📘 第 10 章：振荡器与定时器

这一篇在干嘛？

前面学的放大器都需要外部输入信号，而**振荡器（oscillator）**是一种”自己就能产生信号”的电路：只要接上直流电源，它就能持续输出正弦波、三角波、方波等周期波形。这一章先讲振荡的两个核心条件（相位与增益），再按”RC 正弦振荡器 → LC/晶体振荡器 → 张弛振荡器 → 555 定时器”的顺序逐个拆解，每个电路都配有原书计算示例，学完你就能自己设计并计算一个信号源。

本章导航

• 10–1 振荡器是什么
• 10–2 反馈振荡器原理：正反馈、起振与稳幅
• 10–3 RC 反馈正弦振荡器：文氏桥、相移与双 T
• 10–4 LC 反馈振荡器：考毕兹、克拉普、哈特莱与晶体
• 10–5 张弛振荡器：三角波、锯齿波与方波
• 10–6 555 定时器作振荡器：无稳态与 VCO
• 10–7 555 定时器作单稳态 one-shot
• 本章公式速查
• 课后习题与自测配图
• 下一章预告：电压调节器
• 自测一下

10–1 振荡器是什么

振荡器（oscillator）是只靠直流电源供电、不需要任何外部输入信号，就能产生重复输出波形的电路。它和放大器的本质区别就在这里：放大器”放大别人给的信号”，振荡器”无中生有地制造信号”。

一个振荡器的基本构成只有两块：

1. 放大环节：提供能量补充（能量归根结底来自直流电源）；
2. 反馈网络（feedback network）：把输出的一部分送回输入端，同时提供所需的衰减（attenuation）和相移（phase shift）。

按输出波形和工作原理，本章的振荡器分两大类：

• 反馈振荡器（feedback oscillator）：用正反馈维持振荡，输出正弦波（10–2 ~ 10–4 节）；
• 张弛振荡器（relaxation oscillator）：用 RC 定时电路和一个”来回翻转”的开关器件产生非正弦波形（10–5 ~ 10–7 节）。

10–2 反馈振荡器原理：正反馈、起振与稳幅

正反馈：信号”自己养活自己”

正反馈（positive feedback）的特点是：把放大器输出电压中与输入同相（in-phase）的那一部分送回输入端。这样反馈电压被放大产生输出，输出又产生反馈电压，形成一个信号能自我维持（sustain）的闭环——这就是振荡（oscillation）。

图：正反馈产生振荡——同相信号在环路中自我强化（原书图 10–3）

振荡的两个维持条件

要让振荡持续下去，环路必须同时满足两个条件：

1. 相位条件：反馈环路的总相移必须等效为 $0°$（即 360°）；
2. 增益条件：闭环反馈环路周围的电压增益（环路增益，loop gain）$A_{cl}$ 必须等于 1。

图：(a) 环路相移为 0°（原书图 10–4a）

图：(b) 闭环环路增益为 1（原书图 10–4b）

环路增益是放大器增益 $A_v$ 与反馈网络衰减 $B$ 的乘积：

$$A_{cl}=A_{v}B$$

常见坑：环路增益大于 1 会"削顶"

如果想要的是正弦波，而环路增益大于 1，输出会被迅速推到两个峰值处的饱和区，产生不可接受的失真。比如反馈网络衰减是 0.01，放大器增益就必须恰好是 100（$0.01\times 100=1.0$）；增益超过 100，波形两个峰都会被限幅。所以振荡起来之后，必须用某种增益控制手段把环路增益精确锁在 1。

起振条件：先大于 1，再降回 1

一个”先有鸡还是先有蛋”的问题：振荡器刚上电时没有输出，第一个反馈信号从哪来？答案是：电阻等元器件中的**热噪声（thermal noise）**是宽带的，加上电源上电瞬间的瞬态扰动，其中频率恰好等于”选定振荡频率”且相位合适的分量会被反馈网络挑出来、送到放大器同相输入端，被不断放大强化，输出幅度就像滚雪球一样建起来。

因此完整的增益剧本是：

• 起振时：环路增益必须大于 1（$A_{cl}>1$），输出幅度才能从无到有地爬升；
• 稳定后：增益必须降到恰好 1，把幅度锁定在期望值上。

图：$t_0$ 时刻起振，$A_{cl}>1$ 使正弦输出幅度不断增大，随后 $A_{cl}$ 降为 1，幅度稳定（原书图 10–5）

通关标准：

能不看书说出三件事——①维持振荡的两个条件（0° 相移 + 环路增益 = 1）；②起振时环路增益必须 > 1；③最初的”种子信号”来自热噪声和上电瞬态。

10–3 RC 反馈正弦振荡器：文氏桥、相移与双 T

用 RC（电阻-电容）网络做反馈的正弦振荡器有三种：文氏桥振荡器（Wien-bridge oscillator）、相移振荡器（phase-shift oscillator）和双 T 振荡器（twin-T oscillator）。RC 振荡器一般工作在约 1 MHz 以下，其中文氏桥是这个频段用得最多的一种。

文氏桥振荡器

核心元件：超前-滞后网络

文氏桥的心脏是一个超前-滞后网络（lead-lag network）：$R_1$、$C_1$ 构成滞后（lag）部分，$R_2$、$C_2$ 构成超前（lead）部分。

图：超前-滞后网络及其响应曲线——输出电压在谐振频率 $f_r$ 处达到峰值（原书图 10–6）

它的工作逻辑：

• 低频时：$C_2$ 容抗 $X_{C2}$ 很大，超前网络主导，频率升高时 $X_{C2}$ 下降，输出电压增大；
• 越过 $f_r$ 后：滞后网络接管，$X_{C1}$ 随频率继续下降，输出电压转而减小。

于是在谐振频率（resonant frequency）$f_r$ 处输出电压出现峰值。当 $R_1=R_2$、$X_{C1}=X_{C2}$ 时，该网络在 $f_r$ 处的衰减（$V_{out}/V_{in}$）为 1/3：

$$\frac{V_{out}}{V_{in}}=\frac{1}{3}\text{\hspace{1em}(10-1)}$$

谐振频率公式为：

$$f_r=\frac{1}{2\pi RC}\text{\hspace{1em}(10-2)}$$

一句话总结超前-滞后网络：在 $f_r$ 处相移为 0°、衰减为 1/3；低于 $f_r$ 输出超前输入，高于 $f_r$ 输出滞后输入。

基本电路：两条反馈腿

把超前-滞后网络接进运放（operational amplifier, op-amp）的正反馈回路，再用一个**分压器（voltage divider）**做负反馈回路，就构成了文氏桥振荡器。

图：文氏桥振荡器画法一——超前-滞后网络接正反馈，分压器接负反馈（原书图 10–7a）

图：文氏桥振荡器画法二——运放跨接在”桥”上，一条桥臂是超前-滞后网络，另一条是分压器（原书图 10–7b）

分压器决定放大器闭环增益：

$$A_{cl}=\frac{1}{B}=\frac{1}{R_2/(R_1+R_2)}=\frac{R_1+R_2}{R_2}$$

振荡的正反馈条件：在 $f_r$ 处，超前-滞后网络相移 0°，运放同相（+）输入到输出又不反相，所以环路相移恰好 0°；此时只要放大器闭环增益

$$A_{cl}=3$$

就能抵消网络的 1/3 衰减，使环路总增益为 1。要凑出 3 倍增益，取

$$R_1=2R_2\Rightarrow A_{cl}=\frac{2R_2+R_2}{R_2}=3$$

图：(a) 环路相移为 0°（原书图 10–8a）

图：(b) 环路电压增益为 1（原书图 10–8b）

自起动：怎么让增益”先大后小”

起动阶段闭环增益必须大于 3（$A_{cl}>3$），等输出建到期望幅度后再回落到 3。怎么自动完成这个切换？

图：(a) 环路增益大于 1，输出不断建起（原书图 10–9a）

图：(b) 环路增益等于 1，输出维持恒定（原书图 10–9b）

方案一：背靠背齐纳二极管（back-to-back zener diodes）。在分压器中给 $R_1$ 并联一个与 $R_3$ 串接、再并上两只反向串联齐纳管的结构：

图：用背靠背齐纳二极管实现自起动的文氏桥振荡器（原书图 10–10）

上电瞬间两只齐纳管都像开路，$R_3$ 与 $R_1$ 串联，闭环增益升高：

$$A_{cl}=\frac{R_1+R_2+R_3}{R_2}=\frac{3R_2+R_3}{R_2}=3+\frac{R_3}{R_2}$$

噪声/瞬态产生的微小正反馈信号中，只有频率等于 $f_r$ 的分量能以同相出现在同相输入端，被放大增强、输出爬升。当输出达到齐纳击穿电压，齐纳管导通、相当于把 $R_3$ 短路，增益回落到 3，环路总增益回到 1，振荡稳定维持。这类”增益自己调节”的机制统称自动增益控制（automatic gain control, AGC）——齐纳管是在非线性（齐纳导通）刚开始的地方限制增益。

齐纳方案简单，但必须靠非线性才能控增益，正弦波形不够干净。方案二：JFET 压控电阻则能得到非常干净、稳定的正弦波。回忆一下：JFET 在小或零 $V_{DS}$ 下工作在欧姆区（ohmic region），栅压越高、漏源电阻越大。把 JFET 放进负反馈通路，它就是一个电压控制的增益旋钮。

图：负反馈回路中用 JFET 稳幅的自起动文氏桥振荡器（原书图 10–11）

工作过程：无输出信号时栅压为 0，JFET 漏源电阻最小，环路增益大于 1，振荡迅速建起；输出信号的负半周使 $D_1$ 正偏，给 $C_3$ 充上负电压，这个负压抬高 JFET 的漏源电阻、压低增益和输出——典型的负反馈。元件选配得当，增益就能稳定在所需水平。

例 10–1：文氏桥振荡器的频率与 $R_f$ 计算

求图 10–12 中文氏桥振荡器的振荡频率，并计算 $R_f$ 的取值。设振荡稳定时 JFET 的内部漏源电阻 $r_{ds}^{\prime }=500\Omega$。

图：例 10–1 电路（原书图 10–12）

解：超前-滞后网络中 $R_1=R_2=R=10\mathrm{k\Omega }$，$C_1=C_2=C=0.01\mu \mathrm{F}$。频率为

$$f_r=\frac{1}{2\pi RC}=\frac{1}{2\pi (10\mathrm{k\Omega })(0.01\mu \mathrm{F})}=1.59\mathrm{kHz}$$

振荡维持要求闭环增益为 3.0。同相放大器的增益为

$$A_v=\frac{R_f}{R_i}+1$$

其中 $R_i$ 由源电阻 $R_3$ 与 $r_{ds}^{\prime }$ 串联构成，代入：

$$A_v=\frac{R_f}{R_3+r_{ds}^{\prime }}+1$$

整理求 $R_f$：

$$R_f=(A_v-1)(R_3+r_{ds}^{\prime })=(3-1)(1.0\mathrm{k\Omega }+500\Omega )=3.0\mathrm{k\Omega }$$

练习：$R_f$ 调得太大会怎样？调得太小呢？ 答案（章末给出）：$R_f$ 过大时输出失真；过小时振荡停止。

系统示例 10–1：音叉级的标准音发生器

高音质音频振荡器常用来做精确频率基准。本例是乐器厂商用来校准中央 C（261.625 Hz）的系统：便携、两节 9 V 电池供电，由文氏桥振荡器、电压放大器、功率放大器和扬声器组成。为避免噪声、失真和漂移，文氏桥与电压放大器用精密元件制作并单独封装屏蔽。

图：音频振荡器系统的实物配图（原书系统示例 10–1 配图）

图：音频振荡器系统的基本框图（原书图 SE10–1）

振荡与电压放大电路采用 AD822 运放——双通道精密、低功耗、低噪声、FET 输入，输入偏置电流漂移极低（B 级最大 10 pA），非常适合电池供电电路。前半个运放做文氏桥振荡器，后半个做电压放大器。两个联动电位器（rheostats）用于微调频率，设每个调到 184 Ω 时：

$$f=\frac{1}{2\pi RC}=\frac{1}{2\pi (5.9\mathrm{k\Omega }+184\Omega )(0.1\mu \mathrm{F})}=261.6\mathrm{Hz}$$

电压放大器起隔离作用，防止负载效应影响桥路；低电平应用中它本可以直接推扬声器，本系统中再用功率放大器增强信号。

图：文氏桥振荡器与放大器电路（原书图 SE10–2）

相移振荡器

相移振荡器（phase-shift oscillator）在反馈环里放三节 RC 网络，每节最多提供接近 90° 的相移。振荡发生在三节 RC 总相移恰为 180° 的频率上；运放本身接成反相器再提供 180°，两者合计 360°（即 0°），满足相位条件。

图：运放相移振荡器——三节 RC 反馈网络加反相放大（原书图 10–13）

三节 RC 反馈网络的衰减为

$$B=\frac{1}{29}\text{\hspace{1em}(10-3)}$$

其中 $B=R_3/R_f$。为满足环路增益大于 1，运放闭环电压增益必须大于 29（由 $R_f$ 与 $R_3$ 设定）。当 $R_1=R_2=R_3=R$、$C_1=C_2=C_3=C$ 时，振荡频率为

$$f_r=\frac{1}{2\pi \sqrt{6}RC}\text{\hspace{1em}(10-4)}$$

例 10–2：相移振荡器的 $R_f$ 与频率

(a) 求图 10–14 电路作为振荡器工作所需的 $R_f$；(b) 求振荡频率。

图：例 10–2 电路（原书图 10–14）

解：

(a) $A_{cl}=29$，且 $B=\frac{1}{29}=\frac{R_3}{R_f}$，因此

$$\frac{R_f}{R_3}=29$$ $$R_f=29R_3=29(10\mathrm{k\Omega })=290\mathrm{k\Omega }$$

(b) $R_1=R_2=R_3=R$，$C_1=C_2=C_3=C$，因此

$$f_r=\frac{1}{2\pi \sqrt{6}(10\mathrm{k\Omega })(0.001\mu \mathrm{F})}\cong 6.5\mathrm{kHz}$$

练习：(a) 若图 10–14 中 $R_1,R_2,R_3$ 改为 8.2 kΩ，$R_f$ 要多大才能振荡？(b) $f_r$ 是多少？ 答案（章末给出）：(a) 238 kΩ；(b) 7.92 kHz。

状态变量振荡器（系统笔记）

第 9 章学过的状态变量滤波器（state-variable filter）也能当振荡器用：从第三级输出引正反馈回第一级输入即可。它由一个反相放大器（贡献 180°）加两个积分器（各贡献 90°）组成，合计 360°，满足正反馈相位要求。状态变量振荡器比单级 RC 振荡器起动更可靠、建立时间更短，对杂散电容也不敏感，因此在很多系统里更受青睐。

图：状态变量振荡器系统笔记配图（原书 10–3 节系统笔记插图）

一个实际应用：把电容式/电阻式传感器的输出转成正弦电压，再加一级比较器把正弦变成数字脉冲供计算机分析。比如监测油罐液位——液位传感器其实是空心管做成的电容器，油面升降改变介电常数从而改变电容；把这两个电容传感元件放进状态变量振荡器两个积分器的反馈回路，振荡频率就随液面变化。单片机用高频时钟计数、配合查找表，就能把频率换算成液位显示。TI 的 UAF42 通用有源滤波器芯片自带第四个运放，正好可配置成比较器。

图：电容式液位传感 + 状态变量振荡器系统笔记配图（原书 10–3 节系统笔记插图）

双 T 振荡器

**双 T 振荡器（twin-T oscillator）因反馈环路里两个 T 型 RC 滤波器得名：一个呈低通响应，一个呈高通响应，两者并联合成带阻（notch）**响应，陷波中心频率正是想要的振荡频率 $f_r$。

图：(a) 双 T 振荡器电路（原书图 10–15a）

图：(b) 双 T 滤波器的频率响应曲线（原书图 10–15b）

逻辑很巧妙：在 $f_r$ 以外的频率上，负反馈通路畅通，电路被负反馈压住、振不起来；而在 $f_r$ 处，双 T 网络的带阻特性让负反馈几乎为零，于是经分压器（$R_1$、$R_2$）送入的正反馈得以主导，电路就在 $f_r$ 上振荡。