第15章运算放大器

Note

运算放大器（operational amplifier, op-amp）是电子电路中使用最广的积木之一，因为它”几乎是理想电压放大器”，让设计变得极其简单——机械工程师测转速、土木工程师监测桥梁应力，都会先想到它。本章先定义理想运放，再给出一系列”菜谱电路”，最后面对真实器件的种种不理想。

15.1 引言：封装与引脚

运放是集成电路（IC）：把大量电子器件集成到单个半导体元件上。典型封装（图 15.1）：

图 15.1：典型运放封装——(a) 八脚 DIL 封装，(b) 贴片 SMT 封装

DIL/DIP 封装：双列直插，8 脚最常见，适合手工装配；更大封装内可放 2 或 4 个运放。
SMT 封装：表面贴装，体积小得多，但手工装配困难，多用于自动装配的大批量产品。

引脚从顶部看逆时针编号，1 脚用圆点或缺口标记。内部连线方式叫引脚布局（pin-out），图 15.2 给出单运放、双运放、四运放的典型布局。 $V_{p os}$ 、 $V_{n e g}$ 是正负电源引脚（典型值 +15 V、−15 V）——电路图里常省略电源连线以求简洁，但实际电路中必须接好。

图 15.2：典型运放引脚布局——(a) 单运放，(b) 双运放，(c) 四运放

15.2 理想运算放大器

设计时先假设元件是理想的、再考察非理想特性的影响，通常事半功倍。理想运放有三个特征：

输入电阻无穷大——不从源索取电流（第 13 章已推出理想电压放大器如此）；
输出电阻为零——输出电压不受负载影响；
开环增益无穷大——上一章结论：用负反馈定制增益时，开环增益越高越好，反馈网络决定闭环增益。

由第 13 章的等效电路（图 13.14）改造：输入电阻无穷大 → 输入端像断开一样无电流；输出电阻为零 → 无输出电阻；增益无穷大 → 受控源 $A_{v} V_{i}$ 中 $A_{v} \to \infty$ （图 15.3）。

图 15.3：理想运算放大器的等效电路

回顾两种放大对交流波形的作用（图 15.4）：增益 +2 的同相放大输出与输入同相，增益 −2 的反相放大输出翻转极性。

图 15.4(b)：反相放大器——交流波形极性翻转

Success

理想运放三句话：增益无穷、进电阻无穷、出电阻为零。由此派生出两条分析黄金律——虚短与虚断： $V_{-} = V_{+}$ （增益无穷 → 输出有限时两输入电位差为零，即虚短 virtual short）， $I_{+} = I_{-} = 0$ （输入电阻无穷 → 输入无电流，即虚断）。

第 14 章我们从反馈框图”第一性原理”推出了同相放大器。实际使用运放时通常反着来：从标准”菜谱电路”（cookbook circuit）出发，选好元件值即可。

15.3 基本放大电路

15.3.1 同相放大器（non-inverting amplifier)

标准电路见图 15.5(a)（另一种画法见图 15.5(b)，电气上完全等价）：

图 15.5(a)：同相放大器——反馈分压器接反相输入端

图 15.5(b)：同相放大器的另一画法

用理想运放假设分析：增益无穷 → 虚短 $V_{-} = V_{+} = V_{i}$ ；输入无电流 → $V_{-}$ 由输出经 $R_{1}$ 、 $R_{2}$ 分压决定：

V_{-} = V_{o} \frac{R _{2}}{R _{1} + R _{2}} = V_{i}

G = \frac{V _{o}}{V _{i}} = \frac{R _{1} + R _{2}}{R _{2}} (15.1)

白话解释：总增益 = 分压比倒数再加 1，与第 14 章框图推出的 $G = 1/ B$ 一致（这里 $B = \frac{R _{2}}{R _{1} + R _{2}}$ ）。

例 15.1：设计增益 25 的同相放大器。由式 (15.1)： $\frac{R _{1} + R _{2}}{R _{2}} = 25 \Rightarrow R_{1} = 24 R_{2}$ 。因为只有电阻比值决定增益，可自由选实际值，例如 $R_{2} = 1 kΩ$ 、 $R_{1} = 24 kΩ$ 。（理想运放下实际值不重要；用真实器件时另有讲究，见 15.6 节。）

15.3.2 反相放大器（inverting amplifier）

图 15.6：反相放大器——反相输入端是虚地

虚短给出 $V_{-} = V_{+} = 0$ （同相端接地）；虚断使流过 $R_{2}$ 、 $R_{1}$ 的电流相等相反：

I_{2} = \frac{V _{i}}{R _{2}}, I_{1} = \frac{V _{o}}{R _{1}}, I_{1} = - I_{2}

G = \frac{V _{o}}{V _{i}} = - \frac{R _{1}}{R _{2}} (15.2)

白话解释：增益就是两个电阻之比加个负号，输出与输入反相。负反馈把反相输入端电位”按”在 0 V：若 $V_{-}$ 略微变正，输出立刻变负、经 $R_{1}$ 把 $V_{-}$ 拉回来，反之亦然。这个并未真正接地的 0 V 点叫虚地（virtual earth），此类电路叫虚地放大器。

例 15.2：设计增益 −25 的反相放大器： $R_{1} = 25 R_{2}$ ，取 $R_{2} = 1 kΩ$ 、 $R_{1} = 25 kΩ$ 。

Warning

同相与反相放大器的增益公式长得像但千万别混：同相 $G = (R_{1} + R_{2}) / R_{2}$ 恒大于等于 1（不可能小于 1）；反相 $G = - R_{1} / R_{2}$ 幅度可以任意。做题时先看信号从哪个输入端进。

15.4 其他常用电路

15.4.1 单位增益缓冲器（unity gain buffer）

同相放大器取 $R_{1} = 0$ 、 $R_{2} = \infty$ 的特例（图 15.7）： $G = 0/\infty + 1 = 1$ 。输出电压等于输入电压似乎”没用”，但注意电压不是信号的唯一属性——此电路输入电阻极高、输出电阻极低，是完美的隔离缓冲，几乎不产生负载效应。

图 15.7：单位增益缓冲放大器（电压跟随器）

15.4.2 电流—电压转换器（current-to-voltage converter）

图 15.8：输入电流接到虚地。虚断要求流入虚地的电流之和为零： $I_{i} + I_{R} = 0$ ，而 $V_{-} = 0$ 时 $I_{R} = V_{o} / R$ ，故

V_{o} = - I_{i} R (15.4)

输出电压正比于输入电流——光敏二极管等电流型传感器的标配接口。

图 15.8：电流—电压转换器

15.4.3 差分放大器（减法器）

图 15.9：两输入各经分压器。虚断下 $V_{+}$ 、 $V_{-}$ 都只由外部分压决定，再由虚短 $V_{-} = V_{+}$ 联立：

V_{o} = (V_{1} - V_{2}) \frac{R _{1}}{R _{2}} (15.5)

输出正比于两输入之差； $R_{1} = R_{2}$ 时输出就是 $V_{1} - V_{2}$ 。

图 15.9：差分放大器（减法器）

15.4.4 反相求和放大器（加法器）

图 15.10：在反相放大器上加一路输入电阻。虚地使各电流容易计算： $I_{1} = V_{1} / R_{2}$ 、 $I_{2} = V_{2} / R_{2}$ 、 $I_{3} = V_{o} / R_{1}$ ，且 $I_{1} + I_{2} + I_{3} = 0$ ：

V_{o} = - (V_{1} + V_{2}) \frac{R _{1}}{R _{2}} (15.6)

再加输入电阻就能加任意多路信号（各输入电阻均为 $R_{2}$ 时）：

V_{o} = - (V_{1} + V_{2} + V_{3} + \dots) \frac{R _{1}}{R _{2}} (15.7)

图 15.10：反相求和放大器（加法器）

15.4.5 积分器

把反相放大器的 $R_{1}$ 换成电容（图 15.11）。虚地处电流求和： $I_{C} = - I_{R} = - V_{i} / R$ ；输出等于电容两端电压 $V_{o} = q / C = \frac{1}{C} \int_{0}^{t} I_{C} d t$ ，设初始电荷为零：

V_{o} = - \frac{1}{R C} \int_{0}^{t} V_{i} d t (15.8)

输出正比于输入的积分，比例常数是时间常数 $R C$ 。

图 15.11：积分器——反馈元件换成电容

隐患：输入中任何直流分量都会被持续积分，输出最终漂到电源轨饱和（常见起因是后面要讲的输入失调电压）。实用中会修改电路以降低直流增益。

Warning

积分器最怕直流：哪怕输入只有几毫伏的直流偏移，输出也会缓慢爬升直至饱和，电路”看起来坏了”其实是在正常积分。实测中若输出顶死在电源电压，先查输入直流分量与失调电压。

15.4.6 微分器

把积分器中电阻、电容位置互换（图 15.12）。电容两端电压即 $V_{i}$ ： $V_{i} = \frac{1}{C} \int_{0}^{t} I_{C} d t$ ，两边对时间求导并代入 $I_{C} = - V_{o} / R$ ：

V_{o} = - R C \frac{d V _{i}}{d t} (15.9)

输出正比于输入对时间的导数。但这个电路实际很少直接用：它强烈放大高频噪声与毛刺、天然不稳定，通常在电容上并联电阻来抑制，代价是微分精度略降。

图 15.12：微分器——电阻电容位置互换

15.4.7 有源滤波器（active filters）

用同相放大器可以搭出各类二阶滤波器（图 15.13），称为 Sallen–Key 滤波器：低通、高通、带通、带阻。多级级联可得到高阶滤波器；选好元件值可实现 Bessel、Butterworth、Chebyshev 等特性。图中元件值给出 Butterworth 特性、截止（或中心）频率 $f_{0} = 1/ (2 π R C)$ ； $R_{1}$ 、 $R_{2}$ 决定增益，进而决定电路的 $Q$ 值。

图 15.13(a)：低通有源滤波器（Sallen–Key）

图 15.13(b)：高通有源滤波器

图 15.13(c)：带通有源滤波器

图 15.13(d)：带阻有源滤波器

15.4.8 非标准电路的分析示例

菜谱电路够用多数场合，但遇到陌生电路仍要会分析。

例 15.3：求下图电路的电压增益。

图例15.3 电路：两输入都经 10 kΩ 接同相端

虚短且虚断，各电位由分压器决定。反相端：

V_{-} = V_{o} \frac{10 kΩ}{10 kΩ + 20 kΩ} = \frac{V _{o}}{3}

同相端用叠加原理（superposition）： $V_{1}$ 单独作用时 $V_{2}$ 端接地，与其相连的 10 kΩ 同 $V_{+}$ 对地的 10 kΩ 并联成 5 kΩ，故 $V_{+} = V_{1} \cdot \frac{5}{5 + 10} = \frac{V _{1}}{3}$ ；由对称性 $V_{2}$ 单独作用时 $V_{+} = \frac{V _{2}}{3}$ 。同时作用：

V_{+} = \frac{V _{1}}{3} + \frac{V _{2}}{3}, \frac{V _{o}}{3} = \frac{V _{1}}{3} + \frac{V _{2}}{3} \Rightarrow V_{o} = V_{1} + V_{2}

这是一个同相加法器，且不反相——可与 15.4.4 的反相加法器对照。

15.5 实际运算放大器

真实运放不可能满足理想假设。以最著名的通用运放 741 为参照（它早已不是尖端产品，但在要求不高的场合应用极广），并给出各类器件的性能范围。

15.5.1 电压增益

多数运放开环增益在 100～140 dB（ $1 0^{5} \sim 1 0^{7}$ 倍）之间；741 约 106 dB（ $2 \times 1 0^{5}$ 倍），某些器件可达 160 dB（ $1 0^{8}$ ）。增益虽高却极不稳定——器件间、随温度变化都很大。

15.5.2 输入电阻

741 典型 2 MΩ（可能低至 300 kΩ）；双极型运放可达 80 MΩ 以上；FET 输入级器件典型 $1 0^{12} Ω$ ，负载效应几乎总可忽略。

15.5.3 输出电阻

741 典型 75 Ω；低功耗器件可能高达数千欧。往往比输出电阻更重要的是最大输出电流：741 为 20 mA，通用运放一般 10～20 mA，大功率器件可达 1 A 以上。

15.5.4 输出电压范围

输出被电源电压限制：±15 V 供电的双极型运放输出摆幅约 ±13 V（略小于两电源电压之差）；FET 输出级可以摆到很接近电源轨，称为”轨到轨”（rail-to-rail）器件。

15.5.5 电源电压范围

典型 ±15 V；741 允许 ±5 V 至 ±18 V。有的器件可用单电源（如 4～30 V），某些甚至 1 V 以下。

15.5.6 共模抑制比（CMRR）

理想运放对共模信号无响应；实际器件会稍有响应。共模抑制比（common-mode rejection ratio, CMRR）= 差模响应与同幅度共模响应之比，以 dB 表示。通用运放典型 80～120 dB（741 约 90 dB），高性能器件可达 160 dB 以上。

15.5.7 输入偏置电流

运放正常工作需要在每个输入端注入一个微小电流，即输入偏置电流（input bias current），由外部电路提供。双极型器件从几微安到几纳安（741 典型 80 nA）；FET 输入级小得多，常见几皮安，最低可到飞安（ $1 0^{- 15}$ A）级。

15.5.8 输入失调电压

输入为零时输出一般并不为零：内部器件不完全匹配，相当于输入端串了一个小电压源，即输入失调电压（input offset voltage） $V_{i os}$ ——定义为使输出归零所需加在输入上的小电压。多数运放在几百微伏到几毫伏（741 典型 2 mV）。它虽小，却要乘上放大器增益。好在它近似恒定，可用外部电位器”调零”（741 等留有调零引脚），有的器件出厂激光微调。但失调电压随温度漂移（约每度几微伏），单靠调零无法彻底消除。

15.5.9 频率响应

运放没有下限截止频率（前述增益即直流增益）。上限截止频率其实低得惊人：741 的增益从直流到几赫兹就开始下降，此后以恒定斜率跌落到约 1 MHz 处降为 1（图 15.14）。这个高频衰减是设计者故意加入的，为保证系统稳定性（第 22 章）。

图 15.14：741 的典型增益—频率特性

运放的频率指标常用过渡频率 $f_{T}$ （增益降到 1 的频率，即单位增益带宽）描述：741 约 1 MHz，通用器件几 kHz～几十 MHz，高速器件可达数 GHz。

15.5.10 压摆率

带宽衡量对小信号的快速响应能力；大信号时压摆率（slew rate）常成为瓶颈——它是输出电压的最大变化速率，典型值每微秒几伏。方波或脉冲大信号会以固定斜率”爬坡”而非陡峭跳变；大幅值高频正弦信号同样会受影响。

15.5.11 噪声

所有运放都会给信号附加噪声，机制多样、频谱特性不同（有的近似白噪声）。厂商通常给出噪声电压除以测量带宽平方根的数值：低噪声运放约 3 nV/√Hz，通用器件差几个数量级。

15.6 为运放电路选择元件值

理想分析中增益只取决于电阻比值，似乎 1 Ω/10 Ω 与 1 GΩ/10 GΩ 都行——但真实器件 impose 三条约束，恰好对应三个理想假设：

增益无穷 → 要求闭环增益远小于开环增益（负反馈有效的前提，第 14 章）；
输入电阻无穷 → 要求外部电阻远小于运放输入电阻（外电路电流远大于输入偏置电流）；
输出电阻为零 → 要求外部电阻远大于运放输出电阻（负载效应可忽略）。

双极型运放输入电阻 1～100 MΩ、输出电阻 10～100 Ω，因此外部电阻取 1 kΩ～100 kΩ 最合适；单级增益限制在 $1 0^{3}$ 以内（开环增益 > $1 0^{5}$ ）。FET 输入器件可用到 MΩ 级，但 1 kΩ～100 kΩ 对所有运放都稳妥。

Success

元件值选择口诀：增益不过千，电阻 1k～100k。电阻太小会”压垮”输出（负载电流过大），太大则偏置电流与失调的影响变得显著。

15.7 反馈对运放电路的影响

15.7.1 增益

负反馈把增益从 $A$ 降为 $A / (1 + A B)$ ，换来稳定性：只要开环增益远大于闭环增益，后者 $\approx 1/ B$ ，且设计简化为”查菜谱、选电阻”。

15.7.2 频率响应

反馈用增益换带宽（图 15.15）：741 无反馈时增益 $2 \times 1 0^{5}$ 、带宽仅约 5 Hz；闭环增益降到 1000 → 带宽约 1 kHz；降到 100 → 约 10 kHz；降到 10 → 约 100 kHz：

gain \times bandwidth = constant (15.10)

741 的增益带宽积约 $1 0^{6}$ Hz，正好等于其单位增益带宽。

图 15.15：741 加不同深度反馈后的增益—频率特性

例 15.4：用 741 做带宽 20 kHz 的音频放大器，最大增益是多少？

gain = \frac{1 0 ^{6}}{2 \times 1 0 ^{4}} = 50

15.7.3 输入电阻与输出电阻

改善因子 $(1 + A B)$ 可由开环增益 ÷ 闭环增益直接算出（因为反馈降低增益的因子相同）。是否增减则看反馈取样与施加方式：本章所有电路都取输出电压反馈 → 输出电阻都被降低；同相放大器减去的是电压 → 输入电阻升高；反相放大器减去的是电流 → 输入电阻降低，且输入经 $R_{2}$ 接虚地，故输入电阻恰为 $R_{2}$ 。

例 15.5（同相放大器，741，闭环增益 20）： $(1 + A B) = \frac{2 \times 1 0 ^{5}}{20} = 1 0^{4}$ 。输出电阻 $75/1 0^{4} = 7.5 mΩ$ ；输入电阻 $2 MΩ \times 1 0^{4} = 20 GΩ$ 。

例 15.6（反相放大器，741，|增益| 20）：输出电阻同为 7.5 mΩ；输入电阻降为 $R_{2} = 1 kΩ$ 。

例 15.7（缓冲器，741）： $(1 + A B) = 2 \times 1 0^{5}$ 。输出电阻 $75/ (2 \times 1 0^{5}) \approx 400 μ Ω$ ；输入电阻 $2 MΩ \times 2 \times 1 0^{5} = 400 GΩ$ ——负载效应几乎总能忽略，这就是缓冲器的威力。

Warning

这些阻抗改善是按低频开环增益算的，只代表低频时的电阻值。频率升高后开环增益下跌，反馈带来的改善同步缩水——不要拿 20 GΩ 的输入电阻去回答”高频下如何”的问题。

15.7.4 稳定性

负反馈能定制运放特性，但同样带来稳定性问题（第 22 章专门讨论）。

本章自测

自测 5 题（点击展开答案）

1. 理想运放有哪三个特征？由此得到的两条分析规则是什么？答：无穷大开环增益、无穷大输入电阻、零输出电阻。由此得虚短（ $V_{-} = V_{+}$ ，因为输出有限时输入差必须为零）与虚断（两输入端无电流，因为输入电阻无穷）。

2. 设计一个增益 −50 的反相放大器，给出合理的电阻取值。答： $R_{1} = 50 R_{2}$ ，取 $R_{2} = 1 kΩ$ 、 $R_{1} = 50 kΩ$ （1 kΩ～100 kΩ 范围内，增益 50 < 10³，满足设计规则）。

3. 单位增益缓冲器增益只有 1，为什么仍然非常有用？答：它的价值在阻抗而非增益：反馈把输入电阻提到极高（例 15.7 中 400 GΩ）、输出电阻降到极低（约 400 μΩ），作为隔离缓冲时几乎不产生负载效应。

4. 741 开环增益约 $2 \times 1 0^{5}$ ，用它做带宽 20 kHz 的放大器最大增益是多少？答：增益带宽积约 $1 0^{6}$ Hz，增益 $= 1 0^{6} /2 \times 1 0^{4} = 50$ 。

5. 什么是输入失调电压？为什么 2 mV 的失调不可忽视，又为何难以彻底调零？答：定义为使输出归零所需加到输入的小电压（内部元件失配所致）。它相当于串在输入端的电压源，会被增益放大（增益 100 时输出偏差 200 mV）。它近似恒定可用电位器调零，但随温度漂移（每度几微伏），故无法仅靠调零彻底消除。

description	理想运放与标准电路：同相/反相放大、缓冲、加减法、积分微分、有源滤波，以及实际 741 的局限。
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第15章运算放大器

15.1 引言：封装与引脚

15.2 理想运算放大器