第09章 暂态行为

Note

前面的章节都在讨论电路的稳态（steady-state）行为——直流或稳定交流下的最终状态。本章关心的是”开关刚合上的那一瞬间之后发生了什么”：电压和电流如何从一个值平滑过渡到另一个值。这套暂态分析方法是理解滤波器、定时电路、控制系统乃至数字信号完整性的地基。

9.1 引言

电路对恒定直流或稳定交流输入的表现称为稳态响应（steady-state response）。但在电源接通或断开的瞬间，电路需要一个过渡过程才能达到新的稳态，这个过程的表现就叫暂态响应（transient response）。

暂态之所以重要，原因有三：

1. 很多电路的”工作原理”本身就是暂态——例如定时器、整形电路、微分/积分电路；
2. 过渡过程中的过冲（overshoot）和振荡可能损坏器件或造成误动作；
3. 传感器信号常是阶跃或脉冲，系统对这些信号的响应完全由暂态特性决定。

本章从最简单的 RC、RL 电路入手，归纳出一阶系统的通用描述，再推广到含 L 和 C 的二阶系统。

9.2 电容的充电与电感的励磁

9.2.1 电容充电

图 9.1(a) 是用电压源 V 通过电阻 R 给电容 C 充电的经典电路。设电容初始不带电，开关于 t = 0 闭合。

物理图像很直观：刚闭合瞬间，电容电压为零，全部电压都落在电阻上，初始电流为 V/R；随着电荷在电容上积累，电容电压升高，电阻分得的电压减少，电流随之下降；最终电容电压等于电源电压，电流归零。

用基尔霍夫电压定律（KVL）写出回路方程：

$$iR+v=V$$

代入电容的伏安关系 $i=C\mathrm{d}v/\mathrm{d}t$，得到一阶微分方程：

$$CR\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}+v=V$$

分离变量并积分（利用初始条件 t = 0 时 v = 0 确定积分常数），解得电容电压和电流：

$$v=V(1-{\mathrm{e}}^{-t/CR})\text{\hspace{1em}(9.1)}$$ $$i=I{\mathrm{e}}^{-t/CR}\text{\hspace{1em}(9.2)}$$

白话解释：电压按”1 减去指数”的规律从 0 爬升到 V，是**饱和指数（saturating exponential）波形；电流则从初始值 I = V/R 按衰减指数（decaying exponential）**规律跌落到 0。两者是同一枚硬币的两面——电流是”充电的劲头”，劲头越用越少，电压自然越来越接近满值。

指数中的 CR 正是电路的**时间常数（time constant）**T，所以常把两式写成更一般的形式：

$$v=V(1-{\mathrm{e}}^{-t/\mathsf{T}})\text{\hspace{1em}(9.3)}$$ $$i=I{\mathrm{e}}^{-t/\mathsf{T}}\text{\hspace{1em}(9.4)}$$

例题 9.1：RC 电路中 C = 100 μF、R = 100 kΩ、V = 20 V，开关在 t = 0 闭合，求 t = 25 s 时的电容电压。

时间常数 T = CR = 10⁵ × 10⁻⁴ = 10 s，代入式 (9.3)：

$$v=20(1-{\mathrm{e}}^{-25/10})=18.36\mathrm{V}$$

注意 25 s 相当于 2.5 个时间常数，电压已完成约 92% 的过渡——这正好呼应 9.4.2 节的”经验数字”。

9.2.2 电感励磁

图 9.2(a) 用电压源 V 经电阻 R 给电感 L 励磁。刚闭合时，电感不允许电流突变，电流为零，电阻上没有压降，全部电压落在电感上；随后电流逐渐增大，电阻压降增大，电感电压减小；最终电感相当于短路，电流稳定在 V/R。

同样用 KVL，代入电感关系 $v=L\mathrm{d}i/\mathrm{d}t$，解得：

$$v=V{\mathrm{e}}^{-Rt/L}\text{\hspace{1em}(9.5)}$$ $$i=I(1-{\mathrm{e}}^{-Rt/L})\text{\hspace{1em}(9.6)}$$

其中最终电流 I = V/R。电感电路的时间常数为 T = L/R，故 R t/L = t/T，两式同样可写成：

$$v=V{\mathrm{e}}^{-t/\mathsf{T}}\text{\hspace{1em}(9.7)}$$ $$i=I(1-{\mathrm{e}}^{-t/\mathsf{T}})\text{\hspace{1em}(9.8)}$$

对比一下：电容充电时”电压升、电流降”，电感励磁时”电压降、电流升”——两组公式互为对偶，把 v 和 i 的角色对调、CR 换成 L/R，就能互相推导。

例题 9.2：L = 0.4 H 的线圈经 R = 20 Ω 接到 15 V 电源，求电流达到 300 mA 所需时间。

T = L/R = 0.02 s，最终电流 I = 15/20 = 750 mA。由式 (9.8)：

$$300=750(1-{\mathrm{e}}^{-t/0.02})\Rightarrow t\approx 10.2\mathrm{ms}$$

混淆两种时间常数

RC 电路的时间常数是 CR，RL 电路是 L/R，方向别记反。一个帮助记忆的办法：时间常数衡量”惯性大小”。电容的惯性体现在电压难变（能量 ½CV²），容量越大、限流电阻越大，充得越慢；电感的惯性体现在电流难变（能量 ½LI²），电感越大、限流电阻越小，电流建立得越慢。

初值判断是解题第一步

解任何暂态题，先问两个问题：t = 0⁺ 时电容相当于什么？（电压不能突变，未充电的电容像短路——电压为零）电感相当于什么？（电流不能突变，无电流的电感像开路——电流为零）。初值定错，整条曲线全错。

9.3 电容的放电与电感的去励磁

充电/励磁是把能量存进元件，放电/去励磁则是把这份能量释放回电路。储能元件释放的能量会在电阻中耗散为热。

9.3.1 电容放电

图 9.3(a) 中，电容先充到电压 V，t = 0 时切换开关使其经电阻 R 放电。此时回路方程右边没有电源：

$$iR+v=0$$

解得：

$$v=V{\mathrm{e}}^{-t/CR}=V{\mathrm{e}}^{-t/\mathsf{T}}\text{\hspace{1em}(9.9)}$$ $$i=-I{\mathrm{e}}^{-t/CR}=-I{\mathrm{e}}^{-t/\mathsf{T}}\text{\hspace{1em}(9.10)}$$

电压按衰减指数从 V 降到 0，电流为负——因为图中电流的参考方向定义为”流入电容”，而实际放电时电荷是流出电容的。如果把电流参考方向反过来画，电压和电流就都是标准的衰减指数波形了。

9.3.2 电感去励磁

图 9.4 中，电感先由电压源维持电流 I；t = 0 时切换开关，让电感中储存的能量耗散在电阻 R 中。由于电流不能突变，电感会自动产生一个反向电动势来维持电流，随后电流逐渐衰减：

$$v=-V{\mathrm{e}}^{-Rt/L}=-V{\mathrm{e}}^{-t/\mathsf{T}}\text{\hspace{1em}(9.11)}$$ $$i=I{\mathrm{e}}^{-Rt/L}=I{\mathrm{e}}^{-t/\mathsf{T}}\text{\hspace{1em}(9.12)}$$

9.4 一阶系统的通用响应

含电阻和单个储能元件（C 或 L）的电路都由一阶微分方程描述，统称一阶系统（first-order system）。虽然各电路波形相似但不完全相同，好在有一个万能公式。

9.4.1 初值终值公式

任何一阶系统的增/减指数波形都可以直接写出，不必重新解微分方程：

$$v=V_f+(V_i-V_f){\mathrm{e}}^{-t/\mathsf{T}}\text{\hspace{1em}(9.13)}$$ $$i=I_f+(I_i-I_f){\mathrm{e}}^{-t/\mathsf{T}}\text{\hspace{1em}(9.14)}$$

其中下标 i 表示初值（initial）、f 表示终值（final）。白话拆解：总响应 = 稳态响应（终值，永远留存）+ 暂态响应（初值与终值之差，按时间常数衰减消失）。

把 9.2、9.3 节的四组电路代回去逐一验证：电容充电是 $V_i=0,V_f=V$，电容放电是 $V_i=V,V_f=0$……全部吻合。这个公式不限于”变到零或从零变起”，任何阶跃都适用。

例题 9.3：CR 网络的输入电压在 t = 0 时从 5 V 阶跃到 10 V，C = 20 μF、R = 10 kΩ，求输出电压表达式。

初值 5 V、终值 10 V，T = CR = 0.2 s，代入式 (9.13)：

$$v=10+(5-10){\mathrm{e}}^{-t/0.2}=10-5{\mathrm{e}}^{-t/0.2}\mathrm{V}$$

9.4.2 指数曲线的重要性质

手绘指数波形不需要精确描点，记住三条性质就够：

1. 初始斜率：曲线起点的切线在 t = T 处与终值线相交（即”如果一直保持初速度，一个时间常数就能走完全程”）；
2. t = T 时完成约 63%：一个时间常数后，波形走完总变化量的 63%；
3. t = 5T 后完成约 99%：工程上普遍认为经过 5 个时间常数，过渡过程结束。

9.4.3 对脉冲与方波的响应

方波可以看成一系列正、负阶跃的组合，所以一阶系统对它的响应就是多次暂态的拼接。关键变量是时间常数与信号周期的比值：

• T ≪ 周期（电路反应快）：RC 低通网络输出几乎不失真；RC 高通网络（从电阻上取输出）则把跳变变成尖峰脉冲，近似微分器（differentiator）；
• T ≫ 周期（电路反应慢）：RC 低通网络的输出变成圆滑的三角状波形，近似积分器（integrator）；高通网络输出更接近输入本身。

换一个视角：固定电路、改变信号频率，结论完全一致。低通 RC 网络是低通滤波器——低频通过、高频被”积分化”；高通 RC 网络是高通滤波器——高频通过、低频被”微分化”。RL 网络的情况相同：一种接法是高通、另一种是低通。

一阶系统口诀："终值打底、指数过渡、5T 收工"

写波形：$v=V_f+(V_i-V_f){\mathrm{e}}^{-t/\mathsf{T}}$；看进度：1T 完成 63%，3T 完成 95%，5T 完成 99% 判为结束。拿到任何阶跃问题，先定 $V_i$、$V_f$、$\mathsf{T}$ 三要素，答案自然浮出水面。

"低通似积分、高通似微分"

当时间常数远大于信号周期（低通工作在高频段），低通滤波器近似积分器；当时间常数远小于信号周期（高通工作在低频段），高通滤波器近似微分器。记住这句，后面学滤波器频率响应时会反复用到。

9.5 二阶系统

同时含有电感和电容的电路需要用二阶微分方程描述，称为二阶系统（second-order system）。以图 9.8 的 RLC 串联电路为例，用 KVL 并把 $i=C\mathrm{d}{v}_C/\mathrm{d}t$ 代入、再对时间求导，得到：

$$LC\frac{{\mathrm{d}}^2{v}_C}{\mathrm{d}{t}^2}+RC\frac{\mathrm{d}{v}_C}{\mathrm{d}t}+v_C=V$$

写成标准形式：

$$\frac{1}{{\omega }_n^2}\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{t}^2}+\frac{2\zeta }{{\omega }_n}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}+y=x$$

两个特征参数是：无阻尼自然频率（undamped natural frequency）${\omega }_n$（单位 rad/s），决定系统”天生想振”的频率；阻尼系数（damping factor）$\zeta$，决定过渡过程的形式。

阻尼系数取不同值时的行为（见图 9.9）：

• ζ < 1：欠阻尼（underdamped）——响应快，但会冲过终值并围绕它振荡；ζ 越小，过冲越大、稳定时间越长；
• ζ = 1：临界阻尼（critically damped）——不振荡且响应最快，通常是控制系统追求的理想状态；
• ζ > 1：过阻尼（overdamped）——不振荡，但响应迟缓；
• ζ = 0：无阻尼（undamped）——输出以 ${\omega }_n$ 为频率持续振荡，永不停止。

更高阶（三阶及以上）系统的暂态通常与二阶系统类似，但数学处理复杂得多，本篇不再展开。

阻尼系数不是"越大越好"

直觉上以为阻尼大就”稳”，其实 ζ > 1 的过阻尼系统响应又慢又拖沓。真正理想的反而是 ζ = 1 的临界阻尼——在不振荡的前提下最快到达终值。设计控制系统（如电机定位）时，这一点直接决定指标优劣。

9.6 本章要点小结

• 电路对输入突变的反应称为暂态响应；暂态加稳态等于总响应。
• 电容充放电、电感励磁与去励磁，都伴随指数形的电压、电流波形。
• 含 R 与单个 C（或 L）的电路是一阶系统，可用初值终值公式 $V_f+(V_i-V_f){\mathrm{e}}^{-t/\mathsf{T}}$ 直接写解。
• 一阶系统对脉冲/方波的响应由时间常数与周期的相对大小决定；高频下低通似积分器，低频下高通似微分器。
• 含 L 和 C 的电路是二阶系统，由 ${\omega }_n$ 与 ζ 刻画；ζ = 1 的临界阻尼常为最佳设计。

自测五题

1. RC 串联电路突然加上电压 V，初始电流和稳态电流各是多少？ 初始电流（t = 0⁺）为 V/R——电容尚未充电，相当于短路；稳态电流为 0——电容充满后相当于开路，电流衰减规律为 $i=(V/R){\mathrm{e}}^{-t/CR}$。

2. 电容 25 μF 充至 50 V 后，t = 0 时接上 1 kΩ 电阻放电，电压降到 10 V 需多久？ T = CR = 25×10⁻⁶ × 10³ = 25 ms。由 $v=50{\mathrm{e}}^{-t/0.025}$，令 v = 10 V：${\mathrm{e}}^{-t/0.025}=0.2$，得 $t=0.025\times \ln 5\approx 40\mathrm{ms}$。

3. 指数波形经过一个时间常数和五个时间常数后，各完成总变化的百分之多少？ 一个时间常数后约 63%（更精确为 1 − e⁻¹ ≈ 63.2%）；五个时间常数后约 99%（1 − e⁻⁵ ≈ 99.3%），工程上视为过渡结束。

4. 一阶高通滤波器在什么条件下表现得像微分器？低通在什么条件下像积分器？ 当高通网络的时间常数远小于输入信号的周期（即信号处于其低频衰减区）时，输出近似输入的微分；当低通网络的时间常数远大于信号周期（信号处于其高频衰减区）时，输出近似输入的积分。

5. 什么是临界阻尼？对应的阻尼系数是多少？为什么控制系统偏爱它？ 临界阻尼指系统阶跃响应既不振荡（无过冲）又以最快速度到达终值的状态，对应 ζ = 1。ζ < 1 会过冲振荡，ζ > 1 响应变慢，所以 ζ = 1 常是控制系统的设计目标。