📘 第 9 章：有源滤波器

这一篇在干嘛？

这一章讲有源滤波器（active filter）：用运算放大器（operational amplifier, op-amp）加上电阻电容网络，把”放行某些频率、拦下另一些频率”这件事做得又稳又好。你会认识四种滤波器（低通、高通、带通、带阻）、三种响应”性格”（巴特沃斯、切比雪夫、贝塞尔），以及两个核心设计参数——阻尼系数和极点数，最后通过 RFID 接收机、FM 立体声收音机等真实系统例子看到滤波器到底怎么用。

本章导航

• 9–1 基本滤波器响应
• 9–2 滤波器响应特性
• 9–3 有源低通滤波器
• 9–4 有源高通滤波器
• 9–5 有源带通滤波器
• 9–6 有源带阻滤波器
• 9–7 滤波器响应的测量
• 本章小结与关键公式
• 习题与扩展配图
• 附录 切片末尾的第10章配图

9–1 基本滤波器响应

**滤波器（filter）**是一种”频率安检门”：让某些频段的信号顺利通过，同时衰减或拦截其他频段。按通行方向分四种：

类型	通过什么	拦下什么	生活类比
低通滤波器（low-pass filter）	临界频率 $f_c$ 以下的频率	高于 $f_c$ 的频率	只放行”低音”的门
高通滤波器（high-pass filter）	$f_c$ 以上的频率	低于 $f_c$ 的频率	只放行”高音”的门
带通滤波器（band-pass filter）	下限 $f_{c1}$ 到上限 $f_{c2}$ 之间的频带	频带外的所有频率	只放行”中音”的门
带阻滤波器（band-stop filter）	频带外的所有频率	频带内的频率（如 50 Hz 工频干扰）	专门拦”某一段”的门

描述一个滤波器，最核心的词是临界频率（critical frequency，也叫截止频率 cutoff frequency）——通带的边界；以及带宽（bandwidth, BW）——通带的宽度。

• 对低通滤波器：响应从 0 Hz 一直延续到 $f_c$，所以它的带宽就等于临界频率：

$$BW=f_c\text{\hspace{1em}(9-1)}$$

• 对带通滤波器：带宽是上、下两个临界频率之差：

$$BW=f_{c2}-f_{c1}\text{\hspace{1em}(9-2)}$$

• 带通滤波器的中心频率（center frequency） $f_0$ 理想上取两个临界频率的几何平均：

$$f_0=\sqrt{f_{c1}{f}_{c2}}\text{\hspace{1em}(9-3)}$$

• 衡量带通滤波器”挑频”能力的是品质因数（quality factor, Q）：

$$Q=\frac{f_0}{BW}\text{\hspace{1em}(9-4)}$$

$Q$ 越大，带宽越窄，选择性越好。此外还有一种全通滤波器（all-pass filter）：它让所有频率都通过，但对不同频率引入不同的相移——专门用来”调相位”而不动幅度。

常见坑：低通滤波器的带宽别再"减"了

低通滤波器通带从 0 Hz 开始，因此 $BW=f_c$，不需要也不能再做减法。只有带通、带阻这类”有下限”的滤波器才用 $BW=f_{c2}-f_{c1}$。把这两个公式混用是初学阶段最典型的丢分点。

通关标准：

给你任何一个滤波器，你能说出它放行哪个频段；给出 $f_{c1}$、$f_{c2}$ 能算出 BW、$f_0$ 和 Q，这一节就算过了。

9–2 滤波器响应特性

同样是低通滤波器，“过渡带”可以做得平缓也可以做得陡峭，通带内可以平坦也可以有波纹——这些差别就是滤波器的响应特性（response characteristic）。靠选择元件参数，任何一种滤波器（低通/高通/带通/带阻）都可以被设计成三种性格之一：巴特沃斯（Butterworth）、切比雪夫（Chebyshev）或贝塞尔（Bessel）。

图：三种滤波器响应特性的低通响应曲线对比（原书图 9–5）

巴特沃斯特性（Butterworth）

• 通带内幅度响应非常平坦，因此又被称为最大平坦响应（maximally flat response）；
• 每个极点的滚降速率为 −20 dB/十倍频（−20 dB/decade/pole）；
• 缺点：相位响应非线性——不同频率分量穿过滤波器时延时不同，于是脉冲信号的上升/下降沿会出现过冲（overshoot）。

适用场景：通带内所有频率必须获得相同增益的场合。它是最常用、也是本章后续所有设计示例默认的特性。

切比雪夫特性（Chebyshev）

• 滚降速率快于 −20 dB/decade/pole，想要同样的陡峭度可以用更少的极点、更简单的电路；
• 代价：通带内出现波纹（ripple）或过冲（取决于极点数），相位非线性比巴特沃斯更严重。

适用场景：需要快速滚降、又不在乎通带平坦度的场合。

贝塞尔特性（Bessel）

• 相位随频率线性变化，因此脉冲输入几乎不过冲；
• 滚降速率比巴特沃斯慢（每个极点不足 −20 dB/decade）。

适用场景：滤波脉冲波形而不失真。比如数字信号的整形通道，用贝塞尔就不会把方波的棱角”揉圆”。

阻尼系数（Damping Factor, DF）

一个有源滤波器呈现哪种特性，由阻尼系数（damping factor, DF）决定。看图 9–6 这个通用模型：它由频率选择网络（RC 网络）+ 同相放大器 + 负反馈网络组成，阻尼系数就藏在负反馈网络里：

$$DF=2-\frac{R_1}{R_2}\text{\hspace{1em}(9-5)}$$

图：有源滤波器的通用框图，注意 $R_1$ 对应第 6 章的 $R_f$、$R_2$ 对应 $R_i$（原书图 9–6）

直观理解：输出一旦想”冒尖”，负反馈立刻把它按回来；DF 设得精准，通带响应曲线就被”压”得平平的。通过高等数学推导（本书不展开），要实现二阶巴特沃斯响应，DF 必须等于 1.414。由式 (9–5) 反推反馈电阻比：

$$\frac{R_1}{R_2}=2-DF=2-1.414=0.586$$

而这个电阻比同时就是同相放大器的闭环增益：

$$A_{cl(\mathrm{NI})}=\frac{1}{B}=\frac{1}{R_2/(R_1+R_2)}=\frac{R_1+R_2}{R_2}=\frac{R_1}{R_2}+1=0.586+1=1.586$$

即二阶巴特沃斯滤波器的通带增益固定为 1.586 倍。

常见坑： $R_1/R_2$ 谁除以谁别搞反

DF = 2 − R₁/R₂ 中，$R_1$ 是反馈电阻（对应第 6 章的 $R_f$），$R_2$ 是输入电阻（对应 $R_i$）。把比值写反，增益和 DF 全错。记住：比值 0.586 < 1，说明反馈电阻要比输入电阻小。

例 9–2

已知：图 9–6 类型的二极点（两阶）有源滤波器，负反馈网络中 $R_2=10\mathrm{k\Omega }$。求：要获得最大平坦的巴特沃斯响应，$R_1$ 应取多少？

解：二阶巴特沃斯要求 $R_1/R_2=0.586$，所以

$$R_1=0.586R_2=0.586\times (10\mathrm{k\Omega })=5.86\mathrm{k\Omega }$$

选最接近的标准 5% 精度阻值 5600 Ω，即可非常接近理想巴特沃斯响应。

练习：若 $R_2=10\mathrm{k\Omega }$、$R_1=5.6\mathrm{k\Omega }$，阻尼系数是多少？（答案：DF = 2 − 5.6/10 = 1.44）

临界频率与滚降速率

临界频率由 RC 网络的元件值决定。对单极点（一阶）滤波器（图 9–7）：

$$f_c=\frac{1}{2\pi RC}$$

图：一阶（单极点）低通滤波器（原书图 9–7）

（低通、高通的 $f_c$ 公式相同。）极点（pole）数决定滚降速率：巴特沃斯响应每个极点贡献 −20 dB/decade，所以一阶 −20、二阶 −40、三阶 −60 dB/decade，以此类推。

想要三个及以上极点，就靠级联（cascade）：三阶 = 二阶 + 一阶；四阶 = 二阶 + 二阶……级联中的每一级称为一个级/段（stage 或 section）。

图：通过级联增加滤波器的极点数（原书图 9–8）

因为巴特沃斯最常用，本章后续都用它演示。下表（原书表 9–1）给出最高六阶巴特沃斯滤波器的滚降速率、各级阻尼系数与反馈电阻比——设计时直接查表即可：

阶数	滚降 dB/decade	第1级 极点	第1级 DF	第1级 $R_1/R_2$	第2级 极点	第2级 DF	第2级 $R_3/R_4$	第3级 极点	第3级 DF	第3级 $R_5/R_6$
1	−20	1	可选	—
2	−40	2	1.414	0.586
3	−60	2	1.00	1	1	1.00	1
4	−80	2	1.848	0.152	2	0.765	1.235
5	−100	2	1.00	1	2	1.618	0.382	1	0.618	1.382
6	−120	2	1.932	0.068	2	1.414	0.586	2	0.518	1.482

常见坑：高阶滤波器的各级 DF 不一样

四阶滤波器不是”两级都取 DF = 1.414”，而是第一级 1.848、第二级 0.765（查表 9–1）。每一级的反馈电阻比也不同（0.152 和 1.235）。照抄二阶公式到高阶电路是高频错误。

通关标准：

能说清三种特性的优缺点与适用场景；给定阶数能查表 9–1 得到各级 DF 和电阻比；给定 $R_2$ 能算出 $R_1$。

9–3 有源低通滤波器

先回答”为什么要’有源’“。相比只用 R、L、C 的无源滤波器，用运放做有源元件有四大好处：

1. 提供增益——信号穿过滤波器不被衰减；
2. 高输入阻抗——不会过分加重前级信号源的负担；
3. 低输出阻抗——后级负载不影响滤波器本身的响应；
4. 容易调谐——可在宽频率范围内调整而不破坏预期响应。

单极点滤波器

图 9–9(a) 是只有一个低通 RC 网络的有源滤波器，$f_c$ 以上滚降 −20 dB/decade，响应曲线见图 9–9(b)。运放接成同相放大器（noninverting amplifier），通带增益由 $R_1$、$R_2$ 决定：

$$A_{cl(\mathrm{NI})}=\frac{R_1}{R_2}+1$$

图：Multisim 仿真入口 F09-09，用波特图仪测单极点低通有源滤波器的频率与相位响应（原书图）

图：单极点有源低通滤波器电路 (a)（原书图 9–9a）

图：单极点有源低通滤波器的响应曲线 (b)（原书图 9–9b）

Sallen-Key 低通滤波器

Sallen-Key 结构（也叫 VCVS，压控电压源滤波器）是最常见的二阶（两极点）滤波器电路之一，见图 9–10。它包含两个低通 RC 网络：$R_A{C}_A$ 和 $R_B{C}_B$，在 $f_c$ 以上提供 −40 dB/decade 滚降（巴特沃斯特性下）。它的独门之处是电容 $C_A$——它提供反馈来塑造通带边缘附近的响应。二阶 Sallen-Key 的临界频率：

$$f_c=\frac{1}{2\pi \sqrt{R_A{R}_B{C}_A{C}_B}}\text{\hspace{1em}(9-6)}$$

若取等值元件 $R_A=R_B=R$、$C_A=C_B=C$，则简化为熟悉的 $f_c=1/2\pi RC$。