📘 第 9 章：有源滤波器

这一篇在干嘛？

这一章讲有源滤波器（active filter）：用运算放大器（operational amplifier, op-amp）加上电阻电容网络，把”放行某些频率、拦下另一些频率”这件事做得又稳又好。你会认识四种滤波器（低通、高通、带通、带阻）、三种响应”性格”（巴特沃斯、切比雪夫、贝塞尔），以及两个核心设计参数——阻尼系数和极点数，最后通过 RFID 接收机、FM 立体声收音机等真实系统例子看到滤波器到底怎么用。

本章导航

• 9–1 基本滤波器响应
• 9–2 滤波器响应特性
• 9–3 有源低通滤波器
• 9–4 有源高通滤波器
• 9–5 有源带通滤波器
• 9–6 有源带阻滤波器
• 9–7 滤波器响应的测量
• 本章小结与关键公式
• 习题与扩展配图
• 附录 切片末尾的第10章配图

9–1 基本滤波器响应

**滤波器（filter）**是一种”频率安检门”：让某些频段的信号顺利通过，同时衰减或拦截其他频段。按通行方向分四种：

类型	通过什么	拦下什么	生活类比
低通滤波器（low-pass filter）	临界频率 $f_c$ 以下的频率	高于 $f_c$ 的频率	只放行”低音”的门
高通滤波器（high-pass filter）	$f_c$ 以上的频率	低于 $f_c$ 的频率	只放行”高音”的门
带通滤波器（band-pass filter）	下限 $f_{c1}$ 到上限 $f_{c2}$ 之间的频带	频带外的所有频率	只放行”中音”的门
带阻滤波器（band-stop filter）	频带外的所有频率	频带内的频率（如 50 Hz 工频干扰）	专门拦”某一段”的门

描述一个滤波器，最核心的词是临界频率（critical frequency，也叫截止频率 cutoff frequency）——通带的边界；以及带宽（bandwidth, BW）——通带的宽度。

• 对低通滤波器：响应从 0 Hz 一直延续到 $f_c$，所以它的带宽就等于临界频率：

$$BW=f_c\text{\hspace{1em}(9-1)}$$

• 对带通滤波器：带宽是上、下两个临界频率之差：

$$BW=f_{c2}-f_{c1}\text{\hspace{1em}(9-2)}$$

• 带通滤波器的中心频率（center frequency） $f_0$ 理想上取两个临界频率的几何平均：

$$f_0=\sqrt{f_{c1}{f}_{c2}}\text{\hspace{1em}(9-3)}$$

• 衡量带通滤波器”挑频”能力的是品质因数（quality factor, Q）：

$$Q=\frac{f_0}{BW}\text{\hspace{1em}(9-4)}$$

$Q$ 越大，带宽越窄，选择性越好。此外还有一种全通滤波器（all-pass filter）：它让所有频率都通过，但对不同频率引入不同的相移——专门用来”调相位”而不动幅度。

常见坑：低通滤波器的带宽别再"减"了

低通滤波器通带从 0 Hz 开始，因此 $BW=f_c$，不需要也不能再做减法。只有带通、带阻这类”有下限”的滤波器才用 $BW=f_{c2}-f_{c1}$。把这两个公式混用是初学阶段最典型的丢分点。

通关标准：

给你任何一个滤波器，你能说出它放行哪个频段；给出 $f_{c1}$、$f_{c2}$ 能算出 BW、$f_0$ 和 Q，这一节就算过了。

9–2 滤波器响应特性

同样是低通滤波器，“过渡带”可以做得平缓也可以做得陡峭，通带内可以平坦也可以有波纹——这些差别就是滤波器的响应特性（response characteristic）。靠选择元件参数，任何一种滤波器（低通/高通/带通/带阻）都可以被设计成三种性格之一：巴特沃斯（Butterworth）、切比雪夫（Chebyshev）或贝塞尔（Bessel）。

图：三种滤波器响应特性的低通响应曲线对比（原书图 9–5）

巴特沃斯特性（Butterworth）

• 通带内幅度响应非常平坦，因此又被称为最大平坦响应（maximally flat response）；
• 每个极点的滚降速率为 −20 dB/十倍频（−20 dB/decade/pole）；
• 缺点：相位响应非线性——不同频率分量穿过滤波器时延时不同，于是脉冲信号的上升/下降沿会出现过冲（overshoot）。

适用场景：通带内所有频率必须获得相同增益的场合。它是最常用、也是本章后续所有设计示例默认的特性。

切比雪夫特性（Chebyshev）

• 滚降速率快于 −20 dB/decade/pole，想要同样的陡峭度可以用更少的极点、更简单的电路；
• 代价：通带内出现波纹（ripple）或过冲（取决于极点数），相位非线性比巴特沃斯更严重。

适用场景：需要快速滚降、又不在乎通带平坦度的场合。

贝塞尔特性（Bessel）

• 相位随频率线性变化，因此脉冲输入几乎不过冲；
• 滚降速率比巴特沃斯慢（每个极点不足 −20 dB/decade）。

适用场景：滤波脉冲波形而不失真。比如数字信号的整形通道，用贝塞尔就不会把方波的棱角”揉圆”。

阻尼系数（Damping Factor, DF）

一个有源滤波器呈现哪种特性，由阻尼系数（damping factor, DF）决定。看图 9–6 这个通用模型：它由频率选择网络（RC 网络）+ 同相放大器 + 负反馈网络组成，阻尼系数就藏在负反馈网络里：

$$DF=2-\frac{R_1}{R_2}\text{\hspace{1em}(9-5)}$$

图：有源滤波器的通用框图，注意 $R_1$ 对应第 6 章的 $R_f$、$R_2$ 对应 $R_i$（原书图 9–6）

直观理解：输出一旦想”冒尖”，负反馈立刻把它按回来；DF 设得精准，通带响应曲线就被”压”得平平的。通过高等数学推导（本书不展开），要实现二阶巴特沃斯响应，DF 必须等于 1.414。由式 (9–5) 反推反馈电阻比：

$$\frac{R_1}{R_2}=2-DF=2-1.414=0.586$$

而这个电阻比同时就是同相放大器的闭环增益：

$$A_{cl(\mathrm{NI})}=\frac{1}{B}=\frac{1}{R_2/(R_1+R_2)}=\frac{R_1+R_2}{R_2}=\frac{R_1}{R_2}+1=0.586+1=1.586$$

即二阶巴特沃斯滤波器的通带增益固定为 1.586 倍。

常见坑： $R_1/R_2$ 谁除以谁别搞反

DF = 2 − R₁/R₂ 中，$R_1$ 是反馈电阻（对应第 6 章的 $R_f$），$R_2$ 是输入电阻（对应 $R_i$）。把比值写反，增益和 DF 全错。记住：比值 0.586 < 1，说明反馈电阻要比输入电阻小。

例 9–2

已知：图 9–6 类型的二极点（两阶）有源滤波器，负反馈网络中 $R_2=10\mathrm{k\Omega }$。求：要获得最大平坦的巴特沃斯响应，$R_1$ 应取多少？

解：二阶巴特沃斯要求 $R_1/R_2=0.586$，所以

$$R_1=0.586R_2=0.586\times (10\mathrm{k\Omega })=5.86\mathrm{k\Omega }$$

选最接近的标准 5% 精度阻值 5600 Ω，即可非常接近理想巴特沃斯响应。

练习：若 $R_2=10\mathrm{k\Omega }$、$R_1=5.6\mathrm{k\Omega }$，阻尼系数是多少？（答案：DF = 2 − 5.6/10 = 1.44）

临界频率与滚降速率

临界频率由 RC 网络的元件值决定。对单极点（一阶）滤波器（图 9–7）：

$$f_c=\frac{1}{2\pi RC}$$

图：一阶（单极点）低通滤波器（原书图 9–7）

（低通、高通的 $f_c$ 公式相同。）极点（pole）数决定滚降速率：巴特沃斯响应每个极点贡献 −20 dB/decade，所以一阶 −20、二阶 −40、三阶 −60 dB/decade，以此类推。

想要三个及以上极点，就靠级联（cascade）：三阶 = 二阶 + 一阶；四阶 = 二阶 + 二阶……级联中的每一级称为一个级/段（stage 或 section）。

图：通过级联增加滤波器的极点数（原书图 9–8）

因为巴特沃斯最常用，本章后续都用它演示。下表（原书表 9–1）给出最高六阶巴特沃斯滤波器的滚降速率、各级阻尼系数与反馈电阻比——设计时直接查表即可：

阶数	滚降 dB/decade	第1级 极点	第1级 DF	第1级 $R_1/R_2$	第2级 极点	第2级 DF	第2级 $R_3/R_4$	第3级 极点	第3级 DF	第3级 $R_5/R_6$
1	−20	1	可选	—
2	−40	2	1.414	0.586
3	−60	2	1.00	1	1	1.00	1
4	−80	2	1.848	0.152	2	0.765	1.235
5	−100	2	1.00	1	2	1.618	0.382	1	0.618	1.382
6	−120	2	1.932	0.068	2	1.414	0.586	2	0.518	1.482

常见坑：高阶滤波器的各级 DF 不一样

四阶滤波器不是”两级都取 DF = 1.414”，而是第一级 1.848、第二级 0.765（查表 9–1）。每一级的反馈电阻比也不同（0.152 和 1.235）。照抄二阶公式到高阶电路是高频错误。

通关标准：

能说清三种特性的优缺点与适用场景；给定阶数能查表 9–1 得到各级 DF 和电阻比；给定 $R_2$ 能算出 $R_1$。

9–3 有源低通滤波器

先回答”为什么要’有源’“。相比只用 R、L、C 的无源滤波器，用运放做有源元件有四大好处：

1. 提供增益——信号穿过滤波器不被衰减；
2. 高输入阻抗——不会过分加重前级信号源的负担；
3. 低输出阻抗——后级负载不影响滤波器本身的响应；
4. 容易调谐——可在宽频率范围内调整而不破坏预期响应。

单极点滤波器

图 9–9(a) 是只有一个低通 RC 网络的有源滤波器，$f_c$ 以上滚降 −20 dB/decade，响应曲线见图 9–9(b)。运放接成同相放大器（noninverting amplifier），通带增益由 $R_1$、$R_2$ 决定：

$$A_{cl(\mathrm{NI})}=\frac{R_1}{R_2}+1$$

图：Multisim 仿真入口 F09-09，用波特图仪测单极点低通有源滤波器的频率与相位响应（原书图）

图：单极点有源低通滤波器电路 (a)（原书图 9–9a）

图：单极点有源低通滤波器的响应曲线 (b)（原书图 9–9b）

Sallen-Key 低通滤波器

Sallen-Key 结构（也叫 VCVS，压控电压源滤波器）是最常见的二阶（两极点）滤波器电路之一，见图 9–10。它包含两个低通 RC 网络：$R_A{C}_A$ 和 $R_B{C}_B$，在 $f_c$ 以上提供 −40 dB/decade 滚降（巴特沃斯特性下）。它的独门之处是电容 $C_A$——它提供反馈来塑造通带边缘附近的响应。二阶 Sallen-Key 的临界频率：

$$f_c=\frac{1}{2\pi \sqrt{R_A{R}_B{C}_A{C}_B}}\text{\hspace{1em}(9-6)}$$

若取等值元件 $R_A=R_B=R$、$C_A=C_B=C$，则简化为熟悉的 $f_c=1/2\pi RC$。

图：基本 Sallen-Key 二阶低通滤波器（原书图 9–10）

和单极点滤波器一样，运放仍作同相放大器，$R_1/R_2$ 负反馈网络决定阻尼系数，从而决定响应特性。例如查表 9–1，二阶巴特沃斯要求 $R_1/R_2=0.586$（DF = 1.414）。

例 9–3

已知：图 9–11 的低通滤波器，$R_A=R_B=1.0\mathrm{k\Omega }$，$C_A=C_B=0.02\mu \mathrm{F}$，$R_2=1.0\mathrm{k\Omega }$。

图：例 9–3 的 Sallen-Key 低通滤波器电路（原书图 9–11）

图：例 9–3 对应的 Multisim 仿真电路（原书图）

求：临界频率 $f_c$，并为近似巴特沃斯响应设置 $R_1$。

解：因为 $R_A=R_B=1.0\mathrm{k\Omega }$，$C_A=C_B=0.02\mu \mathrm{F}$，等值元件公式适用：

$$f_c=\frac{1}{2\pi RC}=\frac{1}{2\pi (1.0\mathrm{k\Omega })(0.02\mu \mathrm{F})}=7.96\mathrm{kHz}$$

巴特沃斯响应要求 $R_1/R_2=0.586$，因此

$$R_1=0.586R_2=0.586\times (1.0\mathrm{k\Omega })=586\Omega$$

选取最接近此计算值的标准阻值即可。（对应 Multisim 仿真文件 F09-11。）

练习：若 $R_A=R_B=R_2=2.2\mathrm{k\Omega }$，$C_A=C_B=0.01\mu \mathrm{F}$，$f_c$ 和巴特沃斯所需的 $R_1$ 各是多少？（答案：$f_c=7.23\mathrm{kHz}$，$R_1=1.29\mathrm{k\Omega }$）

级联低通滤波器获得更高的滚降速率

要三阶（−60 dB/decade）就需要三个极点：把一个二极点低通和一个单极点低通级联，见图 9–12(a)；四个极点则由两个二极点滤波器级联得到，见图 9–12(b)。

图：三阶配置——二极点与单极点低通级联 (a)（原书图 9–12a）

图：四阶配置——两个二极点低通级联 (b)（原书图 9–12b）

例 9–4

已知：图 9–12(b) 的四极点滤波器，所有 RC 网络电阻均为 $1.8\mathrm{k\Omega }$，目标临界频率 $f_c=2680\mathrm{Hz}$。

求：所需的电容值，以及实现巴特沃斯响应的反馈电阻取值。

解：两级必须有相同的 $f_c$。设各级电容等值：

$$f_c=\frac{1}{2\pi RC}\Rightarrow C=\frac{1}{2\pi R{f}_c}=\frac{1}{2\pi (1.8\mathrm{k\Omega })(2680\mathrm{Hz})}=0.033\mu \mathrm{F}$$

即

$$C_{A1}=C_{B1}=C_{A2}=C_{B2}=0.033\mu \mathrm{F}$$

为简单起见取 $R_2=R_4=1.8\mathrm{k\Omega }$。查表 9–1，四阶巴特沃斯：第一级 DF = 1.848，$R_1/R_2=0.152$：

$$R_1=0.152R_2=0.152\times 1800\Omega =274\Omega \Rightarrow \text{取标准值 }{R}_1=270\Omega$$

第二级 DF = 0.765，$R_3/R_4=1.235$：

$$R_3=1.235R_4=1.235\times 1800\Omega =2.22\mathrm{k\Omega }\Rightarrow \text{取标准值 }{R}_3=2.2\mathrm{k\Omega }$$

练习：图 9–12(b) 中若所有滤波电阻为 680 Ω、$f_c=1\mathrm{kHz}$，电容与各反馈电阻应取多少？（答案：$C_{A1}=C_{A2}=C_{B1}=C_{B2}=0.234\mu \mathrm{F}$；$R_2=R_4=680\Omega$，$R_1=103\Omega$，$R_3=840\Omega$）

系统示例 9–1：RFID 系统

图：RFID 系统应用场景（原书图）

射频识别（radio-frequency identification, RFID）系统同时用到模拟与数字信号，广泛用于追踪物品：

• 计量类应用，如电子收费；
• 库存控制与追踪，如商品管理；
• 资产追踪与找回；
• 制造过程中追踪流转的零部件；
• 供应链中的货物追踪。

一个典型 RFID 系统包含：贴在被追踪物体上的 RFID 标签（tag，内含 IC 芯片）、接收标签发来数据的读卡器（reader）、以及对数据进行处理存储的数据处理系统。

图：RFID 系统基本框图（原书图 SE9–1）

数据以数字形式存在标签里；被”询问”时，标签通过无线电把数据发给读卡器。本例采用幅移键控（amplitude shift keying, ASK）：载波信号被数字数据调制，以”突发”形式表示一串 1 和 0。数字波形（图 SE9–2(a)）才是我们真正关心的信号，载波只是帮它传到接收端；(b) 中已调制的信号就是接收机收到的信号。

图：RFID 标签发送的 ASK 调制示例（原书图 SE9–2）

图：RFID 读卡器框图（原书图 SE9–3）

接收机链条的分工：带通滤波器放行 123 kHz 信号、压低高频噪声和其他信号源 → 放大器放大标签来的微弱信号 → 整流器去掉已调信号的负半周 → 低通滤波器滤掉 123 kHz 载波、留下数字调制信号 → 比较器把信号恢复成可用的数字数据流。本例的主角是其中的低通滤波器。

图：Multisim 仿真入口 SE09-03，含 RFID 读卡器完整原理图，可查看每级输出信号（原书图）

低通滤波器原理图见图 SE9–4（元件编号沿用整机电路）。因为 $R_9=R_{10}$、$C_3=C_4$（即 $R=1.1\mathrm{k\Omega }$、$C=10\mathrm{nF}$）：

$$f_c=\frac{1}{2\pi RC}=\frac{1}{2\pi (1.1\mathrm{k\Omega })(10\mathrm{nF})}=14.5\mathrm{kHz}$$

图：RFID 读卡器中的低通滤波器电路（原书图 SE9–4）

14.5 kHz 的截止频率能保住数字信号的基本形状，但上升/下降沿会变差——因为沿跳变恰恰携带最高的频率分量。最后信号送入比较器转换成可用的数字信号，处理器即可据此识别物体。

通关标准：

能画出/认出单极点与 Sallen-Key 低通电路；会用 $f_c=1/2\pi RC$（或式 9–6）和表 9–1 完成完整设计（例 9–3、9–4 的流程要能独立走通）；能解释级联为什么能提高滚降速率。

9–4 有源高通滤波器

高通滤波器与低通相比，唯一的变化是：RC 网络里电阻和电容的位置对调。其余参数（增益公式、DF、级联方式）完全一样。

单极点滤波器

图 9–13(a) 是 −20 dB/decade 滚降的单极点高通有源滤波器：输入端是一个高通 RC 网络，负反馈网络与前面讲过的低通滤波器相同。响应曲线见图 9–13(b)。

图：单极点有源高通滤波器电路 (a)（原书图 9–13a）

图：单极点有源高通滤波器的响应曲线 (b)（原书图 9–13b）

理想高通应该”无上限地”放行 $f_c$ 以上的一切频率（图 9–14(a)），但现实中做不到：运放内部固有的 RC 网络限制了高频响应，所以实际高通在高频端会滚下来——本质上成了一个带宽极宽的带通滤波器（图 9–14(b)）。好在大多数应用中，运放的固有高频限制远高于滤波器的 $f_c$，可以忽略；若确实需要更高的高频上限，可采用**电流反馈运放（current-feedback op-amp）**或分立晶体管作增益元件。

图：理想高通响应——高频端无限延伸 (a)（原书图 9–14a）

图：实际高通响应——受运放固有频率限制 (b)（原书图 9–14b）

Sallen-Key 高通滤波器

二阶 Sallen-Key 高通见图 9–15。$R_A$、$C_A$、$R_B$、$C_B$ 构成两极点频率选择网络——注意电阻和电容的位置与低通版正好相反。和所有滤波器一样，通过恰当选择反馈电阻 $R_1$、$R_2$ 可以优化响应特性。

图：基本 Sallen-Key 二阶高通滤波器（原书图 9–15）

例 9–5

要求：为图 9–15 的 Sallen-Key 高通滤波器选元件值，实现等值元件的二阶巴特沃斯响应，临界频率约 10 kHz。

解：先任意选定 $R_A$、$R_B$（为简单起见 $R_2$ 也可取同一值）：

$$R=R_A=R_B=R_2=3.3\mathrm{k\Omega }\text{（任意选定）}$$

再由 $f_c=1/2\pi RC$ 算电容：

$$C=C_A=C_B=\frac{1}{2\pi R{f}_c}=\frac{1}{2\pi (3.3\mathrm{k\Omega })(10\mathrm{kHz})}=0.0048\mu \mathrm{F}$$

巴特沃斯响应要求 DF = 1.414，即 $R_1/R_2=0.586$：

$$R_1=0.586R_2=0.586\times (3.3\mathrm{k\Omega })=1.93\mathrm{k\Omega }$$

如果当初选定的是 $R_1=3.3\mathrm{k\Omega }$，也可以反过来求 $R_2$：

$$R_2=\frac{R_1}{0.586}=\frac{3.3\mathrm{k\Omega }}{0.586}=5.63\mathrm{k\Omega }$$

两种选法任选其一，取最接近的标准值即可得到近似巴特沃斯响应。

练习：为图 9–15 的高通滤波器选全部元件值，使 $f_c=300\mathrm{Hz}$（等值元件 + 巴特沃斯优化）。（答案：$R_A=R_B=R_2=10\mathrm{k\Omega }$，$C_A=C_B=0.053\mu \mathrm{F}$，$R_1=5.86\mathrm{k\Omega }$）

级联高通滤波器

与低通一样，一阶、二阶高通可以级联以获得三个及以上极点、更快的滚降。图 9–16 是由三个二极点级构成的六极点高通滤波器，按巴特沃斯优化后滚降达 −120 dB/decade。

图：三个二极点级联构成的六极点高通滤波器（原书图 9–16）

常见坑：高通不是"越往高频越通"

理论上高通无限通高频，实际被运放带宽封顶。考试问”高通滤波器的带宽由什么限制”，答案不是 RC 网络，而是运放固有的频率限制。

通关标准：

能把低通 Sallen-Key 电路改画成高通（R、C 对调）；会做例 9–5 的正反两个方向的元件计算；知道要增大 $f_c$ 应当减小 R 或 C。

9–5 有源带通滤波器

带通滤波器放行由下限和上限频率界定的一段频带，拦下带外一切频率。可以把它理解为”低通响应曲线与高通响应曲线的重叠区”。

级联低通 + 高通实现带通

一种实现方式是把高通和低通级联（图 9–17(a)），前提是两个临界频率分得足够开。图中两个滤波器都是二阶 Sallen-Key 巴特沃斯结构，滚降各为 −40 dB/decade，合成响应见图 9–17(b)。

通带的下限 $f_{c1}$ 就是高通的临界频率，上限 $f_{c2}$ 就是低通的临界频率；中心频率 $f_0$ 是两者的几何平均：

$$f_{c1}=\frac{1}{2\pi \sqrt{R_{A1}{R}_{B1}{C}_{A1}{C}_{B1}}}$$ $$f_{c2}=\frac{1}{2\pi \sqrt{R_{A2}{R}_{B2}{C}_{A2}{C}_{B2}}},f_0=\sqrt{f_{c1}{f}_{c2}}$$

当然，若都取等值元件，各临界频率公式简化为 $f_c=1/2\pi RC$。

图：带通响应可视为高通与低通响应曲线的重叠（原书图）

图：两级带通滤波器——二极点高通与二极点低通级联的电路 (a)（原书图 9–17a）

图：级联带通滤波器的合成响应曲线 (b)（原书图 9–17b）

（Multisim 仿真文件 F09-17 演示该两级带通滤波器的工作过程。级联顺序不影响结果——先低通后高通或反之均可。）

多重反馈带通滤波器（Multiple-Feedback）

另一种常见结构是多重反馈（multiple feedback）带通滤波器，见图 9–18：有两条反馈路径，分别经过 $R_2$ 和 $C_1$。其中 $R_1$、$C_1$ 提供低通响应，$R_2$、$C_2$ 提供高通响应。最大增益 $A_0$ 出现在中心频率处。这种滤波器的 Q 通常小于 10。

图：多重反馈带通滤波器（原书图 9–18）

推导中心频率时注意：从 $C_1$ 反馈路径看过去（把输入源 $V_{in}$ 短路），$R_1$ 与 $R_3$ 呈并联关系：

$$f_0=\frac{1}{2\pi \sqrt{(R_1\Vert R_3)R_2{C}_1{C}_2}}$$

取 $C_1=C_2=C$ 后化简为（推导见原书附录 A）：

$$f_0=\frac{1}{2\pi C}\sqrt{\frac{R_1+R_3}{R_1{R}_2{R}_3}}\text{\hspace{1em}(9-7)}$$

设计流程：先选定一个方便的电容值，再按期望的 $f_0$、带宽 BW、增益 $A_0$（注意 $Q=f_0/BW$）算三个电阻：

$$R_1=\frac{Q}{2\pi f_{0}C{A}_0},R_2=\frac{Q}{\pi f_{0}C},R_3=\frac{Q}{2\pi f_{0}C(2Q^2-A_0)}$$

把前两个式子各自解出 Q 并令其相等（$2\pi f_0{A}_{0}C{R}_1=\pi f_{0}C{R}_2$），得到中心频率处的最大增益：

$$A_0=\frac{R_2}{2R_1}\text{\hspace{1em}(9-8)}$$

还有一个隐含约束：$R_3$ 公式的分母必须为正，即 $A_0<2Q^2$——增益不能随便大。

例 9–6

已知：图 9–19 的多重反馈带通滤波器，$R_1=68\mathrm{k\Omega }$，$R_2=180\mathrm{k\Omega }$，$R_3=2.7\mathrm{k\Omega }$，$C=0.01\mu \mathrm{F}$。

图：例 9–6 的多重反馈带通滤波器（原书图 9–19）

求：中心频率、最大增益和带宽。

解：中心频率：

$$f_0=\frac{1}{2\pi C}\sqrt{\frac{R_1+R_3}{R_1{R}_2{R}_3}}=\frac{1}{2\pi (0.01\mu \mathrm{F})}\sqrt{\frac{68\mathrm{k\Omega }+2.7\mathrm{k\Omega }}{(68\mathrm{k\Omega })(180\mathrm{k\Omega })(2.7\mathrm{k\Omega })}}=736\mathrm{Hz}$$

最大增益：

$$A_0=\frac{R_2}{2R_1}=\frac{180\mathrm{k\Omega }}{2\times 68\mathrm{k\Omega }}=1.32$$

品质因数：

$$Q=\pi f_{0}C{R}_2=\pi (736\mathrm{Hz})(0.01\mu \mathrm{F})(180\mathrm{k\Omega })=4.16$$

带宽：

$$BW=\frac{f_0}{Q}=\frac{736\mathrm{Hz}}{4.16}=177\mathrm{Hz}$$

（Multisim 仿真文件 F09-19 演示该电路。）

练习：图 9–19 中 $R_2$ 增大到 330 kΩ，对增益、中心频率和带宽有何影响？（答案：增益增大到 2.43，中心频率降到 544 Hz，带宽降到 96.5 Hz）

系统示例 9–2：RFID 接收机的带通输入滤波器

系统示例 9–1 介绍过 RFID 系统，这次聚焦接收机第一级——多重反馈带通滤波器（框图见图 SE9–5）：中心频率设为 123 kHz 让高频信号通过，带宽设得比较宽。

图：RFID 读取场景与设备（原书图）

图：RFID 读卡器基本框图（原书图 SE9–5）

带通滤波器放行 123 kHz 信号，从而抑制频带外的信号与噪声。滤波器原理图见图 SE9–6（元件编号沿用整机电路），三项指标全部验算如下。

中心频率：

$$f_0=\frac{1}{2\pi C}\sqrt{\frac{R_1+R_3}{R_1{R}_2{R}_3}}=\frac{1}{2\pi (910\mathrm{pF})}\sqrt{\frac{1.3\mathrm{k\Omega }+1.0\mathrm{k\Omega }}{(1.3\mathrm{k\Omega })(3.6\mathrm{k\Omega })(1.0\mathrm{k\Omega })}}=123\mathrm{kHz}$$

品质因数：

$$Q=\pi f_{0}C{R}_2=\pi (123\mathrm{kHz})(910\mathrm{pF})(3.6\mathrm{k\Omega })=1.26$$

带宽：

$$BW=\frac{f_0}{Q}=\frac{123\mathrm{kHz}}{1.26}=97.2\mathrm{kHz}$$

图：RFID 读卡器输入端的多重反馈带通滤波器电路（原书图 SE9–6）

低 Q 是合理的：要完整通过整个信号的谐波成分。可以在 Multisim 里用波特图仪实测该电路的频响。

状态变量带通滤波器（State-Variable）

状态变量滤波器（state-variable filter），又称通用有源滤波器（universal active filter），是带通应用中的常客。如图 9–20，它由**一个求和放大器（summing amplifier）+ 两个运放积分器（integrator，各自等效一个单极点低通滤波器）**级联组成二阶滤波器。虽然主要用作带通（BP），它同时提供低通（LP）和高通（HP）三个输出。中心频率由两个积分器的 RC 网络设定；作带通用时通常让两个积分器的临界频率相等，通带中心频率即由此而定。

图：状态变量带通滤波器（原书图 9–20）

基本工作原理：当输入频率低于 $f_c$ 时，信号穿过求和放大器和积分器后，以 180° 反相被送回求和端——反馈信号与输入信号在 $f_c$ 以下几乎完全抵消；随着积分器的低通响应滚降，反馈信号减弱，输入得以通过到达带通输出；高于 $f_c$ 后，低通响应消失，输入无法穿过积分器。结果就是带通输出在 $f_c$ 处形成尖峰（图 9–21）。这种滤波器可获得高达 100 的稳定 Q 值，Q 由反馈电阻 $R_5$、$R_6$ 设定：

$$Q=\frac{1}{3}\left(\frac{R_5}{R_6}+1\right)$$

图：状态变量滤波器的一般响应曲线（原书图 9–21）

一个重要限制：状态变量滤波器不能同时对低通、高通、带通三种输出做最优。因为优化低通/高通的巴特沃斯响应要求 DF = 1.414，而 $Q=1/DF$，于是 Q 只有 0.707——这么低的 Q 意味着带宽极大、选择性极差的带通输出。要优化带通，就必须把 Q 设高。

例 9–7

已知：图 9–22 的状态变量滤波器，两个积分器均为 $R=1.0\mathrm{k\Omega }$、$C=0.022\mu \mathrm{F}$，反馈电阻 $R_5=100\mathrm{k\Omega }$、$R_6=1.0\mathrm{k\Omega }$。

图：例 9–7 的状态变量带通滤波器（原书图 9–22）

求：带通输出的中心频率 $f_0$、Q 和 BW。

解：对每个积分器：

$$f_c=\frac{1}{2\pi R_4{C}_1}=\frac{1}{2\pi R_7{C}_2}=\frac{1}{2\pi (1.0\mathrm{k\Omega })(0.022\mu \mathrm{F})}=7.23\mathrm{kHz}$$

中心频率近似等于积分器的临界频率：

$$f_0=f_c=7.23\mathrm{kHz}$$ $$Q=\frac{1}{3}\left(\frac{R_5}{R_6}+1\right)=\frac{1}{3}\left(\frac{100\mathrm{k\Omega }}{1.0\mathrm{k\Omega }}+1\right)=33.7$$ $$BW=\frac{f_0}{Q}=\frac{7.23\mathrm{kHz}}{33.7}=215\mathrm{Hz}$$

练习：图 9–22 中若 $R_4=R_6=R_7=330\Omega$（其余元件不变），求 $f_0$、Q 和 BW。（答案：$f_0=21.9\mathrm{kHz}$，Q = 101，BW = 217 Hz；Multisim 仿真文件 F09-22 可验证。）

延伸：微波中继站里的带通滤波器。中继站（repeater）相当于转发台；微波系统靠视距传播，中间有遮挡就收不到。为提高可靠性可用频率分集（frequency diversity）：同一中频信号分别调制两个不同的射频载波 A 和 B，各自经调谐于该载波的带通滤波器后合并上天线；接收端用信道分离器分开两路载波，各自再过一个带通滤波器，下变频回中频后由质量检测电路选出较强的一路送往后级解调与处理——大气对射频信号的衰减往往与具体频率强相关，双载波显著提升可靠性。

常见坑：Q 高低的选择性含义别记反

Q = f₀/BW。Q = 5 和 Q = 25 比，Q = 25 的带宽更窄、选择性更好。另外记住多重反馈滤波器的增益上限 $A_0<2Q^2$，盲目提高增益会让 $R_3$ 变成负值——电路根本做不出来。

通关标准：

会用级联法拼带通（高通的 $f_{c1}$ 在下、低通的 $f_{c2}$ 在上）；会用式 9–7、9–8 算多重反馈滤波器；会算状态变量滤波器的 $f_0$、Q、BW，并能解释”为什么不能三个输出同时最优”。

9–6 有源带阻滤波器

带阻滤波器（band-stop filter）拒绝指定频带内的频率、放行带外一切——响应正好与带通相反。中心频率处增益最小，因此也叫陷波滤波器（notch filter）。

多重反馈带阻滤波器

图 9–23 是多重反馈带阻滤波器：结构与带通版相似，区别是 $R_3$ 的位置被移动、并新增了 $R_4$。

图：多重反馈带阻滤波器（原书图 9–23）

状态变量带阻滤波器

把状态变量滤波器的低通输出与高通输出求和，就得到带阻响应，见图 9–24——LP 和 HP 的响应在带阻中心频率处恰好”互补相消”，带外则二者其一占主导，于是形成凹陷。

图：状态变量带阻滤波器（原书图 9–24）

例 9–8：验证 60 Hz 陷波器

要求：验证图 9–25 的带阻滤波器中心频率为 60 Hz，并优化到 Q = 10。

图：60 Hz 陷波（带阻）滤波器电路（原书图 9–25）

解：$f_0$ 等于积分器级的 $f_c$：

$$f_0=\frac{1}{2\pi R_4{C}_1}=\frac{1}{2\pi R_7{C}_2}=\frac{1}{2\pi (12\mathrm{k\Omega })(0.22\mu \mathrm{F})}=60.3\mathrm{Hz}$$

要得到 Q = 10，可先选定 $R_6$ 再算 $R_5$。由 $Q=\frac{1}{3}\left(\frac{R_5}{R_6}+1\right)$ 反解：

$$R_5=(3Q-1)R_6$$

取 $R_6=3.3\mathrm{k\Omega }$，则

$$R_5=[3\times 10-1]\times 3.3\mathrm{k\Omega }=95.7\mathrm{k\Omega }$$

取最接近的标准值 100 kΩ。

图：Multisim 仿真入口 F09-25，演示该电路作带阻滤波器的工作过程（原书图）

练习：如何把图 9–25 的中心频率改到 120 Hz？（答案：把两个积分器级的输入电阻或反馈电容减半即可。）

开关电容滤波器（Switched-Capacitor）

第 4–7 节介绍过开关电容电路，它同样可用于有源滤波器。相比分立运放方案，单片开关电容 IC 的优势：

• 不需要外部精密电容；
• 截止频率精度极高；
• 温度敏感性低；
• Q、增益等参数只需几个外部电阻即可控制；
• 只需改变外部时钟频率就能在大范围内改变截止频率（因为开关电容等效的”电阻值”随时钟频率变化）。

一个代表产品是 LMF100：内部含两个类似状态变量结构的开关电容滤波块，每块有三个输出（一路可实现全通、高通或带阻，另两路实现带通和低通）；配合 2～4 个外部电阻和一个外部时钟，每块可实现一阶或二阶滤波器；级联两个块可得四阶滤波器，级联多片 IC 可得更高阶。时钟 3.5 MHz 时最大截止频率 100 kHz，精度 ±0.2%；$f_0\times Q$ 范围高达 1.8 MHz，意味着即使在 100 kHz 下 Q 也不低于 18。巴特沃斯、贝塞尔、切比雪夫等基本特性都可以实现。

常见坑：带阻 = 带通的反相，但电路不是"反过来接"

带通改成多重反馈带阻要把 $R_3$ 移位并加 $R_4$；状态变量带通改成带阻则要把 LP 与 HP 输出求和。不是简单把输出取反就完事。

通关标准：

能说清带阻与带通的响应区别；知道状态变量滤波器”LP+HP 求和 = 带阻”这一招；会做例 9–8 的 $f_0$ 验算与 Q 设计；知道开关电容滤波器改截止频率靠改时钟频率。

9–7 滤波器响应的测量

怎么知道一块滤波器的实际频响？两种办法：离散点测量（discrete point measurement）和扫频测量（swept frequency measurement）。

离散点测量

用普通实验室仪器（信号发生器 + 电压表/示波器）逐点测，见图 9–26。流程：

1. 把正弦波发生器的幅度设为所需电压；
2. 把频率设到远低于被测滤波器预期临界频率处（低通滤波器尽量靠近 0 Hz；带通滤波器则远低于预期下限频率）；
3. 按预设步进逐步升高频率，保证数据点足够画出准确的响应曲线；
4. 整个过程中保持输入幅度恒定；
5. 记录每个频率点的输出电压；
6. 点够了以后，绘制输出电压—频率关系图。

若待测频率超过万用表（DMM）的响应范围，就得改用示波器读数。

图：滤波器响应离散点测量的测试配置，读数为示意（原书图 9–26）

扫频测量

扫频法设备更讲究，但效率高得多，曲线也更准确。图 9–27(a) 用扫频发生器（swept frequency generator）+ 频谱分析仪（spectrum analyzer）；图 9–27(b) 则用示波器替代频谱仪。

扫频发生器输出幅度恒定、频率在两个预设限值之间线性递增的信号。频谱仪的横轴按”频率/格”（frequency span/division）而非”时间/格”校准，于是当扫过预选频段时，响应曲线就直接被”描”在屏幕上。用示波器的方案（b）则把示波器置于 X-Y 模式，由扫频发生器输出的锯齿波驱动 X 通道。

图：用频谱分析仪测滤波器响应的配置 (a)（原书图 9–27a）

图：用 X-Y 模式示波器测滤波器响应的配置，扫频发生器的锯齿波驱动 X 通道 (b)（原书图 9–27b）

系统示例 9–3：FM 立体声接收机的滤波板

图：FM 立体声接收机的滤波电路板（原书图）

FM 立体声接收机要处理的无线电信号叫多路复用信号（multiplex signal）。本例聚焦作为声道分离电路一部分的滤波板。

背景：立体声 FM 广播诞生于 20 世纪 50 年代末，当时还有大量单声道收音机，所以立体声广播必须与单声道兼容。为此立体声 FM 信号把左右声道编码为和信号 (L + R) 与差信号 (L − R)：单声道收音机只取 L + R 用单喇叭放音；立体声接收机则用 (L+R)+(L−R)=2L 恢复左声道、(L+R)−(L−R)=2R 恢复右声道。

系统简述：立体声 FM（frequency modulation，频率调制）信号在 88–108 MHz 载频上发射，标准立体声信号含三个调制分量：30 Hz–15 kHz 的 L+R 音频、以 38 kHz 为中心、占 23 kHz–53 kHz 两个边带的 L−R 信号、以及 19 kHz 导频副载波（pilot subcarrier），见图 SE9–7。

图：FM 立体声接收机框图（原书图 SE9–7）

解调器用倍频后的 19 kHz 副载波从 23–53 kHz 边带中提取音频，得到的 30 Hz–15 kHz L−R 基带信号再经滤波；L+R 与 L−R 音频送入矩阵（matrix）的求和电路产生左右声道音频。本例的重点是滤波器。

声道分离电路（图 SE9–8）里有四个滤波器——两个低通、两个带通：

• IC1（低通）：只放行 30 Hz–15 kHz 的 L+R 信号，送入两个反相求和放大器 IC6、IC8；
• IC2 + IC4（级联的二极点低通与高通构成的带通）：只放行 L−R 信号边带；
• IC3（多重反馈带通）：只放行 19 kHz 导频副载波，供解调器倍频后从边带提取 L−R 基带信号；
• IC5（低通）：滤除 L−R 基带信号的谐波，输出送入和差放大器；
• IC6 求和输出为 −2L；反相放大器 IC7 把 L−R 反相，使求和放大器 IC8 变成差分（减法）电路，输出 −2R。IC6、IC7、IC8 三者合称矩阵。

图：左右声道分离电路（原书图 SE9–8）

通关标准：

能复述两种测量方法的流程与优缺点——离散点法设备简单但繁琐、覆盖不完整；扫频法设备昂贵但高效、更准确完整。

本章小结与关键公式

核心结论：

• 低通滤波器的带宽等于临界频率（响应延伸到 0 Hz）；高通滤波器的带宽从 $f_c$ 向上延伸，只受有源电路固有频率限制。
• 带通滤波器放行 $f_{c1}$ 与 $f_{c2}$ 之间的频带，带宽 $BW=f_{c2}-f_{c1}$；带阻滤波器则相反，拒绝带内、放行带外。
• 巴特沃斯：通带极平坦，−20 dB/decade/pole，适合通带内增益必须一致的场合。
• 切比雪夫：通带有波纹/过冲，但每极点滚降比巴特沃斯快。
• 贝塞尔：线性相位、脉冲波形失真最小，适合滤波脉冲信号；每极点滚降比巴特沃斯慢。
• 术语上，一个 RC 网络就是一个极点；巴特沃斯滤波器每个极点贡献 −20 dB/decade 滚降。
• 带通滤波器的 Q 决定选择性：Q 越高、带宽越窄、选择性越好。
• 阻尼系数决定响应特性（巴特沃斯/切比雪夫/贝塞尔）。

关键公式表：

公式	编号	含义
$BW=f_c$	(9–1)	低通带宽
$BW=f_{c2}-f_{c1}$	(9–2)	带通滤波器带宽
$f_0=\sqrt{f_{c1}{f}_{c2}}$	(9–3)	带通滤波器中心频率
$Q=\frac{f_0}{BW}$	(9–4)	带通滤波器品质因数
$DF=2-\frac{R_1}{R_2}$	(9–5)	阻尼系数
$f_c=\frac{1}{2\pi \sqrt{R_A{R}_B{C}_A{C}_B}}$	(9–6)	二阶 Sallen-Key 临界频率
$f_0=\frac{1}{2\pi C}\sqrt{\frac{R_1+R_3}{R_1{R}_2{R}_3}}$	(9–7)	多重反馈滤波器中心频率
$A_0=\frac{R_2}{2R_1}$	(9–8)	多重反馈滤波器中心频率处增益

关键术语（英文原词备查）：带通滤波器（band-pass filter）、带阻滤波器（band-stop filter）、临界频率/截止频率（critical frequency / cutoff frequency）、阻尼系数（damping factor, DF）、滤波器（filter）、高通滤波器（high-pass filter）、低通滤波器（low-pass filter）、阶数（order，即极点数）、极点（pole，一个电阻一个电容构成的贡献 −20 dB/decade 的网络）、滚降（roll-off，临界频率之上或之下增益的下降速率）。

习题与扩展配图

以下为原书自测题（Self-Test）、排障测验（Troubleshooter’s Quiz）与课后习题（Problems）部分的配图，供对照练习使用。

图：排障测验入口图（原书图）

9–1 节习题（图 9–28）：辨认四种滤波器响应类型；已知低通 $f_c=800\mathrm{Hz}$ 求 BW；单极点高通 $R=2.2\mathrm{k\Omega }$、$C=0.0015\mu \mathrm{F}$ 求 $f_c$；带通 $f_{c1}=3.2\mathrm{kHz}$、$f_{c2}=3.9\mathrm{kHz}$ 求 BW 与 Q；已知 Q = 15、BW = 1.0 kHz 求 $f_0$。

图：习题 9–28 响应曲线 (a)（原书图）

图：习题 9–28 响应曲线 (b)（原书图）

图：习题 9–28 响应曲线 (c)（原书图）

图：习题 9–28 响应曲线 (d)（原书图 9–28d）

图：习题 9–28 汇总图（原书图 9–28）

9–2 节习题（图 9–29）：求各滤波器的阻尼系数并判断哪些近似巴特沃斯；对非巴特沃斯的给出改法；再据图 9–30 的二阶滤波器响应曲线辨认巴特沃斯/切比雪夫/贝塞尔。

图：习题 9–29 电路 (b)（原书图）

图：习题 9–29 电路 (a)（原书图 9–29a）

图：习题 9–30 二阶滤波器响应曲线 (a)（原书图）

图：习题 9–30 二阶滤波器响应曲线 (b)（原书图）

图：习题 9–30 二阶滤波器响应曲线 (c)（原书图 9–30）

图：习题 9–30 二阶滤波器响应曲线 (d)（原书图 9–30d）

9–3 节习题（图 9–31）：判断四极点滤波器是否近似巴特沃斯、求滚降速率与临界频率；改为等值元件方案；把滚降提高到 −120 dB/decade 并保持巴特沃斯；再用框图法用单极点/二极点滤波器拼出 −40、−20、−60、−100、−120 dB/decade。

图：习题 9–31 的四极点低通滤波器（原书图 9–31）

9–4 节习题（图 9–32）：把习题 12 的等值滤波器改成同临界频率的高通；再把临界频率减半；针对图 9–32 回答如何增大 $f_c$、如何增大增益。

图：习题 9–32 的高通滤波器电路（原书图 9–32）

9–5 节习题（图 9–33、9–34）：辨认各带通滤波器结构；求各自的中心频率与带宽；把图 9–34 的状态变量滤波器优化到 Q = 50 并求带宽。

图：习题 9–33 带通滤波器 (a)（原书图）

图：习题 9–33 带通滤波器 (b)（原书图）

图：习题 9–33 带通滤波器 (c)（原书图）

9–6 节习题（图 9–34）：用图 9–34 的基本电路构造陷波（带阻）滤波器；再改其中心频率为 120 Hz。

图：习题 9–34 的状态变量滤波器（原书图 9–34）

图：习题 9–34 配套电路图（原书图）

自测题（Self-Test）参考答案：1(c) 2(d) 3(a) 4(b) 5(c) 6(c) 7(b) 8(a) 9(d) 10(b) 11(a) 12(c) 13(b) 14(d)。排障测验参考答案：1 decrease；2 not change；3 not change；4 decrease；5 increase；6 not change；7 decrease；8 not change；9 increase；10 decrease；11 increase；12 decrease。

附录 切片末尾的第10章配图

本次解析切片的末尾附带了第 10 章（振荡器与定时器）开头的两张插图，图片路径仍归在 ch09 目录下，为保持图片引用完整一并保留于此，供后续第 10 章笔记使用。

图：基本振荡器概念及三种常见输出波形（原书图 10–1，属第 10 章）

图：反馈振荡器的基本组成（原书图 10–2，属第 10 章）

自测 1：巴特沃斯、切比雪夫、贝塞尔三种响应各适合什么场合？各自的滚降特点是什么？

巴特沃斯：通带最大平坦、每极点 −20 dB/decade、相位非线性有过冲，适合通带内增益必须一致的场合；切比雪夫：通带有波纹但每极点滚降快于 −20 dB/decade，适合需要陡峭滚降且不在乎平坦度的场合；贝塞尔：线性相位、脉冲失真最小但滚降更慢，适合滤波脉冲波形。

[!question]- 自测 2：二阶巴特沃斯滤波器的 DF 和 $R_1/R_2$ 各是多少？通带增益是多少？

DF = 1.414；$R_1/R_2=2-1.414=0.586$；闭环增益 $A_{cl(NI)}=R_1/R_2+1=1.586$。

[!question]- 自测 3：Sallen-Key 低通滤波器 $R_A=R_B=R=1.0\mathrm{k\Omega }$、$C_A=C_B=C=0.02\mu \mathrm{F}$，$f_c$ 是多少？

等值元件时 $f_c=1/2\pi RC=1/(2\pi \times 1000\times 0.02\times 10^{-6})\approx 7.96\mathrm{kHz}$。

[!question]- 自测 4：把三个二极点高通和一个单极点高通级联，总滚降速率是多少？

共 7 个极点，每极点 −20 dB/decade，总滚降 −140 dB/decade。

[!question]- 自测 5：一个带通滤波器 Q = 5，另一个 Q = 25，哪个带宽更窄？状态变量滤波器由哪些部分组成？

Q = 25 的带宽更窄（Q = f₀/BW，Q 越大 BW 越小、选择性越好）。状态变量滤波器由一个求和放大器和两个运放积分器组成，另有 LP、BP、HP 三个输出。