第02章电压与电流的测量

Note

要分析电路，先得会测量。本章先讲清楚交流波形的”语言”——峰值、峰-峰值、平均值、有效值（r.m.s.）这些术语对正弦波和方波各意味着什么，再介绍三种最常见的测量仪器：动圈式模拟表、数字万用表（DMM）和示波器。学完本章，你就能读懂波形方程、算出功率，并知道每种仪器擅长测什么、会骗你什么。

2.1 引言

交流电流和电压随时间变化、方向周期性改变。常见的交流波形有四种：

图 2.1(a)：正弦波

图 2.1(b)：方波

图 2.1(c)：三角波

图 2.1(d)：锯齿波

其中正弦波遥遥领先地重要——工程师说”交流电”时，多数时候指的就是正弦量。所以本章大部分篇幅围绕正弦波展开，再推广到方波等其他波形。

2.2 正弦波（Sine Waves）

第01章已经讲过：周期 $T$ 是相邻周期对应点之间的时间，频率 $f$ 是每秒的周期数，二者互为倒数：

f = \frac{1}{T}

波形能达到的最大幅度叫峰值（peak value），正峰与负峰之差叫峰-峰值（peak-to-peak value）。由于正弦波对称，峰-峰值恰为峰值的 2 倍。

图 2.2：正弦电压信号

注意：周期 $T$ 可以在任意相邻对应点之间测量，不必非从过零点开始。

例题：某波形周期为 20 ms，峰值 7 V，求频率与峰-峰值电压。

f = \frac{1}{0.02} = 50 Hz, V_{p k - p k} = 14 V

2.2.1 瞬时值（Instantaneous Value）

正弦波由正弦函数定义，可用下式描述：

y = A sin θ

$y$ ：波形在曲线上某点的瞬时值； $A$ ：峰值； $θ$ ：该点对应的角度。
约定：随时间变化的量用小写字母（如 $v$ 、 $i$ ），固定量用大写字母（如 $V_{p}$ 、 $A$ ）。

因此峰值 $V_{p}$ 的正弦电压可写作 $v = V_{p} sin θ$ 。波形的一个完整周期对应角度 $θ$ 转过 360°，即 $2 π$ 弧度。

图 2.3：正弦波瞬时值与角度的关系

2.2.2 角频率（Angular Frequency）

每秒有 $f$ 个周期，每周期对应 $2 π$ 弧度，所以每秒转过 $2 π f$ 弧度。这个量叫角频率，记作 $ω$ ：

ω = 2 π f rad/s

$ω$ ：角频率（rad/s）； $f$ ：频率（Hz）。物理意义： $ω$ 是正弦波相角变化的速率。

2.2.3 正弦波方程

相角 $θ = ω t$ （角频率 × 时间），代入得正弦波方程：

v = V_{p} sin ω t

v = V_{p} sin 2 π f t

同理正弦电流为 $i = I_{p} sin ω t$ 或 $i = I_{p} sin 2 π f t$ 。

例题：波形周期 50 ms、峰值 10 V，求其方程。 $f = 1/0.05 = 20$ Hz，故

v = 10 sin 2 π \cdot 20 t = 10 sin 126 t V

2.2.4 相角（Phase Angle）

如果 $t = 0$ 时波形的角度不为零，方程要加上这个初始角度：

y = A sin (ω t + ϕ)

$ϕ$ ：波形在 $t = 0$ 时的相角。 $t = 0$ 时 $ω t = 0$ ，所以 $y = A sin ϕ$ 。
物理意义： $ϕ$ 描述波形在时间轴上”整体平移”了多少。

图 2.4：相角的影响

例题：周期 100 ms、峰值 10 V，正弦波的”0° 点”出现在 $t = 25$ ms 处，求方程。 $f = 10$ Hz； $t = 0$ 时的相角 $ϕ = - 25/100 \times 360° = - 90°$ （即 $- π /2$ rad），故

v = 10 sin (63 t - π /2) V

2.2.5 相位差（Phase Differences）

两个同频波形之间可以有恒定的相位差。习惯取其中一个作参考（reference），说另一个**超前（lead）或滞后（lag）**它多少：

图 2.5：两个正弦波之间的相位差

图 (a) 中 B 比 A 晚到达峰值，称 B 滞后 A 90°；
图 (b) 中 B 比 A 早到达峰值，称 B 超前 A 90°。

“超前/滞后”的说法是相对的：A 超前 B 90° 等价于 B 滞后 A 90°，选哪种说法看场合与个人习惯。相位差只要求两波形同频，与幅度大小无关。

2.2.6 正弦波的平均值（Average Value）

对完整周期取平均，正弦波的平均值显然是零。但我们常常关心的是不管正负、只看幅度的平均值——可以理解为只对正半周取平均，或等效地，对整流后（负半周翻上去）的波形取平均：

图 2.6(a)：对正半周取平均

图 2.6(b)：整流正弦波的平均值

对 $v = V_{p} sin θ$ 在半个周期（ $0$ 到 $π$ ）上积分再除以 $π$ ：

V_{a v} = \frac{1}{π} \int_{0}^{π} V_{p} sin θ d θ = \frac{V _{p}}{π} [- cos θ]_{0}^{π} = \frac{2 V _{p}}{π}

V_{a v} = \frac{2}{π} \times V_{p} = 0.637 V_{p}

I_{a v} = 0.637 I_{p}

物理意义：正弦波”平均幅度”约为峰值的 63.7%。

2.2.7 正弦波的有效值（r.m.s. Value）

比平均值更有用的是方均根值（root mean square，r.m.s.）。理由来自功率：电阻上的瞬时功率 $p = v^{2} / R$ ，平均功率

P_{a v} = \frac{v ^{2}}{R}

其中 $\overline{v^{2}}$ （上划线表示取平均）叫方均电压（mean-square voltage）。对它开根号就是 r.m.s. 值：

V_{r m s} = \overline{v^{2}}, I_{r m s} = \overline{i^{2}}

对 $v = V_{p} sin ω t$ 在整周期上积分：

V_{r m s} = (\frac{1}{T} \int_{0}^{T} V_{p}^{2} sin^{2} ω t d t)^{1/2} = \frac{V _{p}}{2}

V_{r m s} = \frac{1}{2} \times V_{p} = 0.707 V_{p}, I_{r m s} = 0.707 I_{p}

为什么 r.m.s. 这么重要？ 因为 r.m.s. 值的交流量与同数值的直流量产生相同的功率：

P_{a v} = V_{r m s} I_{r m s}

P_{a v} = \frac{V _{r m s}^{2}}{R}

P_{a v} = I_{r m s}^{2} R

这三个式子与直流功率公式形式完全一样——把交流量的 r.m.s. 值当作”等效直流值”套用即可。这就是市电说”220 V”指的是 220 V r.m.s. 的原因。

Success

正弦波数值口诀：平均值 = 0.637 × 峰值（2/π），有效值 = 0.707 × 峰值（1/√2）。反过来：峰值 = 1.414 × 有效值 = 1.57 × 平均值。见到”220 V 市电”，其峰值其实高达 311 V。

例题 2.4：10 Ω 电阻上加 (a) 恒定 5 V；(b) 5 V r.m.s. 正弦波；(c) 5 V 峰值正弦波，求功率。

(a)： $P = 5^{2} /10 = 2.5$ W；
(b)： $P_{a v} = 5^{2} /10 = 2.5$ W（与相同数值的直流完全一样，印证 r.m.s. 的意义）；
(c)： $P_{a v} = \frac{( V _{p} / 2 ) ^{2}}{R} = \frac{5 ^{2} /2}{10} = 1.25$ W（只有一半！峰值 5 V ≠ 有效值 5 V）。

Warning

“5 V 的交流电”到底指什么？ 不指明是峰值还是有效值就乱算功率，是本章第一大错题来源。默认情况下仪器读数和工程说法指 r.m.s.；示波器上直接量到的是峰-峰值。换算口诀：峰-峰值 = 2 × 峰值 = 2.83 × 有效值（正弦波）。

2.2.8 波形因数与峰值因数

两个有用的比值，对任何周期波形都适用：

波形因数（ form factor ） = \frac{r.m.s. 值}{平均值}

正弦波： $0.707 V_{p} /0.637 V_{p} = 1.11$ 。

峰值因数（ peak factor / crest factor ） = \frac{峰值}{r.m.s. 值}

正弦波： $V_{p} /0.707 V_{p} = 1.414$ 。

波形因数在后面 2.5.3 节模拟表读数换算中会再次出现。

2.3 方波（Square Waves）

2.3.1 周期、频率与幅度

周期、频率、峰值、峰-峰值的定义对所有重复波形都一样。

图 2.7：方波电压信号

2.3.2 相角

与正弦波一样，可以把方波的一个周期划成 360°（2π 弧度）来讨论相位差。描述两个方波的相位关系时，也可以直接给出其中一个相对另一个的时间延迟。

图 2.8：有相位差的两个方波

2.3.3 平均值与有效值

对称方波的平均值等于其峰值（正半周始终是 $+ V_{p}$ ）。瞬时值的平方恒为 $V_{p}^{2}$ ，所以其平均值也是 $V_{p}^{2}$ ，开方得 $V_{p}$ 。结论：

方波的平均值 = 峰值；
方波的 r.m.s. 值 = 峰值。

2.3.4 波形因数与峰值因数

既然平均值和 r.m.s. 值都等于峰值，方波的波形因数和峰值因数都等于 1.0——与正弦波的 1.11 和 1.414 截然不同。

Warning

用正弦波校准的表测方波会错约 11%：表按波形因数 1.11 换算，而方波的波形因数是 1.0，所以读数偏高约 11%。峰值、平均值、有效值之间的关系取决于波形形状，换波形就要换系数。

Success

一句话对比记忆：正弦波——有效值 0.707 峰值、平均值 0.637 峰值；方波——有效值 = 平均值 = 峰值。三角波又是另一组系数，总之”关系随波形形状而变”。

2.4 电路中电压与电流的测量

电压表、电流表、数字万用表、示波器……仪器千差万别，但有几条共同的原则。

2.4.1 测电压

测某两点之间的电压，把电压表并联在这两点之间（例如跨接在待测元件两端）。

2.4.2 测电流

测流过某元件的电流，必须把电流表串联接入该支路，并注意让约定电流从正表笔流入、负表笔流出。

图 2.9：电压与电流的测量方法

2.4.3 负载效应（Loading Effects）

接入测量仪表本身会改变电路的行为——测量行为改变了被测量：

测电压时，电压表的等效电阻 $R_{M}$ 与被测部分并联，降低了该处等效电阻，使被测电压偏低。所以电压表内阻应尽可能高。
测电流时，电流表串联进电路，增加了回路电阻，使电流偏小。所以电流表内阻应尽可能低。

图 2.9(c)(d)：测量过程的等效电路

使用模拟表时必须考虑负载效应（仪表通常会标出各量程的有效内阻）；数字表和示波器的负载效应一般小得多，但也不能完全无视。

2.5 模拟电流表与电压表

现代模拟表多基于动圈式仪表（moving-coil meter）：指针偏转量与流过表头的电流成正比。两个关键参数：满量程偏转电流（f.s.d.，full-scale deflection，典型 50 μA ~ 1 mA）和表头内阻 $R_{M}$ （几 Ω 到几 kΩ）。

2.5.1 直流电流的测量（分流电阻）

量程大于表头 f.s.d. 时，给表头并联分流电阻（shunt resistor） $R_{S H}$ 分走大部分电流：

图 2.10：动圈表作电流表

并联的 $R_{S H}$ 上电压与表头相同，电流按阻值反比分流。例如 $R_{S H} = R_{M} /9$ 时，分流电阻流过 9 倍于表头的电流，总电流量程扩大 10 倍。此法可级联扩展到任意量程。

例题 2.5：表头 f.s.d. 1 mA、内阻 25 Ω，要改成 f.s.d. 50 mA 的电流表。

需把灵敏度降为 $50/1 = 50$ 分之一，即只让 1/50 的电流进表头：

R_{S H} = \frac{R _{M}}{49} = \frac{25}{49} \approx 510 mΩ

（n 倍量程 → $R_{S H} = R_{M} / (n - 1)$ ，此题 n = 50。）

2.5.2 直流电压的测量（串联电阻）

给表头串联一个大电阻 $R_{S E}$ ，用流过表头的电流反映被测电压：

图 2.11：动圈表作电压表

例题 2.6：表头 f.s.d. 1 mA、内阻 25 Ω，要改成 f.s.d. 50 V 的电压表。

满偏时总电阻应为 $50 V /1 mA = 50 kΩ$ ：

R_{S E} = 50 kΩ - 25 Ω \approx 50 kΩ

2.5.3 交流量的测量

动圈表有机械惯性，跟不上快速变化的电流，只能对读数做时间平均——对称交流波形会让它显示零。解决办法是先整流（把交流变成单方向），表头响应整流波形的平均值。

但我们通常要的是 r.m.s. 值，于是交流表出厂时把读数乘以 1.11（正弦波的波形因数）来标定：对正弦波直接给出正确的 r.m.s. 值。代价是：对非正弦波形读数错误——例如测方波会偏高约 11%。补救办法是按被测波形的波形因数人工修正。此外仪表还有频率响应限制，超过上限频率就不准了。

2.5.4 模拟万用表

用开关 + 电阻网络把多种电压/电流量程、整流器（测交流）和电阻测量电路整合进一台仪表，就是模拟万用表（analogue multimeter）。用途广泛，但输入电阻往往偏低，负载效应比较明显。

图 2.12：模拟万用表

2.6 数字万用表（Digital Multimeters，DMM）

电子实验室的标准仪器。它把高精度、高稳定性与易用性结合：作电压表时输入电阻极高、测电流时输入电阻极低，负载效应被降到最小。

核心是一颗模数转换器（ADC，analogue-to-digital converter）：把电压信号转成数字量驱动数字显示。测量原理是把被测量都变成成比例的电压：

测电压：经可切换的**衰减器（attenuator）**分压；
测电流：流过可切换的分流电阻，产生正比于电流的电压；
测电阻：由”欧姆转换器”在两端子间通一个小电流，测 resultant 电压即得电阻。

图 2.13：数字万用表及其简化框图

简单 DMM 测交流的方式与模拟表相同：整流取平均、乘 1.11 换算，对非正弦波同样不准。高档 DMM 内置真有效值（true r.m.s.）转换器，能对任意波形直接输出正确的 r.m.s. 值。但所有 DMM 的精度都只在有限频段内可靠。

2.7 示波器（Oscilloscopes）

示波器把电压随时间变化的波形直接画在屏幕上，相当于一台自动绘图仪（横轴时间、纵轴电压）。

2.7.1 模拟示波器

时基电路用锯齿波驱动水平偏转，让光点以恒定速度从左到右反复扫描；输入信号驱动垂直偏转，幅度正比于电压。显示两路信号靠在两输入间快速切换（ALT 模式：整条扫完一路再扫另一路；CHOP 模式：一条扫描线内高频切换）。**触发电路（trigger）**让每次扫描都从重复波形的同一相位点开始，从而得到稳定不飘的波形。

图 2.14：模拟示波器及其简化框图

2.7.2 数字示波器

如今的主流。用 ADC 把波形数字化后存储、处理，特别擅长观察极慢波形和短瞬态（能存下来慢慢看、稳定显示），还常自带自动测量和数学功能（如频谱分析）。

图 2.15：数字示波器及其简化框图

2.7.3 用示波器做测量

示波器的三大优势：

频带宽：可达数百 MHz 甚至数 GHz，远超万用表；
能看见波形形状：判断电路是否正常工作、发现失真；
能同时看直流分量与交流分量：如图 2.16 所示，大直流上叠加小交流的信号，万用表只会读出直流分量，而示波器能让你看清交流成分的存在；选 AC 耦合输入还能把直流”隔掉”单独观察交流（第08章会讲电容如何隔直）。

图 2.16：同时含有直流与交流分量的波形

用示波器看交流时通常读峰-峰值（屏幕上最好量）；与万用表读数对比时要小心——万用表给的是 r.m.s. 值。

示波器还能测相位差：把两个波形分别显示在两通道上，测出周期 $T$ 和两波对应点的时间差 $t$ ，则

相位差 ϕ = \frac{t}{T} \times 360° = \frac{t}{T} \times 2 π rad

$t$ ：两波形对应点（如同向过零点）的时间差； $T$ ：周期。
物理意义：时间差占整个周期的比例 × 360° 就是相位差。

图 2.17：用示波器测相位差

图 2.17 中波形 B 滞后 A 约八分之一周期，即约 45°（π/4 rad）。

Success

仪器选择口诀：测准确数值用 DMM（默认 r.m.s.），看波形形状和相位关系用示波器（默认峰-峰值）。非正弦波要有效值，找”true r.m.s.”或自己按波形因数修正。

Warning

三大易错点回顾：① 表测交流本质测的是整流平均值，乘 1.11 才是”r.m.s.”，只对正弦波成立；② 电压表并联要高内阻、电流表串联要低内阻，否则负载效应让”测量改变被测量”；③ 示波器读峰-峰值、万用表读有效值，两者直接比较前必须换算。

2.8 本章要点回顾

交流波形最重要的形式是正弦波； $f = 1/ T$ ， $ω = 2 π f$ 。
正弦波方程： $v = V_{p} sin (2 π f t + ϕ)$ ， $V_{p}$ 是峰值， $ϕ$ 是 $t = 0$ 时的相角。
同频波形之间可谈超前/滞后的相位差。
平均值定义在正半周上；r.m.s. 值是”与直流量产生相同功率”的等效值。
正弦波： $V_{a v} = 0.637 V_{p}$ ， $V_{r m s} = 0.707 V_{p}$ ；方波：两者都等于峰值。
动圈表靠分流/串联电阻扩展量程；交流表测整流平均值、按正弦波标定，测非正弦波会出错。
DMM 高精度、高输入阻抗；真有效值机型可测任意波形。
示波器显示波形、频带宽，可测失真、直流+交流混合信号及相位差。

自测五题（点击展开答案）

1. 一个正弦波周期 10 s，频率是多少？方波频率 25 Hz 呢？

$f = 1/10 = 0.1$ Hz； $T = 1/25 = 40$ ms。

2. 波形方程 $v = 25 sin 471 t$ 的频率和峰值是多少？

$ω = 471$ rad/s， $f = 471/2 π \approx 75$ Hz；峰值 $V_{p} = 25$ V。

3. 10 V 峰值的正弦电压加在 25 Ω 电阻上，功率是多少？若是 10 V r.m.s. 呢？

峰值情形： $V_{r m s} = 10/ 2 = 7.07$ V， $P = 7.0 7^{2} /25 = 2$ W。r.m.s. 情形： $P = 1 0^{2} /25 = 4$ W。

4. 动圈表 f.s.d. 50 μA、内阻 10 Ω，如何改成 f.s.d. 250 mA 的电流表？

量程扩大 $250 mA /50 μ A = 5000$ 倍， $R_{S H} = R_{M} / (n - 1) = 10/4999 \approx 2$ mΩ。

5. 正弦波在示波器上峰-峰值 15 V，同时用模拟万用表（交流挡）测，读数是多少？

峰值 $= 7.5$ V， $V_{r m s} = 7.5 \times 0.707 \approx 5.3$ V。万用表按正弦波标定，读数即约 5.3 V。

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