第16章有源滤波器设计：从传递函数到电路拓扑

这一篇在干嘛？

这是全书的查阅型大章：教你按”传递函数 → 查系数表 → 套拓扑公式”的流程设计有源滤波器。先建立滤波器系数 a_i、b_i 和品质因数 Q 的概念，对比 Butterworth / Tschebyscheff / Bessel 三种响应的取舍，再依次给出低通、高通、带通、带阻、全通五类滤波器的 Sallen-Key 与多反馈（MFB）设计公式、例题和实用选型建议。

16.1 为什么要有源滤波器

滤波器 = 让某些频率通过、阻止另一些频率的器件。典型应用：调制解调与语音处理的音频带通、数据采集系统的抗混叠低通、电源里抑制 50/60 Hz 工频干扰的带阻。还有一类全通滤波器不改变幅度，只给每个频率分量加线性相移（恒定延时）。

低频段（1 Hz–1 MHz）电感值变得巨大、笨重、不经济，所以用运放 + R + C 组成有源滤波器，在低频实现 LRC 级别的滤波性能：

图16-1 二阶无源低通与二阶有源低通对比 图 16-1 二阶无源低通（含电感）与二阶有源低通（运放替代）

16.2 低通滤波器基础：传递函数与系数

最简单的一阶 RC 低通：

A (s) = \frac{\frac{1}{R C}}{s + \frac{1}{R C}} = \frac{1}{1 + s R C}

白话：s 是复频率变量，正弦稳态时 s = jω。为了通用，把 s 对截止频率 ω_C 归一化：s → jΩ（Ω = f/f_C），传递函数变成 A(s) = 1/(1+s)，幅度响应：

∣ A ∣ = \frac{1}{1 + Ω ^{2}}

白话：Ω ≫ 1 时滚降为 −20 dB/十倍频。想要更陡就把 n 个 RC 级级联（中间加运放做阻抗隔离，避免级间加载）：

A (s) = \frac{1}{( 1 + α _{1} s ) ( 1 + α _{2} s ) \dots ( 1 + α _{n} s )}

但纯 RC 级联有三大缺陷（对照图 16-4）：通带在远低于 f_C 处就开始下垂；过渡带不陡峭；相位非线性造成信号失真。要优化，传递函数必须允许共轭复数极点：

图16-4 四阶无源RC低通的频率与相位响应 图 16-4 四阶 RC 低通：单级滚降 −20 dB/dec，整体 −80 dB/dec，但与理想特性差距明显

A (s) = \frac{A _{0}}{( 1 + a _{1} s + b _{1} s ^{2} ) ( 1 + a _{2} s + b _{2} s ^{2} ) \dots ( 1 + a _{n} s + b _{n} s ^{2} )} = \frac{A _{0}}{\prod _{i} ( 1 + a _{i} s + b _{i} s ^{2} )} (16-1)

白话：任何高阶滤波器 = 若干个二阶节（外加一个一阶节）级联；A₀ 是直流通带增益，系数 a_i、b_i 决定每节极点位置。**设计流程从此定型：查表拿系数 → 用拓扑公式算 R、C。**三套预置系数对应三种优化目标：

优化目标	系数类型	特点	典型用途
通带最平坦	Butterworth（巴特沃斯）	通带平坦，滚降中等	抗混叠、精确幅度测量
过渡带最陡	Tschebyscheff（切比雪夫）	通带有等幅纹波，换滚降陡度	滤波器组、频率内容优先
相位最线性	Bessel（贝塞尔）	群延迟恒定，方波传输最优	波形保真、延时线

图16-5 巴特沃斯低通各阶幅度响应 图 16-5 Butterworth 低通：阶数越高通带越平、滚降越陡

图16-6 切比雪夫低通各阶增益响应 图 16-6 Tschebyscheff 低通：纹波越大滚降越陡；偶数阶纹波在 0 dB 线上方、奇数阶在下方

图16-7 四阶低通相位响应对比 图 16-7 三种四阶低通的相位响应：Bessel 最接近线性

图16-9 四阶低通增益响应对比 图 16-9 三种四阶低通的增益响应对比：平坦度与陡峭度不可兼得

品质因数 Q

带通滤波器：Q = 中心频率 / (−3 dB) 带宽：

Q = \frac{f _{m}}{( f _{2} - f _{1} )}

低通/高通滤波器：Q 表示极点品质，由系数直接算：

Q = \frac{b _{i}}{a _{i}}

Q 越高滤波器越”尖”，也越容易不稳。图形上（Q > 3 时），Q 的 dB 值近似等于增益峰尖到 0 dB 线的距离：Q₅[dB] = 20·log Q₅。例如十阶 3 dB 纹波 Tschebyscheff 的第五节峰值 31 dB → Q₅ = 10^(31/20) = 35.48，与理论值 35.85 相差不到 1%。

16.3 低通滤波器设计

每级的传递函数（式 16-2）与一阶情形（b = 0，式 16-3）：

A _ {i} (s) = \frac {A _ {0}}{\left(1 + a _ {i} s + b _ {i} s ^ {2}\right)}\tag{16-2} \qquad A (s) = \frac {A _ {0}}{1 + a _ {1} s}\tag{16-3} \quad (b=0)

级联规则：偶数阶全用二阶节；奇数阶开头多一个一阶节（下图）。为避免前级饱和，各级按 Q 值从低到高排列（系数表已按此排好）。

图16-11 高阶滤波器的级联结构 图 16-11 用一阶 + 二阶节搭建至六阶的滤波器

16.3.1 一阶低通

同相与反相两种实现，系数对比后得设计公式（非同相：A₀ = 1 + R₂/R₃，a₁ = ω_c·R₁C₁；反相：A₀ = −R₂/R₁，a₁ = ω_c·R₂C₁）。指定 f_C、A₀、C₁ 后求电阻：

R_{1} = \frac{a _{1}}{2 π f _{c} C _{1}}

R_{2} = R_{3} (A_{0} - 1) （同相） R_{1} = - \frac{R _{2}}{A _{0}} （反相）

所有滤波器类型的一阶节都相同：a₁ = 1。

例题 1：一阶单位增益低通（原书 Example 16-1）

f_C = 1 kHz、C₁ = 47 nF，a₁ = 1：

R_{1} = \frac{1}{2 π \cdot 1 0 ^{3} Hz \cdot 47 \cdot 1 0 ^{- 9} F} = 3.38 k Ω

若这是三阶 Bessel 滤波器的第一节，查 Bessel 系数表得 a₁ = 0.756，则：

R_{1} = \frac{0.756}{2 π \cdot 1 0 ^{3} \cdot 47 \cdot 1 0 ^{- 9}} = 2.56 k Ω

结论：同为”一阶节”，系数随整体滤波器类型和阶数而变，必须查表。

16.3.2 二阶低通：Sallen-Key 与 MFB 两大拓扑

Sallen-Key 拓扑

图16-15 通用Sallen-Key低通滤波器 图 16-15 通用 Sallen-Key 低通：增益由 R₄/R₃ 单独设定（A₀ = 1 + R₄/R₃）

传递函数：

A (s) = \frac{A _{0}}{1 + ω _{c} [ C _{1} ( R _{1} + R _{2} ) + ( 1 - A _{0} ) R _{1} C _{2} ] s + ω _{c}^{2} R _{1} R _{2} C _{1} C _{2} s ^{2}}

单位增益版（A₀ = 1，高增益精度、低 Q < 3 场合首选）系数对比：

a_{1} = ω_{c} C_{1} (R_{1} + R_{2}), b_{1} = ω_{c}^{2} R_{1} R_{2} C_{1} C_{2}

给定 C₁、C₂，解出电阻：

R_{1, 2} = \frac{a _{1} C _{2} \mp a _{1}^{2} C _{2}^{2} - 4 b _{1} C _{1} C _{2}}{4 π f _{c} C _{1} C _{2}}

实数解条件（根号内非负）：

C_{2} \geq C_{1} \frac{4 b _{1}}{a _{1}^{2}}

例题 2：二阶单位增益 3 dB 纹波 Tschebyscheff 低通（原书 Example 16-2，完整流程）

设计目标：f_C = 3 kHz、通带纹波 3 dB。

① 查 3 dB Tschebyscheff 系数表：a₁ = 1.0650、b₁ = 1.9305。

② 指定 C₁ = 22 nF，检验 C₂ 条件：

C_{2} \geq 22 nF \cdot \frac{4 \cdot 1.9305}{1.06 5 ^{2}} ≅ 150 nF

③ 代入电阻公式：

R_{1} = 1.26 k Ω, R_{2} = 1.30 k Ω

④ 取 1% 标称值电阻即可。整个设计就是”查表 → 定电容 → 解电阻”四步。

Sallen-Key 的等值特例（R₁ = R₂ = R、C₁ = C₂ = C）：

A (s) = \frac{A _{0}}{1 + ω _{c} R C ( 3 - A _{0} ) s + ( ω _{c} R C ) ^{2} s ^{2}} with A_{0} = 1 + \frac{R _{4}}{R _{3}}

R = \frac{b _{1}}{2 π f _{c} C} and A_{0} = 3 - \frac{a _{1}}{b _{1}} = 3 - \frac{1}{Q}

白话：等值 Sallen-Key 里 Q 由增益 A₀ 唯一决定（Q = 1/(3 − A₀)），调 R₄/R₃ 就能切换滤波器类型：

表 16-1 二阶滤波器系数与增益设定（等值 Sallen-Key）

二阶	Bessel	Butterworth	3 dB Tschebyscheff
a₁	1.3617	1.4142	1.065
b₁	0.618	1	1.9305
Q	0.58	0.71	1.3
R₄/R₃	0.268	0.568	0.234

多重反馈（MFB）拓扑

图16-19 二阶MFB低通滤波器 图 16-19 二阶 MFB 低通：信号经多路反馈到反相输入端，适合高 Q、高增益

传递函数：

A (s) = - \frac{\frac{R _{2}}{R _{1}}}{1 + ω _{c} C _{1} ( R _{2} + R _{3} + \frac{R _{2} R _{3}}{R _{1}} ) s + ω _{c}^{2} C _{1} C _{2} R _{2} R _{3} s ^{2}}

系数对比：A₀ = −R₂/R₁；a₁ = ω_c·C₁(R₂ + R₃ + R₂R₃/R₁)；b₁ = ω_c²·C₁C₂R₂R₃。给定 C₁、C₂ 解电阻：

R_{2} = \frac{a _{1} C _{2} - a _{1}^{2} C _{2}^{2} - 4 b _{1} C _{1} C _{2} ( 1 - A _{0} )}{4 π f _{c} C _{1} C _{2}}, R_{1} = \frac{R _{2}}{- A _{0}}, R_{3} = \frac{b _{1}}{4 π ^{2} f _{c}^{2} C _{1} C _{2} R _{2}}

实数解条件：C₂ ≥ C₁·4b₁(1 − A₀)/a₁²。注意 MFB 是反相结构（A₀ 带负号）。

16.3.3 高阶低通与例题

高阶 = 一阶节 + 二阶节级联，系数全部查表（每张表给出 1–10 阶）。

例题 3：五阶单位增益 Butterworth 低通（原书 Example 16-3，完整流程）

目标：f_C = 50 kHz。查 Butterworth 五阶系数：

节	a_i	b_i
Filter 1（一阶）	1.0000	0
Filter 2（二阶）	1.6180	1
Filter 3（二阶）	0.6180	1

第一节：C₁ = 1 nF，

R _ {1} = \frac {1}{2 \pi \cdot 50\,\text{kHz} \cdot 1\,\text{nF}} = 3.18\,\text{k}\Omega \ \to\ \text{取 1% 标称 } 3.16\,\text{k}\Omega

第二节：C₁ = 820 pF，先算 C₂ 下限：

\mathrm{C} _ {2} \geq 820\,\text{pF} \cdot \frac {4 \cdot 1}{1.618 ^ {2}} = 1.26\,\text{nF} \ \to\ \text{取 5% 标称 } 1.5\,\text{nF}

再解 R₁、R₂：

R _ {1} = 1.87\,\text{k}\Omega, \qquad R _ {2} = 4.42\,\text{k}\Omega \quad(\text{均有 1% 标称值})

第三节：C₁ = 330 pF，C₂ ≥ 330 pF·4/0.618² = 3.46 nF → 取 10% 标称 4.7 nF；解得 R₁ = 1.45 kΩ → 1.47 kΩ、R₂ = 4.51 kΩ → 4.53 kΩ。

图16-22 五阶Butterworth低通最终电路 图 16-22 五阶单位增益 Butterworth 低通：一阶节 + 两个 Sallen-Key 二阶节

description	低通/高通/带通/带阻/全通五类滤波器 + 三种优化响应 + Sallen-Key/MFB 拓扑设计公式与系数表速查。
tags	运放精讲

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