第14章 能量法：应变能与卡氏定理

这一篇在干嘛？

前面各章算变形靠挠曲线微分方程，积分又长又容易错。本章换一个视角：外力做的功储存在构件里成了应变能（strain energy）。围绕 $U_e=U_i$ 这条能量账本，发展出能量守恒法、冲击载荷分析、虚功法和卡氏定理四大工具——特别是后两个，能一次性算出结构上任意点的位移和转角。

14.1 外力功与应变能

力做的功

力在沿自身方向的位移上做功。关键区分两种加载情形（对应图14-1）：

• 渐加载荷（力从 0 缓慢增大到 P，位移线性增长到 Δ）：功等于 P–Δ 图下的三角形面积：

$$U_e=\frac{1}{2}P\Delta \text{\hspace{1em}(14-2)}$$

• 常力做功（力 P 已经在杆上，另一个力 P′ 使杆又多位移了 Δ′）：原有的力 P 是”全额”做功：

$$U_e^{\prime }=P{\Delta }^{\prime }\text{\hspace{1em}(14-3)}$$

这个 ½ 的差别在后面虚功法和卡氏定理的推导中反复出现，是理解能量法的钥匙。

图14-1 渐加载荷的功为三角形面积（½PΔ），已加载荷再位移则为矩形面积（PΔ′）

力偶矩 M 做功对应的是角位移 θ：渐加时 $U_e=\frac{1}{2}M\theta$，常力偶再转则 $U_e^{\prime }=M{\theta }^{\prime }$。

应变能：存在材料里的功

载荷对弹性体做的外功，若不以热、声等形式损失，就全部转化为储存于体内的应变能 $U_i$。对体积微元分别推导正应力和剪应力的贡献：

$$U_i={\int }_V\frac{{\sigma }^2}{2E}dV\text{\hspace{1em}(14-8)}$$ $$U_i={\int }_V\frac{{\tau }^2}{2G}dV\text{\hspace{1em}(14-11)}$$

图14-3 正应力对体积微元做功：$d{U}_i=\frac{1}{2}\sigma ϵdV$

注意两点：应变能恒为正（压应力做功也是正的，因为 σ 与 ε 同向）；由于能量是标量，复杂应力状态（式14-12、14-14 用主应力表达）可以直接把各分量贡献相加，不存在”方向抵消”。

14.2 四种基本变形的应变能公式

把式(14-8)/(14-11)按内力 N、V、M、T 改写，得到四个”工作公式”。这是全章的弹药库，必须熟练：

内力类型	应变能公式	恒载（N、T 常数）情形
轴力 N	$U_i={\int }_0^L\frac{N^2}{2AE}dx$ (14-15)	$U_i=\frac{N^{2}L}{2AE}$ (14-16)
弯矩 M	$U_i={\int }_0^L\frac{M^2}{2EI}dx$ (14-17)	—
剪力 V	$U_i={\int }_0^L\frac{f_s{V}^2}{2GA}dx$ (14-19)	—
扭矩 T	$U_i={\int }_0^L\frac{T^2}{2GJ}dx$ (14-21)	$U_i=\frac{T^{2}L}{2GJ}$ (14-22)

其中 $f_s$ 是剪切形状系数（无量纲，矩形截面 $f_s=6/5$）。

图14-9 弯曲应变能推导：对截面上的应力二次方积分

剪切应变能为什么可以忽略？

对均布载荷悬臂梁做对比（原书例14.4的结论）：剪切与弯曲应变能之比约为 $2(a/L{)}^2(E/G)$。即使短到 $L=5a$，剪切贡献也只有弯曲的 8%。所以除了又短又粗的梁，梁的剪切应变能一律忽略——这个约定贯穿本章。

图14-15 扭转应变能：$\tau =T\rho /J$ 对截面积分得极惯性矩 J

还有一个反直觉的规律：直径越大的轴，吸能能力反而越差（因为 J 增大使 $T^{2}L/2GJ$ 减小）。同理，截面小的区段才是”吸能主力”。

例题精选

例14-1（原书 Example 14.1）：两根高强度钢螺栓用于承受突加拉伸载荷，$E_{st}=29\times 10^3$ ksi，${\sigma }_Y=44$ ksi。螺栓 A：长 2 in 的光杆段直径 0.875 in，螺纹段（长 0.25 in）根径 0.731 in；螺栓 B：“墩粗”设计，全长 2.25 in 直径都是 0.731 in。问哪个螺栓吸收冲击能量更强？

解：最大载荷由最小截面控制（屈服限制在 0.731 in 段）：

$$P_{max}={\sigma }_{Y}A=44\left[\pi {\left(\frac{0.731}{2}\right)}^2\right]=18.47\text{kip}$$

螺栓 A（分两段求和，式14-16）：

$$U_i=\sum \frac{N^{2}L}{2AE}=\frac{(18.47{)}^2(2)}{2[\pi (0.875/2{)}^2][29(10^3)]}+\frac{(18.47{)}^2(0.25)}{2[\pi (0.731/2{)}^2][29(10^3)]}=0.0231\text{in⋅kip}$$

螺栓 B（全长均匀小截面）：

$$U_i=\frac{(18.47{)}^2(2.25)}{2[\pi (0.731/2{)}^2][29(10^3)]}=0.0315\text{in⋅kip}$$

结论：螺栓 B 多吸收 37% 的能量。道理在式(14-16)里：$U_i\propto L/A$，粗段虽然应力低，但 A 大导致吸能效率低；让全长都工作在小截面高应力状态，才最”能装”能量。这就是缓冲、抗冲击连接件要设计成等强度细长形状的原因。

14.3 能量守恒法：简单但有硬伤

对缓慢加载的弹性体，外功全部转为应变能：

$$U_e=U_i\text{\hspace{1em}(14-23)}$$

用于求加载点沿载荷方向的位移：

• 桁架（单点受力 P，求该点位移 Δ）：

$$\frac{1}{2}P\Delta =\sum \frac{N^{2}L}{2AE}\text{\hspace{1em}(14-24)}$$

• 梁（受集中力 P 或力偶 $M_0$，忽略剪切）：

$$\frac{1}{2}P\Delta ={\int }_0^L\frac{M^2}{2EI}dx,\frac{1}{2}{M}_0\theta ={\int }_0^L\frac{M^2}{2EI}dx\text{\hspace{1em}(14-25, 14-26)}$$

图14-18 桁架单点加载：外功 ½PΔ 等于各杆应变能之和

原书例14.6用此法求三杆桁架加载点水平位移：$\frac{1}{2}(5){\Delta }_B=\sum N^{2}L/2AE$，解得 ${\Delta }_B=47.32/(AE)=0.0979$ in。

常见坑：能量守恒法只能算"一个载荷对应自己那个位移"

这是本方法的天花板：结构上若有两个以上外力，外功里就有多个未知位移，而能量方程只有一条，解不开。而且它只能求加载点、沿载荷方向的位移——想求别的点、别的方向，就无能为力。这正是虚功法登场的理由。

14.4 冲击载荷：动载放大系数

坠块-弹簧模型

重 W 的物块从高 h 自由下落，砸中刚度 k 的弹簧，压出最大位移 ${\Delta }_{max}$。用能量守恒（重力做功 = 弹簧储能）：

$$W(h+{\Delta }_{max})=\frac{1}{2}k{\Delta }_{max}^2$$