第13章放大

Note

放大（amplification）几乎是一切电子系统的核心操作：传感器来的微弱信号要”变大”才能驱动执行器。本章建立放大的统一语言——增益、等效电路、负载效应，并引出差分放大器与运算放大器，为后续晶体管与运放章节打下地基。

13.1 引言：什么是放大

简单地说，放大就是把东西”变大”，反操作衰减（attenuation）则是把东西”变小”。这个概念并不限于电学——先看两个机械例子。

杠杆与滑轮。 图 13.1 中的杠杆装置，输出力大于输入力，是力的放大器；但输出端移动的距离小于输入端，位移反而被衰减了。如果交换输入输出位置，就变成”位移放大、力衰减”。滑轮装置同理。注意方向：杠杆输出力与输入力同向，称为同相放大器（non-inverting amplifier）；滑轮输入向下拉、输出向上提，属于反相放大器（inverting amplifier）。

图 13.1：机械放大器的例子（杠杆与滑轮）

无源与有源。 这两个例子都是无源（passive）系统——除了输入之外没有外界能量来源。无源系统的输出功率永远不可能大于输入功率（一般还因摩擦等损耗而更小）。要想获得功率增益（power gain），就需要有源（active）放大器：它有外部能量源可供利用。

图 13.2 的扭矩放大器（torque amplifier）就是一个有源机械放大器：绳子绕在旋转的鼓轮上，输入端轻轻一拉，绳与鼓轮间的摩擦力增大，输出端就能以大得多的力拖动负载。多出来的功率来自鼓轮（它带动绳转动所需的外力会因此变大），所以它不但放大力，还放大功率。

图 13.2：扭矩放大器

Success

判断有源/无源就看一条：有没有输入之外的外部能量来源。无源最多”搬运”能量（电压变大但电流变小），只有有源系统才能提供真正的功率增益。

13.2 电子放大器

电学中同样有无源”放大器”的例子，最典型的是升压变压器：输入交流电压，输出更高的电压，但输出提供电流的能力相应下降，送给负载的功率总小于输入吸收的功率——它能做电压放大，却不能做功率放大。

真正重要、有用的电子放大器是有源电路：它们从外部电源取能量来增强输入信号。本书此后提到”放大器”，若不加说明，均指有源电子放大器。

三种增益。 电子放大可以是电压、电流或功率。常用符号 $A$ 表示增益：

voltage gain (A_{v}) = \frac{V _{o}}{V _{i}} (13.1)

current gain (A_{i}) = \frac{I _{o}}{I _{i}} (13.2)

power gain (A_{p}) = \frac{P _{o}}{P _{i}} (13.3)

白话解释：三个式子结构相同——增益 = 输出量 ÷ 输入量。若输出电压与输入电压极性相反，电压增益为负值：同相放大器增益为正，反相放大器增益为负。本章先重点讨论电压放大。另外，“功率放大器（power amplifier）“一词专指以向负载提供大功率为主要任务的电路，它本身必然同时具备电压或电流放大。

放大器符号。 图 13.3 是广泛使用的放大器符号：单输入、单输出，电压增益由内部电路决定。所有电压都以”地（earth/ground）“为参考点。符号中没画电源——这只是为了图面简洁，实际搭建时必须给放大器接上供电。

图 13.3：放大器符号

给放大器提供输入信号的传感器或电路称为源（source），接收输出信号的称为负载（load）。理想电压放大器应该：① 输出只由输入与增益决定、与负载无关；② 不从源索取电流、不影响源的工作。实际放大器做不到——要理解为什么，就需要等效电路这个工具。

13.3 放大器的等效电路

复杂系统被划分成若干模块后（图 13.4），每个模块的输出对下游是”源”，输入对上游是”负载”。只要描述清楚输入、输出及二者关系，就能完整刻画模块的外部行为——这种只描述外部特性、不涉及内部构造的简化模型就是等效电路（equivalent circuit）。

图 13.4：系统划分：每个模块既是上游的负载又是下游的源

13.3.1 输入的建模

放大器的输入对外的表现（即它作为别的电路的负载时）如何？绝大多数情况下用一个固定电阻就能 adequately 建模，这个电阻叫输入电阻（input resistance） $R_{i}$ ：外加电压 $V_{i}$ 时，流入输入端的电流就好比流过一个阻值 $R_{i}$ 的电阻（图 13.5）。

图 13.5：放大器输入的等效电路

13.3.2 输出的建模

任何真实电压源都可用戴维南等效电路（Thévenin equivalent）表示：一个理想电压源串联一个电阻（图 13.6）。

图 13.6：电压源的等效电路（两种画法）

把这一模型用在放大器输出端（图 13.7）： $V$ 代表放大器想输出的电压， $R_{o}$ 是输出电阻（output resistance）。实际端电压 $V_{o}$ 等于 $V$ 减去 $R_{o}$ 上的压降（由欧姆定律，等于 $R_{o}$ 乘输出电流）。

图 13.7：放大器输出的等效电路

13.3.3 增益的建模

增益用一个受控电压源（controlled / dependent voltage source）表示：其电压等于输入电压乘以增益，即 $A_{v} V_{i}$ （图 13.8）。不必纠结这种源内部怎么工作——它只是建模用的数学工具。

图 13.8：用受控源表示增益

三者拼起来，就得到放大器完整的等效电路（图 13.9）：输入电阻 $R_{i}$ 跨在输入端；受控源 $A_{v} V_{i}$ 串上输出电阻 $R_{o}$ 接到输出端。输入、输出下端连成公共参考点（接地，0 V）。

图 13.9：放大器的完整等效电路

Success

记住这个”三件套”： $R_{i}$ （输入端并联电阻）+ $A_{v} V_{i}$ （受控源）+ $R_{o}$ （输出端串联电阻）。分析任何外部电路对放大器的影响，全靠它。

13.4 负载效应

有了等效电路，就能算外接电路对增益的影响。

例 13.1：放大器电压增益 10、 $R_{i} = 1 kΩ$ 、 $R_{o} = 10 Ω$ ，接内阻 100 Ω、开路电压 2 V 的传感器和 50 Ω 的负载，求输出电压。

图例13.1 电路：源、放大器与负载的等效电路

输入端是 $R_{s}$ 与 $R_{i}$ 的分压器：

V_{i} = \frac{R _{i}}{R _{s} + R _{i}} V_{s} = \frac{1 kΩ}{100 Ω + 1 kΩ} \times 2 V = 1.82 V

输出端是 $R_{o}$ 与 $R_{L}$ 的分压器：

V_{o} = A_{v} V_{i} \frac{R _{L}}{R _{o} + R _{L}} = 10 \times 1.82 \times \frac{50}{10 + 50} = 15.2 V

例 13.2：整个电路的实际电压增益

A_{v} = \frac{V _{o}}{V _{i}} = \frac{15.2}{1.82} = 8.35

标称增益 10 的放大器接上源和负载后实际只剩 8.35——这种外接电路拉低有效增益的现象称为负载效应（loading）。负载电阻越小（越”重”），效应越明显。

例 13.3：若放大器 $R_{i} = \infty$ 、 $R_{o} = 0$ ，同样的源和负载：

图例13.3 电路：理想输入输出电阻下的等效电路

V_{i} = V_{s} = 2 V, V_{o} = 10 \times 2 = 20 V

此时无任何负载效应，实际增益等于标称增益 10。

Warning

别把”放大器标称增益”当成整个电路的增益！只要 $R_{s}$ 与 $R_{i}$ 、 $R_{o}$ 与 $R_{L}$ 量级相当，输入输出两个分压器就会吃掉一大截增益。设计电压放大器时希望： $R_{i} ≫ R_{s}$ 且 $R_{o} ≪ R_{L}$ 。

由此得出电压放大器的黄金法则：好电压放大器 = 高输入电阻 + 低输出电阻。如果已经选定了放大器无法更改，也可以反向操作：选低内阻的源、高阻抗的负载。多级电压放大器级联时，每一级都应”高进低出”。

这个法则并不适用于所有放大器：电流放大器恰恰相反——低输入电阻（不干扰电流源）+ 高输出电阻（输出电流不受负载影响）。

13.5 输出功率与最大功率传输

负载上的输出功率为

P_{o} = \frac{V _{o}^{2}}{R _{L}}

白话解释：电压增益固定时，输出电压随负载电阻增大而升高，但功率表达式里 $R_{L}$ 又在分母——所以输出功率随 $R_{L}$ 先升后降，存在一个峰值。对例 13.1 的电路做微分求极值：

P_{o} = A_{v}^{2} V_{i}^{2} \frac{R _{L}}{( R _{L} + R _{o} ) ^{2}} d P_{o} / d R_{L} = 0 R_{L} = R_{o}

即负载电阻等于输出电阻时输出功率最大——这就是最大功率定理（maximum power theorem）的简化形式。更一般地，若输出阻抗为 $R + j X$ ，则负载应取共轭值 $R - j X$ 。

选负载使功率传输最大的做法叫匹配（matching）。但注意两点：

匹配时 $R_{L} = R_{o}$ ，此时最大输出功率只有输出阻抗为零时所能达到值的四分之一，且源内阻与负载耗散同样多的功率——效率只有 50%。
因此大功率放大器从不追求匹配，而是尽量把 $R_{o}$ 做小以提高效率。阻抗匹配主要用于小功率射频（RF）放大器。

13.6 功率增益与分贝

例 13.5：求例 13.1 电路的功率增益。输入功率用 $R_{i}$ ，输出功率用 $R_{L}$ ：

P_{i} = \frac{V _{i}^{2}}{R _{i}} = \frac{( 1.82 ) ^{2}}{1000} = 3.3 mW, P_{o} = \frac{V _{o}^{2}}{R _{L}} = \frac{( 15.2 ) ^{2}}{50} = 4.62 W

A_{p} = \frac{P _{o}}{P _{i}} = \frac{4.62}{0.0033} = 1400

电压增益只有 8.35 的电路，功率增益竟超过一千倍。现代放大器的功率增益常达 $1 0^{6} \sim 1 0^{7}$ ，用对数单位分贝（decibel, dB）表示更方便：

power gain(dB) = 10 lo g_{10} \frac{P _{2}}{P _{1}} (13.7)

例 13.6：功率增益 1400 换算成分贝：

10 lo g_{10} (1400) = 10 \times 3.15 = 31.5 dB

Warning

算输入功率用 $R_{i}$ ，算输出功率用 $R_{L}$ 而不是 $R_{o}$ ——我们算的是送到负载的功率，不是耗散在输出电阻上的功率。这是初学者最常犯的错。

另一个易错点：dB 是按功率定义的。若按电压比换算要用 $20 lo g_{10} (V_{2} / V_{1})$ ，系数是 20 不是 10（因为功率比是电压比的平方）。

13.7 频率响应与带宽

所有真实放大器的工作频率范围都有限。正常工作频段内的增益称为中频带增益（mid-band gain）。增益随频率的变化关系叫频率响应（frequency response）：所有放大器的高频增益都会下降（原因包括杂散电容等），有些放大器低频增益也下降。

以中频带值为基准，功率降到一半的频率点叫截止频率（cut-off frequency），对应增益下降 3 dB，即电压增益降到 $1/ 2 \approx 0.707$ 倍。所有电路都有上限截止频率，有的还有下限截止频率。

图 13.10(a)：放大器频率响应（线性坐标，有上下限截止频率）

图 13.10(b)：同一响应，纵轴用 dB 表示

图 13.10(c)：无下限截止频率的放大器，低频增益恒定

带宽（bandwidth）= 两个截止频率之差；若没有下限截止频率，带宽在数值上就等于上限截止频率（下限视为 0 Hz）。

图 13.11：放大器的带宽

频带不够宽会导致被放大信号失真，所以放大器的带宽必须与信号相匹配。

13.8 差分放大器

前面讨论的放大器只有一个以地为参考的输入。差分放大器（differential amplifier）有两个输入，输出正比于两输入电压之差（图 13.12）。两个输入分别标 ”+” 和 ”−”：”+” 叫同相输入（non-inverting input），该端相对另一端为正时输出为正；”−” 叫反相输入（inverting input），该端相对另一端为正时输出为负。

图 13.12：差分放大器

两输入相同的电压称为共模信号（common-mode signal），两输入的电压差称为差模信号（differential-mode signal）。差分放大器的设计目标：放大差模、抑制共模。

这个特性非常有用。设想远距离传输传感器信号（图 13.13）：单端输入时，长电缆感应到的电磁干扰（EMI）噪声直接叠加在信号上被一起放大；而用双绞线接差分放大器时，两根线靠得很近、拾取的噪声几乎相同，到达放大器表现为共模信号被忽略，真正的传感器信号是差模信号被放大。

图 13.13(a)：单端输入——噪声混入信号被一起放大

图 13.13(b)：差分输入——噪声以共模形式被抑制

差分放大器也有等效电路（图 13.14）：与图 13.9 相似，只是 $V_{i}$ 定义为 $V_{+} - V_{-}$ ，且第二输入端与地无连接。

图 13.14：差分放大器的等效电路

最重要的一类差分放大器是运算放大器（operational amplifier, op-amp）：把所有元件集成在一片硅片上的单片集成电路（IC）。运放具有：极高的输入电阻（兆欧甚至吉欧级）、很低的输出电阻（几到几十欧）、极高的增益（ $1 0^{5} \sim 1 0^{6}$ ）——因此是绝佳的”积木”。但它也有明显缺点：变异性——不同器件之间参数差异大，同一器件还会随温度、时间漂移。解决之道是下一章的负反馈。

13.9 简单放大器

运放内部包含大量半导体器件，但放大器也可以只用一个”控制器件”搭出来。看图 13.15 的分压器：

V_{o} = \frac{R _{2}}{R _{1} + R _{2}} V

图 13.15：简单分压器

$R_{2} = R_{1}$ 时输出为电源的一半；减小 $R_{2}$ 输出降低，增大则升高。现在把 $R_{2}$ 换成一个电阻由输入电压 $V_{i}$ 控制的器件（图 13.16）： $V_{i}$ 变化 → 等效电阻变化 → $V_{o}$ 变化，输入小信号就能控制输出大摆幅——这就是放大。

图 13.16：用控制器件构成简单放大器

其实控制器件不必是压控电阻，任何”电流由控制输入决定”的器件都行（晶体管就是此类）。这类简单放大器在电子电路中使用极广，但与运放一样存在变异性问题，同样需要反馈来驯服——这就是下一章的主题。

本章自测

自测 5 题（点击展开答案）

1. 升压变压器能提供电压增益，为什么不算真正的功率放大器？答：它是无源器件，没有外部能量来源；输出电压升高的同时电流能力下降，输出功率总是小于输入功率（还有损耗），故不能提供功率增益。

2. 电压放大器 A：增益 20、 $R_{i} = \infty$ 、 $R_{o} = 0$ ；电压放大器 B：增益 20、 $R_{i} = 1 kΩ$ 、 $R_{o} = 50 Ω$ 。都接 $R_{s} = 100 Ω$ 的源和 $R_{L} = 50 Ω$ 的负载，谁的输出更大？大约差多少？答：A 无负载效应，实际增益 20；B 输入分压 $1000/ (100 + 1000) \approx 0.91$ ，输出分压 $50/ (50 + 50) = 0.5$ ，实际增益约 $20 \times 0.91 \times 0.5 \approx 9.1$ ，输出约为 A 的一半不到。

3. 为什么阻抗匹配通常不用于大功率放大器？答：匹配时 $R_{L} = R_{o}$ ，一半功率耗散在源输出级，效率只有 50%，且最大输出功率只有 $R_{o} = 0$ 时可达值的 1/4。大功率场景更关心效率，应把 $R_{o}$ 做小；匹配主要用于小功率射频电路。

4. 某放大器中频带电压增益为 10，其上限截止频率处的电压增益约为多少？答：截止频率对应功率降为 1/2、即增益降 3 dB，电压增益降为 $1/ 2 \approx 0.707$ 倍，约 7.07。

5. 共模信号和差模信号分别指什么？长电缆传输中差分输入为什么抗干扰？答：共模是两输入上出现的相同电压，差模是两输入的电压差。差分放大器只放大差模、抑制共模；双线上感应的噪声几乎相同（共模）被抑制，而传感器信号在两线间表现为差模被放大，故抗干扰能力强。

description	放大的本质：有源与无源放大、等效电路、负载效应、增益分贝、频率响应与差分放大。
tags	电子系统方法精讲

嵌入式开发之路

探索

第13章放大

13.1 引言：什么是放大

13.2 电子放大器