第14章 控制与反馈

Note

上一章结尾留下一个”未解之谜”：有源器件（晶体管、运放）增益大却漂移严重。本章给出解药——负反馈（negative feedback）。先从日常的开环/闭环控制讲起，建立 $G=\frac{A}{1+AB}$ 这一反馈系统的核心公式，再看清负反馈付出的代价与换来的一切。

14.1 引言：控制是什么

控制（control）是大量工程系统的基本功能：确保某项操作正确完成，与调节（regulation）、指令（command）等概念相关。控制系统的目标通常是决定一个或多个物理量的取值或状态——比如压力调节器控制容器内的压力，气候控制系统决定室内的温度和湿度。控制系统通过执行器影响这些物理量，因此可以把”被控物理量”当作系统的输出；输入则决定输出应达到的值。

14.2 开环与闭环控制

用”给房间供暖”对比两种基本控制方式：

方法一（开环）：把加热器的输出功率旋钮拧到某个挡位，希望室温正好合适。挡位太低达不到目标，太高会过热；即便选得合适，室外温度、通风情况一变，室温就跑偏了。

方法二（闭环）：用带温度控制器的加热器。用户设定目标温度，控制器比较目标温度与实际温度，用二者的差决定加热输出，从而维持室温恒定——即使外部条件变化也不受影响。注意两种方法输入的含义完全不同：前者输入的是”热量”，后者输入的是”目标温度”。

图 14.1 用框图表示这两种策略：用户（user）有一个目标（goal），输出（output）是实际结果，前向通路（forward path）是把输入变成输出的部分。

开环系统靠标定（calibration）建立输入输出关系，一旦系统特性或环境变化就失效。闭环系统增加一条反馈通路（feedback path），把输出信息回送，与目标相减得到误差信号（error signal）：输出偏低产生正误差使输出增大，偏高产生负误差使输出减小——系统自动把输出”拉”向目标，自动补偿系统或环境的变化。

几乎所有自动控制都基于闭环系统，自然界也不例外（图 14.2）：

这些例子里，反馈都让系统工作基本不受前向通路特性和外界环境变化的影响。再体会几个细节：

• 室温控制常用**数字（开关式）**方式实现：温度低于设定值就开加热、高于就关，结构极简；也可以用模拟方式连续调节加热量。
• 巡航控制中前向通路是”节气门执行器 + 发动机”，反馈通路是车速传感器；上坡下坡、载荷变化都被自动补偿。
• 人体是闭环控制的集大成者：体温、血糖、四肢位置全都靠感受器—比较—调节的回路维持。

上一章说过电子放大器恰恰饱受特性漂移之苦——这正是反馈大显身手的地方。

框图里的几个角色名词值得现在就固定下来，后文反复出现：

术语	含义
用户（user）	使用系统的人，持有目标
目标（goal）	期望达到的结果，即系统的输入
输出（output）	系统实际产生的结果
前向通路（forward path）	把输入变成输出的部分，含执行器与被控对象
反馈通路（feedback path）	检测输出并送回比较的传感器及处理电路
误差信号（error signal）	目标减去输出之差，驱动系统纠偏

14.3 反馈系统的分析与传递函数

为了定量分析反馈系统，图 14.3 给出一般化的反馈系统框图。输入 $X_i$、输出 $X_o$ 可以是力、位置、速度等物理量，也可以是电压、电流等电量。前向通路中包含被控对象（plant，通常译作”装置”），也可能包含便于控制的控制器（controller）；二者合起来的输入输出关系用传递函数（transfer function）$g$ 表示。反馈通路代表检测输出的传感器及其信号处理，传递函数记为 $h$。

控制工程主要研究这类系统的分析与控制器设计。物理装置往往有频率依赖、非线性、时间延迟等复杂特性，分析相当繁琐；幸运的是，电子系统中最常遇到的反馈系统要简单得多——前向通路与反馈通路都可以当作简单增益（图 14.4，前向增益 $A$、反馈增益 $B$）。

推导闭环增益：前向通路增益为 $A$、输出为 $X_o$，则其输入必为 $X_o/A$；反馈通路输出为 $B{X}_o$；而前向通路的输入又等于输入 $X_i$ 减去反馈信号 $B{X}_o$，故

$$\frac{X_o}{A}=X_i-B{X}_o$$

整理得：

$$G=\frac{X_o}{X_i}=\frac{A}{1+AB}\text{\hspace{1em}(14.1)}$$

白话解释：闭环增益 $G$（也叫传递函数）不等于前向增益 $A$ 本身，而要除以 $(1+AB)$。$A$ 叫开环增益（open-loop gain，断开反馈时的增益），$G$ 叫闭环增益（closed-loop gain，接上反馈后的增益）。系统的整体特性取决于 $A$、$B$，更直接地说取决于环路增益 $AB$。

14.3.1 若 AB 为负：正反馈

若 $A$、$B$ 一正一负，$AB$ 为负。当 $(1+AB)<1$ 时 $G>A$，反馈使增益增大——这叫正反馈（positive feedback）。特例 $AB=-1$ 时：

$$G=\frac{A}{1+AB}=\frac{A}{1-1}=\infty$$

增益无穷大的电路应用有限，但正是振荡器（oscillator）的原理（第 22 章详述）。

14.3.2 若 AB 为正：负反馈

$A$、$B$ 同号时 $AB$ 为正，$(1+AB)>1$，故 $G<A$——反馈使增益降低，这就是负反馈。若 $AB$ 不仅为正而且远大于 1，则：

$$G=\frac{A}{1+AB}\approx \frac{A}{AB}=\frac{1}{B}\text{\hspace{1em}(14.2)}$$

这是极其重要的结论：总增益与前向增益 $A$ 无关，完全由反馈通路 $B$ 决定。而有源器件增益漂移、无源元件（电阻电容）却可以做到精密稳定——负反馈正是用后者”锁死”前者增益的钥匙。

14.3.3 记号说明

有些教材把框图中的减法器画成加法器，推出 $G=\frac{A}{1-AB}$，此时正负反馈对应相反的符号约定。本书统一采用减法器形式，因为它与后面要分析的真实电路对应得更直接。

Warning

判断正负反馈只看环路增益 $AB$ 的符号（以”反馈信号从输入中减去”为约定）：$AB>0$ 是负反馈，$AB<0$ 是正反馈。换到”加法器”记号的教材里符号约定相反，切勿死记正负号而不看框图结构。

14.4 用负反馈构建稳定增益的放大器

先回顾为什么这个问题非解决不可。有源器件（晶体管、集成放大器）的增益不但巨大而且千差万别：同一型号的器件个体间差异巨大，同一个器件还会随温度和时间漂移。而电阻电容等无源元件可以做得非常精密、非常稳定。负反馈的核心思想就是：让不稳定的部分拼命干活，让稳定的部分说了算。

例 14.1：用高增益有源放大器设计一个稳定增益为 100 的放大，考察有源放大器增益在 100 000～200 000 间变化时总增益的波动。

由式 (14.2)，选 $B=1/100=0.01$：

• $A=100000$ 时：$G=\frac{100000}{1+1000}=99.90$
• $A=200000$ 时：$G=\frac{200000}{1+2000}=99.95$

有源放大器增益变了 100%，总增益只变了 0.05%！

要让反馈通路本身稳定，必须只用无源元件构造。因为 $G=1/B$，要 $G>1$ 就要求 $B<1$，即反馈通路可以是一个无源衰减器（attenuator）。要 $B=1/100$，用 99:1 的分压器即可（图 14.5）：

$$\frac{V_o}{V_i}=\frac{R}{R+99R}=\frac{1}{100}$$

剩下的问题是实现框图中的减法器。第 13 章讲过，运放本质上是差分放大器——放大两输入之差，可以看作”自带减法器的放大器”。于是运放可以同时扮演前向放大器 $A$ 和减法器两个角色（图 14.6、14.7）：反馈分压器接反相输入，输入信号接同相输入。

Success

负反馈设计放大器的口诀：有源器件管放大（A），无源网络定精度（B），总增益 = 1/B。反馈网络必须用精密稳定的无源元件搭建。

例 14.2：陷阱演示——把闭环增益设为 10 000，即 $B=1/10000$：

• $A=100000$ 时：$G=\frac{100000}{1+10}=9091$
• $A=200000$ 时：$G=\frac{200000}{1+20}=9524$

总增益远离 10 000，且随 $A$ 波动剧烈。为什么？因为此时 $AB$ 只有 10～20，不满足”远大于 1”。

结论：负反馈的稳定作用生效的前提是

$$AB\gg 1⟺A\gg \frac{1}{B}$$

即开环增益必须远大于闭环增益。运放开环增益 $10^5\sim 10^6$，所以它做闭环增益 100 的放大器绰绰有余，做 10 000 的就力不从心了。

Warning

“总增益 = 1/B”不是无条件的，它要求 $AB\gg 1$。闭环增益设定得越接近开环增益，增益稳定性越差（例 14.2 中波动达 ±5%）。判断能否用 $G\approx 1/B$，先比一比 $A$ 与 $1/B$ 差几个数量级。

14.5 负反馈的效果

负反馈以牺牲增益为代价，换回一整套优良特性。逐项来看（增益、带宽、阻抗、失真、噪声的改善因子都是 $1+AB$）：

14.5.1 增益

反馈使增益按因子 $(1+AB)$ 降低（式 14.1）。

14.5.2 频率响应与带宽

所有放大器高频（常还有低频）增益下降，但只要开环增益仍远大于闭环增益，闭环增益就不受影响。因此闭环增益能在宽得多的频段保持平坦——负反馈展宽带宽（图 14.8）。许多情况下带宽扩展恰好也是 $(1+AB)$ 倍，于是：

$$\text{gain}\times \text{bandwidth}=\text{constant}\text{\hspace{1em}(14.3)}$$

这个乘积叫增益带宽积（gain–bandwidth product）。增益是现代电路中”便宜”的东西，用增益换带宽通常很划算。

14.5.3 输入电阻与输出电阻

负反馈倾向于保持输出恒定，正如巡航控制上坡下坡都稳速。具体是增是减，取决于反馈的取样方式与施加方式：

• 反馈取样输出电压 → 稳住电压 → 降低输出电阻；
• 反馈取样输出电流 → 稳住电流 → 提高输出电阻；
• 反馈信号以电压形式与输入相减 → 提高输入电阻（更适合电压放大）；
• 反馈信号以电流形式与输入相减 → 降低输入电阻（更适合电流放大）。

以图 14.7 电路为例：反馈取自输出电压（分压器），故输出电阻降低；反馈电压加到反相输入与输入电压相减，故输入电阻升高——整个电路的输入电阻比运放本身高得多，输出电阻低得多。定量上，增大或减小的因子同样都是 $(1+AB)$。

14.5.4 失真

许多失真源于增益随信号幅度变化（非线性）。负反馈稳定了增益，也就减小了失真，改善因子仍是 $(1+AB)$。

14.5.5 噪声

放大器自身产生的噪声同样被反馈压低 $(1+AB)$ 倍。但注意：只对放大器内部产生的噪声有效——已混入输入信号的外部噪声会与信号一样被放大，无法分辨。噪声详见第 21 章。

14.5.6 稳定性

式 (14.1) 中只要 $|1+AB|>1$，反馈就降低增益。但实际放大器有相移，某些频率上 $|1+AB|$ 可能小于 1，反馈变成正反馈，电路可能振荡失稳——第 22 章专门讨论。

14.6 负反馈小结

先用一张”代价—收益”表总览负反馈的各项效果（改善因子统一为 $1+AB$）：

特性	负反馈的效果
增益	降低 $(1+AB)$ 倍（唯一代价）
增益稳定性	对开环增益漂移不敏感，由反馈网络决定
带宽	展宽约 $(1+AB)$ 倍，增益带宽积近似不变
输入/输出电阻	按取样与施加方式增大或减小 $(1+AB)$ 倍
失真	非线性失真减小 $(1+AB)$ 倍
噪声	放大器自身噪声减小 $(1+AB)$ 倍（外部输入噪声无效）
稳定性	某些频率上可能失稳振荡（第 22 章）

所有负反馈系统的共同性质：

• 前向通路或环境变化时，倾向于维持输出恒定；
• 前向增益必须比无反馈时所需的更大（“以多换稳”）；
• 系统整体特性由反馈通路决定。

用于电子放大器时，负反馈的好处：

• 增益稳定，不随有源器件开环增益漂移；
• 带宽加宽；
• 可按需增大或减小输入、输出电阻；
• 减小放大器非线性造成的失真；
• 减小放大器自身噪声的影响。

代价只有一个：增益按 $(1+AB)$ 倍下降。现代有源器件增益高又便宜，这笔交易几乎总是值得的——但要警惕第 22 章将讨论的稳定性问题。

Success

一句话记住负反馈：降增益、换稳定；一个因子（1+AB）管五件事——增益、带宽、阻抗、失真、噪声，统统按 $(1+AB)$ 改善（增益是降低，其余是改善）。

本章自测

自测 5 题（点击展开答案）

1. 汽车巡航控制的”输入""输出""前向通路""反馈通路”各是什么？ 答：输入是设定车速（目标），输出是实际车速；前向通路是发动机/节气门执行器，反馈通路是车速传感器，控制器比较二者之差调节节气门。

2. 推导：前向增益 $A$、反馈增益 $B$、减法器闭环系统中，为什么闭环增益是 $A/(1+AB)$？ 答：前向通路输入为 $X_o/A$；它等于 $X_i-B{X}_o$，即 $X_o/A=X_i-B{X}_o$，整理得 $X_o/X_i=A/(1+AB)$。

3. 用开环增益 100 000 的运放、增益 1/50 的反馈网络构成放大器，总增益约为多少？若运放开环增益翻倍，总增益变化百分之几？ 答：$G=A/(1+AB)=100000/(1+2000)\approx 49.98\approx 1/B=50$。$A=200000$ 时 $G=200000/4001\approx 49.99$，变化不足 0.02%，基本不变。

4. 为什么例 14.2（闭环增益 10 000）中增益稳定性很差？ 答：此时 $B=1/10000$，$AB$ 仅为 10～20，不满足 $AB\gg 1$，$1+AB$ 不能近似成 $AB$，总增益明显依赖开环增益 $A$。

5. 混入输入信号的外部噪声能靠负反馈消除吗？放大器内部噪声呢？ 答：不能。外部噪声与输入信号无法区分，会同被放大；负反馈只对放大器内部产生的噪声有效，抑制因子 $(1+AB)$。