第16章 有源滤波器设计：从传递函数到电路拓扑

这一篇在干嘛？

这是全书的查阅型大章：教你按”传递函数 → 查系数表 → 套拓扑公式”的流程设计有源滤波器。先建立滤波器系数 a_i、b_i 和品质因数 Q 的概念，对比 Butterworth / Tschebyscheff / Bessel 三种响应的取舍，再依次给出低通、高通、带通、带阻、全通五类滤波器的 Sallen-Key 与多反馈（MFB）设计公式、例题和实用选型建议。

16.1 为什么要有源滤波器

滤波器 = 让某些频率通过、阻止另一些频率的器件。典型应用：调制解调与语音处理的音频带通、数据采集系统的抗混叠低通、电源里抑制 50/60 Hz 工频干扰的带阻。还有一类全通滤波器不改变幅度，只给每个频率分量加线性相移（恒定延时）。

低频段（1 Hz–1 MHz）电感值变得巨大、笨重、不经济，所以用运放 + R + C 组成有源滤波器，在低频实现 LRC 级别的滤波性能：

图 16-1 二阶无源低通（含电感）与二阶有源低通（运放替代）

16.2 低通滤波器基础：传递函数与系数

最简单的一阶 RC 低通：

$$A(s)=\frac{\frac{1}{RC}}{s+\frac{1}{RC}}=\frac{1}{1+sRC}$$

白话：s 是复频率变量，正弦稳态时 s = jω。为了通用，把 s 对截止频率 ω_C 归一化：s → jΩ（Ω = f/f_C），传递函数变成 A(s) = 1/(1+s)，幅度响应：

$$|\mathsf{A}|=\frac{1}{\sqrt{1+{\Omega }^2}}$$

白话：Ω ≫ 1 时滚降为 −20 dB/十倍频。想要更陡就把 n 个 RC 级级联（中间加运放做阻抗隔离，避免级间加载）：

$$A(s)=\frac{1}{(1+{\alpha }_{1}s)(1+{\alpha }_{2}s)\dots (1+{\alpha }_{n}s)}$$

但纯 RC 级联有三大缺陷（对照图 16-4）：通带在远低于 f_C 处就开始下垂；过渡带不陡峭；相位非线性造成信号失真。要优化，传递函数必须允许共轭复数极点：

图 16-4 四阶 RC 低通：单级滚降 −20 dB/dec，整体 −80 dB/dec，但与理想特性差距明显

$$A(s)=\frac{A_0}{(1+a_{1}s+b_1{s}^2)(1+a_{2}s+b_2{s}^2)\dots (1+a_{n}s+b_n{s}^2)}=\frac{A_0}{{\prod }_i(1+a_{i}s+b_i{s}^2)}\text{\hspace{1em}(16-1)}$$

白话：任何高阶滤波器 = 若干个二阶节（外加一个一阶节）级联；A₀ 是直流通带增益，系数 a_i、b_i 决定每节极点位置。**设计流程从此定型：查表拿系数 → 用拓扑公式算 R、C。**三套预置系数对应三种优化目标：

优化目标	系数类型	特点	典型用途
通带最平坦	Butterworth（巴特沃斯）	通带平坦，滚降中等	抗混叠、精确幅度测量
过渡带最陡	Tschebyscheff（切比雪夫）	通带有等幅纹波，换滚降陡度	滤波器组、频率内容优先
相位最线性	Bessel（贝塞尔）	群延迟恒定，方波传输最优	波形保真、延时线

图 16-5 Butterworth 低通：阶数越高通带越平、滚降越陡

图 16-6 Tschebyscheff 低通：纹波越大滚降越陡；偶数阶纹波在 0 dB 线上方、奇数阶在下方

图 16-7 三种四阶低通的相位响应：Bessel 最接近线性

图 16-9 三种四阶低通的增益响应对比：平坦度与陡峭度不可兼得

品质因数 Q

带通滤波器：Q = 中心频率 / (−3 dB) 带宽：

$$Q=\frac{f_m}{(f_2-f_1)}$$

低通/高通滤波器：Q 表示极点品质，由系数直接算：

$$Q=\frac{\sqrt{b_i}}{a_i}$$

Q 越高滤波器越”尖”，也越容易不稳。图形上（Q > 3 时），Q 的 dB 值近似等于增益峰尖到 0 dB 线的距离：Q₅[dB] = 20·log Q₅。例如十阶 3 dB 纹波 Tschebyscheff 的第五节峰值 31 dB → Q₅ = 10^(31/20) = 35.48，与理论值 35.85 相差不到 1%。

16.3 低通滤波器设计

每级的传递函数（式 16-2）与一阶情形（b = 0，式 16-3）：

A _ {i} (s) = \frac {A _ {0}}{\left(1 + a _ {i} s + b _ {i} s ^ {2}\right)}\tag{16-2} \qquad A (s) = \frac {A _ {0}}{1 + a _ {1} s}\tag{16-3} \quad (b=0)

级联规则：偶数阶全用二阶节；奇数阶开头多一个一阶节（下图）。为避免前级饱和，各级按 Q 值从低到高排列（系数表已按此排好）。

图 16-11 用一阶 + 二阶节搭建至六阶的滤波器

16.3.1 一阶低通

同相与反相两种实现，系数对比后得设计公式（非同相：A₀ = 1 + R₂/R₃，a₁ = ω_c·R₁C₁；反相：A₀ = −R₂/R₁，a₁ = ω_c·R₂C₁）。指定 f_C、A₀、C₁ 后求电阻：

$$R_1=\frac{a_1}{2\pi f_{\mathrm{c}}{C}_1}$$ $$R_2=R_3(A_0-1)\text{（同相）}{R}_1=-\frac{R_2}{A_0}\text{（反相）}$$

所有滤波器类型的一阶节都相同：a₁ = 1。

例题 1：一阶单位增益低通（原书 Example 16-1）

f_C = 1 kHz、C₁ = 47 nF，a₁ = 1：

$$R_1=\frac{1}{2\pi \cdot 10^3\text{Hz}\cdot 47\cdot 10^{-9}\text{F}}=3.38\text{k}\Omega$$

若这是三阶 Bessel 滤波器的第一节，查 Bessel 系数表得 a₁ = 0.756，则：

$$R_1=\frac{0.756}{2\pi \cdot 10^3\cdot 47\cdot 10^{-9}}=2.56\text{k}\Omega$$

结论：同为”一阶节”，系数随整体滤波器类型和阶数而变，必须查表。

16.3.2 二阶低通：Sallen-Key 与 MFB 两大拓扑

Sallen-Key 拓扑

图 16-15 通用 Sallen-Key 低通：增益由 R₄/R₃ 单独设定（A₀ = 1 + R₄/R₃）

传递函数：

$$A(s)=\frac{A_0}{1+{\omega }_c\left[C_1\left(R_1+R_2\right)+\left(1-A_0\right)R_1{C}_2\right]s+{\omega }_c^2{R}_1{R}_2{C}_1{C}_2{s}^2}$$

单位增益版（A₀ = 1，高增益精度、低 Q < 3 场合首选）系数对比：

$$a_1={\omega }_{\mathrm{c}}{C}_1(R_1+R_2),b_1={\omega }_{\mathrm{c}}^2{R}_1{R}_2{C}_1{C}_2$$

给定 C₁、C₂，解出电阻：

$$R_{1,2}=\frac{a_1{C}_2\mp \sqrt{a_1^2{C}_2^2-4b_1{C}_1{C}_2}}{4\pi f_c{C}_1{C}_2}$$

实数解条件（根号内非负）：

$${\mathrm{C}}_2\ge {\mathrm{C}}_1\frac{4{\mathrm{b}}_1}{{\mathrm{a}}_1^2}$$

例题 2：二阶单位增益 3 dB 纹波 Tschebyscheff 低通（原书 Example 16-2，完整流程）

设计目标：f_C = 3 kHz、通带纹波 3 dB。

① 查 3 dB Tschebyscheff 系数表：a₁ = 1.0650、b₁ = 1.9305。

② 指定 C₁ = 22 nF，检验 C₂ 条件：

$${\mathrm{C}}_2\ge 22\text{nF}\cdot \frac{4\cdot 1.9305}{1.065^2}\cong 150\text{nF}$$

③ 代入电阻公式：

$$R_1=1.26\text{k}\Omega ,R_2=1.30\text{k}\Omega$$

④ 取 1% 标称值电阻即可。整个设计就是”查表 → 定电容 → 解电阻”四步。

Sallen-Key 的等值特例（R₁ = R₂ = R、C₁ = C₂ = C）：

$$A(s)=\frac{A_0}{1+{\omega }_{c}RC(3-A_0)s+({\omega }_{c}RC{)}^2{s}^2}\text{with}{A}_0=1+\frac{R_4}{R_3}$$ $$R=\frac{\sqrt{b_1}}{2\pi f_{c}C}\text{ and }{A}_0=3-\frac{a_1}{\sqrt{b_1}}=3-\frac{1}{Q}$$

白话：等值 Sallen-Key 里 Q 由增益 A₀ 唯一决定（Q = 1/(3 − A₀)），调 R₄/R₃ 就能切换滤波器类型：

表 16-1 二阶滤波器系数与增益设定（等值 Sallen-Key）

二阶	Bessel	Butterworth	3 dB Tschebyscheff
a₁	1.3617	1.4142	1.065
b₁	0.618	1	1.9305
Q	0.58	0.71	1.3
R₄/R₃	0.268	0.568	0.234

多重反馈（MFB）拓扑

图 16-19 二阶 MFB 低通：信号经多路反馈到反相输入端，适合高 Q、高增益

传递函数：

$$A(s)=-\frac{\frac{R_2}{R_1}}{1+{\omega }_c{C}_1\left(R_2+R_3+\frac{R_2{R}_3}{R_1}\right)s+{\omega }_c^2{C}_1{C}_2{R}_2{R}_3{s}^2}$$

系数对比：A₀ = −R₂/R₁；a₁ = ω_c·C₁(R₂ + R₃ + R₂R₃/R₁)；b₁ = ω_c²·C₁C₂R₂R₃。给定 C₁、C₂ 解电阻：

$$R_2=\frac{a_1{C}_2-\sqrt{a_1^2{C}_2^2-4b_1{C}_1{C}_2(1-A_0)}}{4\pi f_{\mathrm{c}}{C}_1{C}_2},R_1=\frac{R_2}{-A_0},R_3=\frac{b_1}{4{\pi }^2{f}_{\mathrm{c}}^2{C}_1{C}_2{R}_2}$$

实数解条件：C₂ ≥ C₁·4b₁(1 − A₀)/a₁²。注意 MFB 是反相结构（A₀ 带负号）。

16.3.3 高阶低通与例题

高阶 = 一阶节 + 二阶节级联，系数全部查表（每张表给出 1–10 阶）。

例题 3：五阶单位增益 Butterworth 低通（原书 Example 16-3，完整流程）

目标：f_C = 50 kHz。查 Butterworth 五阶系数：

节	a_i	b_i
Filter 1（一阶）	1.0000	0
Filter 2（二阶）	1.6180	1
Filter 3（二阶）	0.6180	1

第一节：C₁ = 1 nF，

R _ {1} = \frac {1}{2 \pi \cdot 50\,\text{kHz} \cdot 1\,\text{nF}} = 3.18\,\text{k}\Omega \ \to\ \text{取 1% 标称 } 3.16\,\text{k}\Omega

第二节：C₁ = 820 pF，先算 C₂ 下限：

\mathrm{C} _ {2} \geq 820\,\text{pF} \cdot \frac {4 \cdot 1}{1.618 ^ {2}} = 1.26\,\text{nF} \ \to\ \text{取 5% 标称 } 1.5\,\text{nF}

再解 R₁、R₂：

R _ {1} = 1.87\,\text{k}\Omega, \qquad R _ {2} = 4.42\,\text{k}\Omega \quad(\text{均有 1% 标称值})

第三节：C₁ = 330 pF，C₂ ≥ 330 pF·4/0.618² = 3.46 nF → 取 10% 标称 4.7 nF；解得 R₁ = 1.45 kΩ → 1.47 kΩ、R₂ = 4.51 kΩ → 4.53 kΩ。

图 16-22 五阶单位增益 Butterworth 低通：一阶节 + 两个 Sallen-Key 二阶节

16.4 高通滤波器设计

核心技巧：把低通的 R、C 互换位置，响应曲线沿 Ω = 1 镜像，传递函数里 s ↔ 1/s：

图 16-23 低通 → 高通：电阻和电容位置对调

$$A(s)=\frac{A_{\infty }}{{\prod }_i\left(1+\frac{a_i}{s}+\frac{b_i}{s^2}\right)}\text{\hspace{1em}(16-4)}$$

白话：通带增益改记为 A∞（频率无穷远处），系数 a_i、b_i 与低通完全相同，照查同一批表。一阶（b = 0）：

$$A(s)=\frac{A_0}{1+\frac{a_i}{s}}\text{\hspace{1em}(16–6)}$$

一阶设计公式（同相 A∞ = 1 + R₂/R₃；反相 A∞ = −R₂/R₁；a₁ = 1/(ω_c·R₁C₁)）：

$$R_1=\frac{1}{2\pi f_c{a}_1{C}_1}$$

二阶同样分 Sallen-Key 与 MFB，只是 R、C 换位。单位增益 Sallen-Key 高通（C₁ = C₂ = C）：

$$a_1=\frac{2}{{\omega }_{\mathrm{c}}{R}_{1}C},b_1=\frac{1}{{\omega }_{\mathrm{c}}^2{R}_1{R}_2{C}^2}$$ $$R_1=\frac{1}{\pi f_{\mathrm{c}}C{a}_1},R_2=\frac{a_1}{4\pi f_{\mathrm{c}}C{b}_1}$$

MFB 高通指定 C₁ = C₃ = C 时：A∞ = C/C₂，解得 R₁ = (1 − 2A∞)/(2πf_c·C·a₁)、R₂ = a₁/(2πf_c·b₁·C₂(1 − 2A∞))。MFB 高通的通带增益对电容容差很敏感，必须用紧公差电容。

例题 4：三阶单位增益 Bessel 高通（原书 Example 16-4，f_C = 1 kHz）

查 Bessel 三阶系数：第一节 a₁ = 0.756（一阶）、第二节 a₂ = 0.9996、b₂ = 0.4772（二阶）。取 C = 100 nF： 第一节 R₁ = 1/(2π·1 kHz·0.756·100 nF) = 2.105 kΩ → 取 2.1 kΩ； 第二节 R₁ = 1/(π·1 kHz·100 nF·0.9996) = 3.18 kΩ → 3.16 kΩ；R₂ = 0.9996/(4π·1 kHz·100 nF·0.4772) = 1.67 kΩ → 1.65 kΩ。

16.5 带通滤波器设计

频率变换：把低通传递函数里的 s 换成：

$$\frac{1}{\Delta \Omega }\left(\mathsf{s}+\frac{1}{\mathsf{s}}\right)\text{\hspace{1em}(16–7)}$$

白话：低通的通带被”折叠”成带通的上下两个半边，以中心频率 f_m（Ω = 1）镜像对称。归一化带宽 ∆Ω = Ω₂ − Ω₁，品质因数：

$$Q=\frac{f_m}{B}=\frac{f_m}{f_2-f_1}=\frac{1}{\Delta \Omega }\text{\hspace{1em}(16–8)}$$

宽带应用最简单做法：高通 + 低通级联（一阶 + 一阶 = 二阶带通）。窄带高阶则用二阶带通节级联。二阶带通通用传递函数（A_m 为中心频率增益）：

$$A(s)=\frac{\frac{A_m}{Q}\cdot s}{1+\frac{1}{Q}\cdot s+s^2}\text{\hspace{1em}(16–10)}$$

白话：Q 越大通带越窄越尖（选择性越好）。

16.5.1 Sallen-Key 带通

图 16-33 Sallen-Key 带通

系数对比结果：

$$f_m=\frac{1}{2\pi RC},G=1+\frac{R_2}{R_1},A_m=\frac{G}{3-G},Q=\frac{1}{3-G}$$

优点：调内增益 G 即可变 Q，不影响 f_m。**缺点：Q 与 A_m 耦合，不能独立调；G → 3 时 A_m → ∞，电路起振变振荡器！**设计：定 f_m 和 C 求 R = 1/(2πf_mC)，然后二选一：按增益定 R₂ = (2A_m − 1)/(1 + A_m)，或按 Q 定 R₂ = (2Q − 1)/Q。

16.5.2 MFB 带通（推荐：三参数独立可调）

图 16-34 MFB 带通

系数对比结果：

$$f_m=\frac{1}{2\pi C}\sqrt{\frac{R_1+R_3}{R_1{R}_2{R}_3}},-A_m=\frac{R_2}{2R_1},Q=\pi f_m{R}_{2}C,B=\frac{1}{\pi R_{2}C}$$

白话：带宽和增益都与 R₃ 无关——R₃ 只管 f_m，可独立微调中心频率而不动 B 和 A_m。Q、A_m、f_m 三者独立可调，是 MFB 带通的最大优势。省掉 R₃ 时（低 Ω 场合）增益被 Q 锁定：−A_m = 2Q²。

例题 5：二阶 MFB 带通（原书 Example 16-5，完整流程）

目标：f_m = 1 kHz、Q = 10、A_m = −2，取 C = 100 nF。

$$R_2=\frac{Q}{\pi f_{\mathrm{m}}C}=\frac{10}{\pi \cdot 1\text{kHz}\cdot 100\text{nF}}=31.8\text{k}\Omega$$ $$R_1=\frac{R_2}{-2A_{\mathrm{m}}}=\frac{31.8\text{k}\Omega }{4}=7.96\text{k}\Omega$$ $$R_3=\frac{-A_m{R}_1}{2Q^2+A_m}=\frac{2\cdot 7.96\text{k}\Omega }{200-2}=80.4\Omega$$

16.5.3 四阶带通：参差调谐（Staggered Tuning）

想要中心附近平坦 + 过渡陡峭，就把低通 → 带通变换施加到二阶低通，得到四阶带通，再拆成两个二阶带通级联（式 16-12）。两个子滤波器的中心频率分别偏移 α 倍和 1/α 倍：

f _ {m 1} = \frac {f _ {m}}{\alpha}\tag{16–14} \qquad \mathsf {f} _ {\mathsf {m 2}} = \mathsf {f} _ {\mathsf {m}} \cdot \alpha\tag{16–15} Q _ {i} = Q \cdot \frac {(1 + \alpha^ {2}) b _ {1}}{\alpha \cdot a _ {1}}\tag{16–16} \qquad A _ {m i} = \frac {Q _ {i}}{Q} \cdot \sqrt {\frac {A _ {m}}{B _ {1}}}\tag{16–17}

α 由式 16-13 迭代求出，直接查表 16-2 更快：

表 16-2 不同滤波器类型、不同 Q 的 α 值

参数	Bessel			Butterworth			Tschebyscheff
a₁ / b₁	1.3617 / 0.6180			1.4142 / 1.0000			1.0650 / 1.9305
Q	100	10	1	100	10	1	100	10	1
∆Ω	0.01	0.1	1	0.01	0.1	1	0.01	0.1	1
α	1.0032	1.0324	1.438	1.0035	1.036	1.4426	1.0033	1.0338	1.39

例题 6：四阶 Butterworth 带通（原书 Example 16-6，完整流程）

目标：f_m = 10 kHz、带宽 B = 1000 Hz、A_m = 1。整体 Q = f_m/B = 10。

① 查表 16-2（Butterworth，Q = 10）：a₁ = 1.4142、b₁ = 1、α = 1.036。

② 子滤波器中心频率：

$$f_{m1}=\frac{10\text{kHz}}{1.036}=9.653\text{kHz},f_{m2}=10\text{kHz}\cdot 1.036=10.36\text{kHz}$$

③ 子滤波器 Q_i（两节相同）：

$$Q_i=10\cdot \frac{(1+1.036^2)\cdot 1}{1.036\cdot 1.4142}=14.15$$

④ 子滤波器增益 A_mi = (14.15/10)·√(1/1) = 1.415。

⑤ 因为 Q_i 与 A_mi 必须独立设定，只能用 MFB 带通。取 C = 10 nF：

$$R_{21}=\frac{14.15}{\pi \cdot 9.653\text{kHz}\cdot 10\text{nF}}=46.7\text{k}\Omega ,R_{22}=\frac{14.15}{\pi \cdot 10.36\text{kHz}\cdot 10\text{nF}}=43.5\text{k}\Omega$$ $$R_{11}=\frac{46.7\text{k}\Omega }{2\cdot 1.415}=16.5\text{k}\Omega ,R_{12}=\frac{43.5\text{k}\Omega }{2\cdot 1.415}=15.4\text{k}\Omega$$ $$R_{31}=\frac{1.415\cdot 16.5\text{k}\Omega }{2\cdot 14.15^2+1.415}=58.1\Omega ,R_{32}=\frac{1.415\cdot 15.4\text{k}\Omega }{2\cdot 14.15^2+1.415}=54.2\Omega$$

16.6 带阻滤波器设计（陷波器）

频率变换：把低通的 s 换成 ∆Ω/(s + 1/s)，得到二阶带阻通用形式：

$$A(s)=\frac{A_0(1+s^2)}{1+\Delta \Omega \cdot s+s^2}\Rightarrow A(s)=\frac{A_0(1+s^2)}{1+\frac{1}{Q}\cdot s+s^2}\text{\hspace{1em}(16-20)}$$

白话：分子 (1 + s²) 在 Ω = 1（即 f_m）处为零——正好把中心频率”陷”掉。Q = f_m/B，定义与带通相同。两大经典电路：

16.6.1 有源双 T（Twin-T）滤波器

图 16-38 有源双 T 滤波器：无源双 T（Q = 0.25）放进放大器反馈环提升 Q

$$A(s)=\frac{k(1+s^2)}{1+2(2-k)\cdot s+s^2}\text{\hspace{1em}(16–21)}$$ $$f_m=\frac{1}{2\pi RC},G=1+\frac{R_2}{R_1},A_0=G,Q=\frac{1}{2(2-G)}$$

与 Sallen-Key 带通同样的问题：Q 由 G 决定、与 A₀ 耦合（G → 2 时 Q → ∞，也会振荡）。设计：定 f_m 和 C 求 R = 1/(2πf_mC)；然后按增益定 R₂ = (A₀ − 1)R₁，或按 Q 定 R₂ = R₁(1 − 1/(2Q))。

16.6.2 有源维恩-罗宾逊（Wien-Robinson）滤波器

图 16-40 有源 Wien-Robinson 滤波器：桥式差分结构放进反馈环

$$A(s)=-\frac{\frac{\beta }{1+\alpha }(1+s^2)}{1+\frac{3}{1+\alpha }\cdot s+s^2}\alpha =\frac{R_2}{R_3},\beta =\frac{R_2}{R_4}\text{\hspace{1em}(16–22)}$$ $$f_m=\frac{1}{2\pi RC},A_0=-\frac{\beta }{1+\alpha },Q=\frac{1+\alpha }{3}$$

设计四步法：

1. 定 f_m 和 C，算 R = 1/(2πf_mC)；
2. 定 Q，算 α = 3Q − 1；
3. 定 A₀，算 β = −A₀·3Q；
4. 定 R₂，算 R₃ = R₂/α、R₄ = R₂/β。

相比双 T，Wien-Robinson 的优势是A₀ 与 Q 可独立调节。若元件容差导致 f_m 没被完全抑制，需微调电阻 2R₂。对比参考：无源 Q = 0.25，有源可轻松做到 Q = 1 甚至 Q = 10。

16.7 全通滤波器设计

全通滤波器：全频段增益恒为 1，只有相位随频率线性变化——用于相位补偿和信号延时。把低通传递函数的 A₀ 换成共轭复分母（分子分母系数相同、符号相反 → 幅度相消为 1，只剩相位）：

$$A(s)=\frac{\underset{i}{\Pi }\left(1-a_{i}s+b_i{s}^2\right)}{\underset{i}{\Pi }\left(1+a_{i}s+b_i{s}^2\right)}\text{\hspace{1em}(16–23)}$$

相移与群延迟（每个频率被延时的时间）：

\phi = - 2 \sum_ {i} \arctan \frac {a _ {i} \Omega}{1 - b _ {i} \Omega^ {2}}\tag{16–25} \qquad t _ {\mathrm{gr}} = - \frac {d \phi}{d \omega}\tag{16–26} \qquad T _ {\mathrm{gr}} = \frac {t _ {\mathrm{gr}}}{T _ {\mathrm{c}}} = t _ {\mathrm{gr}} \cdot f _ {\mathrm{c}}\tag{16–27}

低频段（0 < Ω < 1）的群延迟取 Ω = 0：T_gr0 = (1/π)·Σa_i（式 16-30），各阶数值见表 16-10 摘录。

一阶全通（低频增益 +1、高频 −1，幅度恒 1、相位 0° → −180°）：

$$A(s)=\frac{1-RC{\omega }_c\cdot s}{1+RC{\omega }_c\cdot s}$$ R = \frac {a _ {\mathrm {i}}}{2 \pi f _ {\mathrm {c}} \cdot C}\tag{16–32} \qquad t _ {gr 0} = 2 R C\tag{16–33}

二阶全通由”带通输出从输入中减去”构成（原书图 16-44），系数与设计公式一揽：a₁ = 4πf_c·R₁C（16-34）、b₁ = a₁·πf_c·R₂C（16-35）、α = a₁²/b₁（16-36）；给定 f_C、C、R 后解 R₁ = a₁/(4πf_cC)、R₂ = b₁/(a₁πf_cC)、R₃ = R/α；最大群延迟 t_gr0 = 4R₁C（16-40）。

例题 7：2 ms 延时全通（原书 Example 16-7）

0–1 kHz 频谱的信号需延时 2 ms，取 f_C = 1 kHz。归一化群延迟 T_gr0 = 2 ms × 1 kHz = 2.0，查全通群延迟表（图 16-42）需七阶全通（精确值 T_gr0 = 2.1737）。为精确延时 2 ms 反解 f_C = T_gr0/t_gr0 = 2.1737/2 = 1.087 kHz，然后按七阶系数逐节算电阻，级联一阶 + 三个二阶节即成。

16.8 实用设计要点

16.8.1 单电源偏置

双电源电路输入输出以地为参考，无需偏置。单电源时需把同相输入抬到中轨 V_MID：输入端加耦合电容 C_IN 隔直，两个等值偏置电阻 R_B 分压产生 V_MID。

图 16-48 Sallen-Key 低通的偏置：C_IN 隔直 + R_B 分压 + 缓冲器隔离，V_MID 经 R₁、R₂ 直流通路送到滤波器

注意：R_B 并联值与 C_IN 构成一个额外高通，其截止频率必须远低于滤波器本身的 f_C，否则会污染低通特性；复杂输入结构（如二阶低通）直接接 RC 偏置会破坏滤波特性，应插入输入缓冲器。高阶滤波器的后级偏置由前级放大器提供。MFB 滤波器从同相输入端偏置，运放接成差分放大器把两路 V_MID 相减，零输入时输出直流电位恰为 V_MID。

16.8.2 元件选择

灵敏度定义：元件变化 ±5% 引起 Q 变化 ±2%，则 S(Q/C) = 0.5%/1%。二阶 Sallen-Key 与 MFB 的近似灵敏度：

$$s\frac{Q}{C}\approx s\frac{Q}{R}\approx s\frac{f_c}{C}\approx s\frac{f_c}{R}\approx \pm 0.5\frac{\%}{\%}$$

白话：每个元件 ±1% 会让 Q 和 f_C 偏 ±0.5%。单节看无伤大雅，但八阶 Butterworth 各节的偏差叠加后整体响应可能”漂”成 Tschebyscheff 形状（峰值偏差 0.35 dB ≈ 4.1% 增益误差），对 12 位采集系统而言误差超预算 300 倍——高阶滤波器必须用高精度元件。

• 电容：高性能滤波器首选 NPO（COG）陶瓷电容：0.5 pF–47 nF、温漂约 30 ppm/°C；更大容量用 X7R（100 pF–2.2 µF，温漂 ±15%）；再大用钽电解。备选精密电容：银云母、金属化聚碳酸酯，高温用聚丙烯/聚苯乙烯。电容档位比电阻稀疏，先定电容再算电阻；没有精密电容时，实测每个电容再配电阻。
• 电阻：1 kΩ–100 kΩ。下限防止运放输出过流（单电源低功耗运放输出电流仅 1–5 mA）；上限防电阻热噪声。高性能滤波器用 0.1% 电阻。
• 电容下限：1 nF 起，避免逼近寄生电容；Sallen-Key 中若运放共模输入电容接近 C₁ 的 0.25%（C₁/400）必须计入，MFB 则无需补偿。

16.8.3 运放选择：带宽、压摆率

开环增益应比滤波节峰值增益（Q）高 100 倍（40 dB）才能把增益误差压到 1%。单位增益带宽经验公式：

1. 一阶节：f_T = 100 · Gain · f_c
2. 二阶节（Q < 1）：f_T = 100 · Gain · f_c · k_i，其中 k_i = f_ci/f_c
3. 二阶节（Q > 1）：

$$f_T=100\cdot \text{Gain}\cdot \frac{f_c}{a_i}\sqrt{\frac{Q_i^2-0.5}{Q_i^2-0.25}}$$

对比：五阶 10 kHz、3 dB 纹波 Tschebyscheff（A₀ = 2，最差节 Q₃ = 8.82、a₃ = 0.1172）需要 f_T = 17 MHz；而五阶单位增益 10 kHz Butterworth（Q₃ = 1.62、a₃ = 0.618）只要 1.5 MHz——高 Q 切比雪夫对运放带宽的要求高出一个数量级。

压摆率要求（全功率响应）：

$$\mathsf{SR}=\pi \cdot {\mathsf{V}}_{\mathsf{PP}}\cdot f_{\mathsf{C}}$$

例：单电源 100 kHz 滤波器、5 V_PP 输出 → SR ≥ π·5 V·100 kHz = 1.57 V/µs。

表 16-3 单电源运放选型指南（TA = 25 °C, V_CC = 5 V，按 SR 升序）

运放	BW (MHz)	FPR (kHz)	SR (V/µs)	V_IO (mV)	噪声 (nV/√Hz)
TLV2721	0.51	11	0.18	0.6	20
TLC2201A	1.8	159	2.5	0.6	8
TLV2771A	4.8	572	9	1.9	21
TLC071	10	1000	16	1.5	7
TLE2141	5.9	2800	45	0.5	10.5
THS4001	270	127 MHz (1V_PP)	400	6	7.5

16.9 滤波器系数表（常用阶数摘录）

系数表字段含义：n = 滤波器阶数；i = 子滤波器编号；a_i、b_i = 滤波器系数；k_i = 子滤波器截止频率与整体截止频率之比 f_Ci/f_C（用于算运放带宽和测试）；Q_i = 子滤波器品质因数。奇数阶的第一个子节 b = 0，即一阶节。

表 16-4（摘）Bessel 系数（n = 1–5）

n	i	a_i	b_i	k_i	Q_i
1	1	1.0000	0.0000	1.000	—
2	1	1.3617	0.6180	1.000	0.58
3	1	0.7560	0.0000	1.323	—
3	2	0.9996	0.4772	1.414	0.69
4	1	1.3397	0.4889	0.978	0.52
4	2	0.7743	0.3890	1.797	0.81
5	1	0.6656	0.0000	1.502	—
5	2	1.1402	0.4128	1.184	0.56
5	3	0.6216	0.3245	2.138	0.92

表 16-5（摘）Butterworth 系数（n = 1–5）

n	i	a_i	b_i	k_i	Q_i
1	1	1.0000	0.0000	1.000	—
2	1	1.4142	1.0000	1.000	0.71
3	1	1.0000	0.0000	1.000	—
3	2	1.0000	1.0000	1.272	1.00
4	1	1.8478	1.0000	0.719	0.54
4	2	0.7654	1.0000	1.390	1.31
5	1	1.0000	0.0000	1.000	—
5	2	1.6180	1.0000	0.859	0.62
5	3	0.6180	1.0000	1.448	1.62

表 16-9（摘）Tschebyscheff 系数，3 dB 纹波（n = 1–5）

n	i	a_i	b_i	k_i	Q_i
1	1	1.0000	0.0000	1.000	—
2	1	1.0650	1.9305	1.000	1.30
3	1	3.3496	0.0000	0.299	—
3	2	0.3559	1.1923	1.396	3.07
4	1	2.1853	5.5339	0.557	1.08
4	2	0.1964	1.2009	1.410	5.58
5	1	5.6334	0.0000	0.178	—
5	2	0.7620	2.6530	0.917	2.14
5	3	0.1172	1.0686	1.500	8.82

（Tschebyscheff 另有 0.5 dB / 1 dB / 2 dB 纹波版本；Bessel、Butterworth、全通系数原书均给到十阶，需要更高阶或更陡纹波时直接查原表。）

表 16-10（摘）全通系数 T_gr0（n = 1–8）

n	1	2	3	4	5	6	7	8
T_gr0	0.2049	0.5181	0.8437	1.1738	1.5060	1.8395	2.1737	2.5084

16.10 五类滤波器速查总表

类型	频率变换	通用传递函数要点	推荐拓扑	关键公式
低通	—	A₀/(1+a₁s+b₁s²)	SK（低 Q 高精度）/ MFB（高 Q 高增益）	R = a₁/(2πf_cC)；SK 等值 A₀ = 3 − 1/Q
高通	s ↔ 1/s（R、C 互换）	A∞/(1+a₁/s+b₁/s²)	同低通，系数同表	R₁ = 1/(πf_cCa₁)（SK 单位增益）
带通	s → (s+1/s)/∆Ω	(A_m/Q)·s/(1+s/Q+s²)	MFB（Q、A_m、f_m 独立）	Q = πf_mR₂C，B = 1/(πR₂C)
带阻	s → ∆Ω/(s+1/s)	A₀(1+s²)/(1+s/Q+s²)	双 T（Q 与 A₀ 耦合）/ Wien-Robinson（独立）	Q = (1+α)/3，α = 3Q−1
全通	A₀ → 共轭复分母	Π(1−a_is+b_is²)/Π(1+a_is+b_is²)	一阶/二阶级联	t_gr0 = 2RC（一阶）、4R₁C（二阶）

常见坑

1. Sallen-Key 带通/双 T 陷波的 G → 3（或 2）时 Q → ∞：电路直接变振荡器。高 Q 需求请用 MFB 或 Wien-Robinson。
2. 高阶级联要按 Q 升序排列各节，否则 Q 最大的那节先饱和，整体响应失真。系数表已按 Q 升序排好，别打乱顺序用。
3. Sallen-Key 设计先查 C₂ 条件（C₂ ≥ C₁·4b₁/a₁²），不满足时根号里是负数，解不出实数电阻——先选大电容、后算电阻是固定顺序。
4. MFB 高通的通带增益对电容容差极敏感，必须紧公差电容；Sallen-Key 单位增益版对电阻配比敏感，用 1% 电阻起步。
5. 高 Q 切比雪夫吃运放带宽：同样是五阶 10 kHz，3 dB 纹波 Tschebyscheff 要 17 MHz GBW，Butterworth 只要 1.5 MHz。设计前先用 f_T 公式验算。
6. 单电源偏置网络自己就是一个高通（R_B∥R_B 与 C_IN 组成），截止频率必须远低于滤波器 f_C；复杂滤波器输入请加缓冲器，别让偏置 RC 混进滤波计算。
7. 电容先选、电阻后算：电容档位稀疏且精度低，先定电容再解电阻；精密应用实测电容值再配电阻。

通关标准：

1. 能写出低通通用传递函数（式 16-1），说清 a_i、b_i、Q 的物理意义，以及三种响应（Butterworth 平坦 / Tschebyscheff 陡峭 / Bessel 线性相位）的取舍。
2. 掌握三种频率变换：低通→高通（s ↔ 1/s）、低通→带通（s → (s+1/s)/∆Ω）、低通→带阻（s → ∆Ω/(s+1/s)），并知道系数表通用。
3. 能独立完成一遍”查表 → 定电容 → 解电阻”的 Sallen-Key 低通设计和 MFB 带通设计（含 C₂ 实数解条件）。
4. 会用 f_T 和 SR 公式验收运放，会按 COG 电容 + 1 kΩ–100 kΩ 电阻的规则选元件，会做单电源中轨偏置。

自测：为什么高阶滤波器不用"相同的 RC 段级联"，而要用系数表里各不相同的二阶节？

相同 RC 段级联时各节截止频率必须抬高 1/α 倍（α = ⁿ√(2)−1 相关）才能保证整体 −3 dB 点正确，且通带提前下垂、相位非线性，无法优化。系数表里的 a_i、b_i 给每节安排了不同的共轭复极点位置，才能实现最大平坦（Butterworth）、等纹波陡降（Tschebyscheff）或线性相位（Bessel）这些整体优化目标。

自测：Sallen-Key 和 MFB 拓扑各适合什么场合？

Sallen-Key：同相、增益精度高，适合单位增益和低 Q（Q < 3）设计；等值版可仅通过调 R₄/R₃（即 A₀ = 3 − 1/Q）切换滤波器类型，但 Q 受运放带宽影响大。MFB：反相，适合高 Q、高增益场合，对运放带宽要求相对宽松（无需考虑共模输入电容补偿），带通版本更是唯一能独立调节 Q、A_m、f_m 三参数的电路。

自测：设计 MFB 带通时 R₃ 有什么特殊用途？

MFB 带通的带宽 B = 1/(πR₂C) 和增益 A_m = R₂/(2R₁) 都与 R₃ 无关，而 f_m = (1/2πC)·√((R₁+R₃)/(R₁R₂R₃)) 含 R₃。所以 R₃ 是”频率微调”专用旋钮：装调阶段调 R₃ 把中心频率校准到目标值，不影响带宽和增益。省去 R₃ 则 Q 与增益被 −A_m = 2Q² 锁死。

自测：参差调谐（staggered tuning）为什么能同时获得平坦通带和陡峭过渡？

四阶带通由两个中心频率分别偏移到 f_m/α 和 f_m·α 的二阶带通级联而成。两个稍错开的谐振峰在中心频率附近互相补偿平坦度，级联后的高阶滚降又保证陡峭过渡。α 由低通系数 a₁、b₁ 和整体 Q 决定，直接查表 16-2；两节的 Q_i 和 A_mi 相同，用 MFB 带通实现可独立设定。

自测：为什么五阶 10 kHz 的 3 dB 纹波切比雪夫滤波器需要 17 MHz 带宽的运放，而五阶 10 kHz 巴特沃斯只要 1.5 MHz？

Q > 1 的二阶节带宽需求公式 f_T = 100·Gain·(f_c/a_i)·√((Q_i²−0.5)/(Q_i²−0.25)) 中，切比雪夫最差节的 Q₃ = 8.82 且 a₃ = 0.1172（子节截止频率远高于整体 f_C），两项都放大需求；巴特沃斯对应节 Q₃ = 1.62、a₃ = 0.618，参数温和得多。Q 越高、a_i 越小（子节 f_C 越高），对运放开环增益储备的要求呈倍数增长。