第15章 正弦波振荡器：维恩电桥与相移振荡

这一篇在干嘛？

振荡器是”故意不稳定”的电路：不需要输入信号，靠正反馈把噪声放大成稳定的正弦波。这一章回答三个问题——振荡的条件是什么、怎么算振荡频率、以及怎么压住失真（维恩电桥、相移、Bubba、正交四种电路各给完整公式）。

15.1 振荡器是什么？两类振荡器

运放振荡器（op amp oscillator）是被故意设计成不稳定的电路：输出在两个电源轨之间持续来回翻转，产生均匀的参考信号，广泛用于音频、函数发生器、数字系统和通信系统。

振荡器分两大类：

类型	波形	实现方式	本章是否讨论
正弦振荡器	正弦波	RC / LC 选频网络或晶体	是
张弛振荡器	三角波、锯齿波、方波、脉冲	阈值翻转（弛豫）	否

两个关键限制要先记住：

• 无输入也能起振：噪声电压充当最初的”助推信号”，正反馈把它逐周期放大，输出按电路决定的频率建立起来。
• 运放振荡器只能工作在频谱低端：电压反馈型运放的主极点可能低至 10 Hz，带宽不够导致高频相位偏移过大，一般限制在低 kHz 段。几百 MHz 以上的场合要用晶体振荡器；电流反馈运放带宽虽宽，但对反馈电容敏感，不适合做振荡器。

15.2 振荡条件：巴克豪森判据

用最简单的负反馈系统框图来推导（框图见下图，推导见第 5 章）：

图 15-1 带正反馈或负反馈的反馈系统标准形式

$$\frac{V_{\text{OUT}}}{V_{\text{IN}}}=\frac{A}{1+A\beta }\text{\hspace{1em}(15-1)}$$

白话：闭环增益 = 开环增益 A 除以 (1 + 环增益 Aβ)。当分母为零，即 $1+A\beta =0$ 时，系统找不到稳定状态——这就是振荡的根源。

$$A\beta =-1\iff A\beta =1\angle -180^{\circ }$$

这就是巴克豪森判据（Barkhausen criterion）：环增益的幅度为 1，同时相位偏移恰为 −180°（负反馈系统）。若是正反馈系统，等价写法为 $A\beta =1\angle 0^{\circ }$。

实际发生的过程分三步：

1. 相位到 −180° 且 |Aβ| = 1 时，输出”想冲向无穷大”，只被有限的电源能量拦住；
2. 输出逼近电源轨时，放大器的有源器件进入非线性区（饱和/截止），增益 A 下降，Aβ ≠ 1，增长放缓并停止；
3. 之后只有三种结局：锁死在电源轨（不稳定锁存）、长时间停留一侧再翻转（→张弛振荡器，输出近似方波）、或保持线性并反向翻转（→正弦波振荡器，我们要的就是第三种）。

常见坑

书上写的是 −180°（负反馈系统），很多教材写 +360°，本质相同——都是”信号绕环路一圈回到同相”。别被符号绕晕，抓住”环增益 = 1 且相位为 2kπ”即可。

15.3 相位偏移：RC 节的数量决定频率稳定性

180° 的相移由有源器件和无源元件共同提供。设计原则：相移尽量由无源元件贡献（精确、几乎不漂移），有源器件（运放）贡献的相移要最小化（随温度变化、个体差异大）。

• 单个 RC（或 RL）极点最多贡献 90° 相移 → 至少要两个极点才能凑出 180°；
• LC 电路一对极点即可贡献 180°，但低频电感贵、重、体积大且不理想，低频振荡器用多级 RC代替。

振荡发生在累计相移达到 180° 的那个频率上。频率稳定性由相频曲线在该点的斜率 dφ/dω 决定：斜率越陡，频率越稳。

图 15-2 RC 节的相位曲线：级数越多，180° 处的 dφ/dω 越陡

RC 级数	180° 处 dφ/dω	频率稳定性	备注
2 级	很低	差	频率随条件漂移
3 级	较高	好	单运放相移振荡器标配
4 级	优秀	最佳	每级只需 45°，可用四运放实现正交输出

四级是实用上限：运放有四运放封装（quad），四级 RC 还能顺便输出四个彼此相移 45° 的正弦波，可得到正弦/余弦（正交）信号。

晶体/陶瓷谐振器靠其非线性获得极高的 dφ/dω，是最稳的振荡源，但用于高频场合；低频时按经验”用高频晶体振荡器 + 分频 + 滤波”比直接做低频谐振器更划算。

15.4 增益的矛盾：必须 =1，但设计要 >1

振荡频率处必须满足 $A\beta =1\angle -180^{\circ }$。这里有个设计悖论：

• 增益太低 → 最坏情况下（元件公差、温度漂移）Aβ < 1，停振；
• 增益太高 → 输出过驱动放大器，削顶严重，波形更像方波，失真大。

行业做法：标称增益设计得略大于 1（保证可制造性），靠有源器件的非线性（接近电源轨时增益自动下降）把实际环增益”拉回” 1。低失真振荡器还要加辅助电路精调增益：在反馈环里插非线性元件（灯泡、二极管）、AGC 自动增益控制环等。增益越稳定，正弦波越纯。

15.5 运放本身的影响：带宽与压摆率

前面都假设运放带宽无限，实际运放经补偿后由单主极点主导，A 是频率的函数：

$$A_{CL}=\frac{A}{1+A\beta }=\frac{\frac{1}{\beta }}{1+\frac{1}{A\beta }}=\frac{A_{CLideal}}{1+\frac{A_{CLideal}}{A_{OL}}}\text{\hspace{1em}(15-2)}$$

白话：闭环增益 = 理想闭环增益打了个折扣，折扣大小取决于开环增益 A_OL 与理想值之比。闭环增益越高，A_CL 越早与开环增益曲线相交。

图 15-3 运放频率响应：在 ω_3dB 处幅度衰减 3 dB、相移 45°，相位从 0.1ω_3dB 开始变、到 10ω_3dB 达 90°

运放相移的后果：实际振荡频率被拉低；同时 A_CL 下降可能使 Aβ < 1，直接停振。所以运放的增益带宽积应至少比振荡频率高一个十倍程（图中阴影区）。维恩电桥要求 GBW > 43ω_OSC 才能把增益和频率误差控制在 10% 以内。

原书实测对比（维恩电桥、非线性反馈，振荡范围 16 Hz–160 kHz）：

运放	带宽	最大振荡频率	衰减
LM328	0.4 MHz	72 kHz	>75%
TLV247x	2.8 MHz	125 kHz	18%
TLC071	10 MHz	138 kHz	2%

带宽选错，输出会在远低于设计值的频率上振荡。另外两个提醒：

• 大阻值反馈电阻会与运放输入电容相互作用产生极点/零点，若靠近振荡频率会干扰相位——别用太大的 R；
• 压摆率约束：SR 必须 > $2\pi V_P{f}_0$（V_P 为输出峰值电压，f_0 为振荡频率），否则输出信号失真。

15.6 振荡电路的分析方法：断环法

实际振荡器常同时含正、负反馈。分析方法：负反馈路径合并成一个增益项（闭环增益），正反馈网络记为 β₂，把环在 X 处断开，加测试信号 V_TEST，算 V_OUT。

推导（正端分压 → 同相放大 → 合并）：

$$V_{+}=V_{\text{TEST}}\left(\frac{Z_4}{Z_3+Z_4}\right)\text{\hspace{1em}(15-3)}$$

白话：正输入端的电压是 V_TEST 经过 Z₃、Z₄ 分压的结果。

$$V_{\text{OUT}}=V_{+}\left(\frac{Z_1+Z_2}{Z_1}\right)\text{\hspace{1em}(15-4)}$$

白话：运放接成同相放大器，增益由 Z₁、Z₂（即负反馈支路 R_G、R_F）决定。

$$\frac{V_{\text{OUT}}}{V_{\text{TEST}}}=\left(\frac{Z_3}{Z_3+Z_4}\right)\left(\frac{Z_1+Z_2}{Z_1}\right)\text{\hspace{1em}(15-5)}$$

白话：环路传递 = 正反馈网络分压比 × 负反馈放大倍数。令它等于 1（复数意义上）就能解出振荡频率和所需增益。这套公式在运放开环增益很大、振荡频率 < 0.1ω_3dB 时有效。

15.7 四种经典电路

15.7.1 维恩电桥（Wien Bridge）：最简单、最常用

图 15-7 维恩电桥电路原理图

对应 15.6 的框架：Z₁ = R_G，Z₂ = R_F，Z₃ = R₁ + 1/sC₁（串联臂），Z₄ = R₂ ∥ 1/sC₂（并联臂）。正反馈电压推导：

$$\frac{V_{+}}{V_{\text{TEST}}}=\frac{1}{1+R_1{C}_{2}s+\frac{R_1}{R_2}+\frac{1}{R_2{C}_{1}s}+\frac{C_2}{C_1}}\text{\hspace{1em}(15-7)}$$

代入 s = jω₀，并令 ω₁ = 1/R₁C₂、ω₂ = 1/R₂C₁：

$$\frac{V_{+}}{V_{\text{TEST}}}=\frac{1}{1+\frac{R_1}{R_2}+\frac{C_2}{C_1}+j\left(\frac{{\omega }_0}{{\omega }_1}-\frac{{\omega }_2}{{\omega }_0}\right)}\text{\hspace{1em}(15-8)}$$

关键观察：要让它贡献完整的 180° 相移且在 ω₀ 处极、零点互相抵消（幅度不随频率变），必须 C₁ = C₂、R₁ = R₂，并令 ω₁ = ω₂ = ω₀。于是虚部为零：

$$\frac{V_{+}}{V_{\text{TEST}}}=\frac{1}{3+j\left(\frac{{\omega }_0}{{\omega }_0}-\frac{{\omega }_0}{{\omega }_0}\right)}=\frac{1}{3}\text{\hspace{1em}(15-9)}$$

白话：正反馈网络只”分走” 1/3 的信号，且相位为 0°。所以负反馈放大器的增益必须恰好 A = 3，即 R_F = 2R_G，环增益才等于 1。

振荡频率：

$$f_0=\frac{1}{2\pi RC}$$

单电源供电时需加直流参考电压 V_REF（原书取 0.833 V，把输出偏置到 2.5 V 中轨）以获得满摆幅和最小失真；双电源应用把 V_REF 接地即可。

图 15-8 最终维恩电桥振荡器电路

例题 1：维恩电桥设计

选 C₁ = C₂ = C = 0.01 µF、R₁ = R₂ = R = 10 kΩ，则

$$f_0=\frac{1}{2\pi \times 10\text{k}\Omega \times 0.01\mu \text{F}}\approx 1.59\text{kHz}$$

增益设 1 + R_F/R_G = 3，即 R_F = 2R_G（如 R_G = 10 kΩ、R_F = 20 kΩ）。原书实测：因元件值有偏差，电路实际振在 1.57 kHz，失真 2%——这是输出在两个电源轨都被削顶造成的（奇偶次谐波都大）。把反馈电阻调 ±1% 观察：R_F 增大→饱和加深→失真增大；R_F 减小超过 0.8%→停振。这正是”增益贴着 1 走”有多脆弱的直观证据。

改善一：非线性反馈（灯泡法）

图 15-10 用白炽灯做非线性反馈元件的维恩电桥

把 R_G 换成白炽灯 R_LAMP（冷态电阻约为 R_F 的一半）：上电时灯是冷的、阻值小、增益 > 3，电路起振；电流加热灯丝后阻值上升，增益自动降回 3。灯的电流-电阻非线性使输出幅度变化很小。原书实测 f_OSC = 1.57 kHz 时失真降到 1%——避免了运放硬饱和。

代价：灯的阻抗主要是热效应，输出幅度对温度敏感、会漂移；当 f_OSC 逼近灯的热时间常数 t_thermal 时失真大增（可串联多只灯增大 t_thermal，代价是起振变慢、幅度降低）。

改善二：AGC 自动增益控制

图 15-12 带 JFET-AGC 的维恩电桥振荡器

JFET 当可变电阻用：上电时栅压 0 V，R_DS 小，(R_G2 + R_S + R_DS) 与 R_G1 并联使增益升到 3.05，起振；输出增大后负半周使二极管导通，采样存到 C₁ 上给 Q₁ 栅极提供直流电位；输出漂高 → R_DS 增大 → 增益降到最小 2.87，最终稳定在增益恰为 3。R₁ 限制电流并决定 C₁ 的充电时间常数（应远大于 1/f_OSC）。原书实测失真 0.8%（残余失真来自正电源轨的轻微削顶）。还可在 D₁ 串一个齐纳二极管限制正摆幅进一步降失真。

15.7.2 单运放相移振荡器

图 15-14 单运放相移振荡器（三级 RC 级联）

假设三级 RC 互不加载，环增益为：

$$A\beta =A{\left(\frac{1}{RCs+1}\right)}^3\text{\hspace{1em}(15-10)}$$

每级要贡献 −60° 相移，三级凑 −180°。tan 60° = 1.732，故振荡条件为：

$$\omega =\frac{1.732}{RC}$$

该频率下每级幅度衰减 1/2，三级共 (1/2)³ = 1/8，所以增益必须 A = 8。

例题 2：相移振荡器频率计算

取 R = 10 kΩ、C = 1 nF：

$$f=\frac{1.732}{2\pi \times 10\text{k}\Omega \times 1\text{nF}}\approx 27.6\text{kHz}$$

原书实测警告：实际电路振在 3.76 kHz 而非计算的 2.76 kHz，起振增益需要 27 而非 8——最大原因是”RC 节互不加载”这个假设不成立（前后级互相影响）。所以单运放相移振荡器如今已不流行（运放便宜了），但它的输出失真仅 0.46%，比无稳幅的维恩电桥低得多——级联 RC 顺便当了失真滤波器。

15.7.3 缓冲型相移振荡器

在每级 RC 之间插入运放缓冲器，消除级间加载，实测就贴近计算值了。用四运放的话，第四个运放把 R_G 对第三级 RC 的加载也缓冲掉，性能接近理想。最纯净的正弦波从最后一级 RC 的输出取——那是高阻抗节点，后级必须用高输入阻抗接，否则带载会移频。

15.7.4 Bubba 振荡器：四运放的正交输出

图 15-18 Bubba 振荡器：四运放封装 + 四级 RC

四级 RC，每级只需贡献 45°，dφ/dω 极佳、频率漂移最小。环增益：

$$\mathsf{A}\beta =\mathsf{A}(\frac{1}{\mathsf{RCs}+1}{)}^4\text{\hspace{1em}(15-11)}$$

在 ω = 1/RC 处（j = tan45° = 1）：

$$|\beta |=\left|{\left(\frac{1}{j+1}\right)}^4\right|=\frac{1}{{\sqrt{2}}^4}=\frac{1}{4}\text{\hspace{1em}(15-12)}$$ $$\varphi ={\tan }^{-1}(1)=45^{\circ }\text{\hspace{1em}(15-13)}$$

所以增益 A = 4。从相隔的 RC 节取输出即得低阻抗正交（正弦/余弦）信号；四个输出各相移 45°。原书实测 1.76 kHz（理想 1.72 kHz）、增益 4.17（理想 4）。失真：正弦输出 1%，余弦输出 0.1%。低偏置电流运放使 R_G 不加载最后一级 RC，频率精度有保障；想要所有输出都极低失真，就把增益分摊到四个运放（需各自加偏置，但不影响振荡频率）。

例题 3：Bubba 起振增益验证

四级在 ω = 1/RC 处每级衰减 1/√2，四级总衰减 (1/√2)⁴ = 1/4，故 Aβ = 1 要求 A = 4。若想留 5% 起振裕量，可设 A = 4.2（对应 R_F/R_G = 3.2），让非线性自动收敛回 4。

15.7.5 正交振荡器：双积分结构

图 15-20 正交振荡器：两级积分器 + 反相器

思路很妙：正弦波的双重积分是同频反相的正弦波（每个积分器贡献 90°，共 180°），把第二级积分器的相位再反一次，作为正反馈送回输入，就凑出 2kπ 的完整相位。三个 RC 节各贡献 90°：

$$A\beta =A\left(\frac{1}{R_1{C}_{1}s}\right)\left(\frac{R_3{C}_{3}s+1}{R_3{C}_{3}s(R_2{C}_{2}s+1)}\right)\text{\hspace{1em}(15-14)}$$

当 R₁C₁ = R₂C₂ = R₃C₃ 时化简为：

$$A\beta =A{\left(\frac{1}{RCs}\right)}^2\text{\hspace{1em}(15-15)}$$

在 ω = 1/RC 处环增益为 1∠−180°，加上反相器即为正反馈，振荡于：

$$\omega =2\pi f=\frac{1}{RC}$$

原书实测 1.65 kHz（计算 1.59 kHz，偏差来自元件容差）。两个输出天然正交（正弦 + 余弦），但失真偏高：正弦 0.846%、余弦 0.46%，需要加稳幅电路改善；调增益可增大幅度，代价是带宽。

15.8 选型总结

电路	运放数	增益需求	失真	频率稳定性	特点
维恩电桥（基本）	1	3	高（~2%）	好	元件最少；必须加稳幅
维恩电桥 + 灯泡/AGC	1(+辅助)	≈3	0.8–1%	好	中高频段非线性反馈最佳
相移（单运放）	1	8（实际更高）	0.46%	一般	RC 互加载，误差大，已不流行
相移（缓冲）	3–4	8	低	好	缓冲消除加载，贴近计算
Bubba	4	4	0.1%（余弦口）	最佳	四路 45° 输出，可出正交
正交	2	按电路	0.46–0.85%	一般	双输出正交；幅度偏低

收尾一句原书的祝愿：May your oscillators always oscillate, and your amplifiers always amplify.

常见坑

1. 增益裕量是双刃剑：留太多起振稳，但削顶失真暴涨；低失真应用必须加灯泡/二极管/AGC 稳幅，不能靠”贴地”增益裸奔。
2. 运放带宽不够 → 振荡频率显著低于设计值甚至停振。维恩电桥至少留 GBW > 43ω_OSC；一般原则是比 f_OSC 高一个十倍程。
3. 压摆率不足会直接失真：SR > 2πV_P·f_0，别忘了算。
4. 单运放相移振荡器的”A=8、ω=1.732/RC”公式基于”RC 节互不加载”的假设，实测偏差可达 30% 以上，精确设计请用缓冲结构。
5. 大反馈电阻与运放输入电容形成的寄生极点可能落在振荡频率附近，扰动相位——电阻别贪大。
6. 单电源应用别忘 V_REF 中轨偏置（维恩电桥经 R₂ 只流向负反馈支路，避免直流电流扰环），双电源则把 V_REF 接地。

通关标准：

1. 能默写巴克豪森判据（Aβ = 1 且相位 2kπ）并解释”为什么增益要设计成略大于 1 却又必须收敛回 1”。
2. 能推导维恩电桥 β = 1/3、A = 3、f = 1/(2πRC) 三件套，并说出灯泡稳幅和 JFET-AGC 的原理。
3. 能说出 RC 级数与 dφ/dω 的关系，并解释为什么 Bubba 振荡器频率最稳、失真最低。
4. 会算运放带宽和压摆率是否满足振荡器需求。

自测：为什么维恩电桥要求 R₁ = R₂、C₁ = C₂？

只有当串联臂与并联臂的极点、零点频率相等（ω₁ = ω₂ = ω₀）时，两者的相位贡献才能凑成完整的 180° 往返，且极零点互相抵消使幅度不随频率变化，反馈系数才收敛为纯实数 1/3。若不相等，虚部不为零，β 既不是 1/3 也带相移，起振条件与频率都要重算。

自测：相移振荡器为什么三级 RC 要每级 −60°，而不是每级 −90°？

单级 RC 的相移极限是 −90°，但只在频率趋于无穷时达到，幅度同时衰减到 0，无法提供增益。让每级在振荡频率处贡献 −60°（tan60°=1.732，即 ωRC = 1.732），三级合计 −180°，此时每级幅度只衰减 1/2，用 A = 8 的增益即可补偿，是可行且经济的折中。

自测：Bubba 振荡器为什么用四个运放而不是三个？

四级 RC 每级只需 45° 相移，180° 附近的 dφ/dω 比三级（每级 60°）更陡，频率更稳；同时四运放封装正好用满，还能从相邻节取出彼此相移 45° 的多路正弦波、从相隔节取正交（正弦/余弦）输出，一举多得。

自测：正交振荡器的核心思想是什么？

正弦波的二次积分是同频的反相正弦（每次积分 +90° 相位滞后），两级积分共 180°；再把第二级输出反相（+180°）送回正反馈，环内总相位为 360° = 2kπ，满足巴克豪森判据。优点是同时输出正弦和余弦，缺点是失真偏高、幅度偏低。

自测：灯泡稳幅的维恩电桥在振荡频率升高到接近灯的热时间常数时会发生什么？

灯丝温度跟不上信号周期的变化，非线性补偿失效，失真急剧增大。解决办法是串联多只灯增大热时间常数，但起振稳定时间变长、输出幅度降低；高频场合应改用 AGC 或二极管软限幅。