到约 45°（穿越会缩水 20%）；
5. 知道电流模式下 LC 双极点消失、补偿简化，但 D≥50% 且 CCM 时必须做斜坡补偿防次谐波不稳定。

自测：为什么补偿网络非要一个"极点在原点"（积分器）？

直流增益无穷大（实际为很高值）意味着输出直流误差趋近于零、直流调节极好，且低频线纹波抑制等于开环增益（dB 域）——没有 pole-at-zero，这些全没了。

自测：为什么开环增益要在穿越频率处以 -1 斜率穿越 0 dB 轴？

-1 斜率意味着穿越点附近相位约为 -90°，天然留有约 90° 的相位裕度；-2 或 -3 斜率穿越则相位已贴近或越过 -180°，裕度耗尽。这是最简单可靠的设计判据。

自测：RHP 零点为什么"杀不死"，正确姿势是什么？

它的增益行为像零点、相位行为像极点，常规的”用反性质的极零点抵消”对它无效（对应右半平面极点对）。唯一办法是把开环带宽（穿越频率）压到至少低于它一个数量级，让环路”看不见”它。

自测：输出电容加大为什么可能反而坏事？

大 C 会推高 LC 滤波器的 Q（轻载时更明显），谐振尖峰更高、相位在谐振点附近急转 180°，可能诱发条件稳定问题。若必须加大 C，同时按比例加大 L 可保持 Q 不变。

自测：次谐波不稳定在什么条件下发生？在波特图上长什么样？

条件是占空比接近或超过 50%，且变换器工作在 CCM。波特图上表现为开关频率一半处出现无法解释的增益尖峰；实测波形是宽窄交替的脉冲序列，此时测得的 Bode 图毫无意义（无法读出相位裕度）。对策是斜坡补偿，工程上按尖峰 Q ≤ 2 确定最小电感或最小补偿量。