第06章 弯曲：梁的正应力与截面设计

这一篇在干嘛？

梁受横向载荷时内部会产生弯矩 $M$，弯矩在横截面上引起正应力 $\sigma$。这一章先回顾剪力图/弯矩图画法，再推导弹性弯曲的核心公式 $\sigma =Mc/I$，最后处理不对称弯曲、组合材料梁、曲梁、应力集中和塑性弯曲等工程实际情形。目标是：给你任一根梁，你能算出它最危险处的弯曲应力，并据此设计截面。

6.1 剪力图与弯矩图回顾

梁的分类与符号约定

垂直于轴线承受载荷的细长杆件称为梁（beam）。按支承方式分为：简支梁（simply supported，一端铰支一端滚支）、悬臂梁（cantilevered，一端固定一端自由）、外伸梁（overhanging，端部伸出支座之外）。

图 6-1 梁的三种常见支承形式（正内力矩下的符号约定）

设计梁时必须知道剪力 $V$ 和弯矩 $M$ 沿轴线如何变化，才能找到最大值位置。做法是：把 $V$、$M$ 写成位置坐标 $x$ 的函数并绘图，即剪力图和弯矩图。载荷不连续处（集中力、集中力偶、分布载荷起止点）函数会突变或斜率突变，因此要在每两个不连续点之间分段设立坐标（如 $x_1,x_2,x_3$ 各管一段）。

图 6-3 梁的正负号约定：分布载荷向上为正；剪力使微段顺时针转动为正；弯矩使顶部纤维受压（“能盛水”）为正

解题流程：

1. 求支座反力，分解到垂直/平行梁轴方向；
2. 分段取 $x$，在每段内截开梁、画 left segment 的受力图，$V$ 和 $M$ 按正方向画出；
3. 对截开端列 $\Sigma F_y=0$ 求 $V$；对截开端列 $\Sigma M=0$ 求 $M$（对截面取矩可消去 $V$）；
4. 逐段绘制 $V$-$x$、$M$-$x$ 图，正值画在轴上方。

6.2 画剪力弯矩图的图形法（载荷-剪力-弯矩关系）

函数法在载荷复杂时很繁琐，更快的办法是基于两组微分关系。对梁上无集中载荷处取微段 $\Delta x$，由平衡方程取极限得：

$$\frac{dV}{dx}=w$$

剪力图的斜率 = 分布载荷集度（$w$ 向上为正）。白话：载荷越密、方向朝下，剪力图就往下斜得越快。

$$\frac{dM}{dx}=V$$

弯矩图的斜率 = 剪力。白话：剪力为正的地方弯矩图上坡，剪力为零的地方弯矩取极值——这是找 $M_{\max }$ 的关键。

把两式积分，得到面积法：

$$\Delta V=\int wdx\Delta M=\int Vdx$$

即：两点间剪力的变化 = 该区间载荷图的面积；弯矩的变化 = 该区间剪力图的面积。

图 6-9 由 $w$ 的分布推断 $V$ 图斜率、再由 $V$ 推断 $M$ 图斜率

在集中力和集中力偶作用点处：

$$\Delta V=F\Delta M=M_0$$

集中力 $F$ 向上则剪力图向上跳 $F$；集中力偶 $M_0$ 顺时针则弯矩图向上跳 $M_0$。

一个重要的规律：若 $w$ 是 $n$ 次曲线，则 $V$ 是 $n+1$ 次、$M$ 是 $n+2$ 次。均布载荷（0 次）→ 剪力线性 → 弯矩抛物线；三角形载荷（1 次）→ 剪力抛物线 → 弯矩三次曲线。

常见坑：

• $V=0$ 处才是弯矩极值点，别把弯矩图画成对称或想当然；
• 集中力偶处弯矩图跳变、但剪力图不受影响；集中力处剪力图跳变、弯矩图只变斜率不跳变；
• 用面积法求 $\Delta M$ 时，剪力图面积有正负（轴上方为正、下方为负），直接累加别漏符号；
• 分段坐标 $x$ 的原点始终放在梁左端，表达式只在所属区段内有效。

例题 1（原书例 6.1） 梁左端受向上反力 $6\mathrm{kN}$，全跨作用向下的分布载荷 $w=3kN/m$。取左段长 $x$，分布载荷合力为 $3x\mathrm{kN}$、作用在 $x/2$ 处：

$$+\uparrow \Sigma F_y=0:6-3x-V=0\Rightarrow V=(6-3x)\mathrm{kN}$$ $$\Sigma M=0:-6x+3x\cdot \frac{x}{2}+M=0\Rightarrow M=(6x-1.5x^2)\mathrm{kN}\cdot \mathrm{m}$$

令 $V=0$ 得 $x=2\mathrm{m}$，此处弯矩最大：

$$M_{\max }=6(2)-1.5(2{)}^2=6\mathrm{kN}\cdot \mathrm{m}$$

这就是”剪力为零处弯矩取极值”的经典应用。

6.3 弯曲变形的几何描述

现在进入本章核心：弯矩在截面上产生什么样的应力？先从变形几何入手。

考虑对称截面的直棱柱梁，弯矩作用在对称面内。在梁表面画网格线，加弯矩后：水平线变成曲线，竖直线保持直线只发生转动；底部纤维被拉长、顶部被压缩。两者之间必存在一层长度不变的表面——中性面（neutral surface），它与横截面的交线即中性轴（neutral axis，记 z 轴）。

图 6-18 中性面沿梁轴方向，中性轴是其与横截面的交线

橡胶梁弯曲：顶层拉伸、底层压缩、中间层长度不变，竖线转动但仍保持直线

三条基本假设：

1. 中性面上的纵向轴线长度不变，弯矩使其弯成位于纵向对称面内的曲线；
2. 变形后横截面仍保持平面，且垂直于纵向轴线（平面假设，这是整个理论的基石）；
3. 忽略泊松效应引起的横向变形，截面形状不变。

设微段 $\Delta x$（位于中性面上）变形后曲率半径为 $\rho$，距中性轴 $y$ 处的纤维 $\Delta s$ 变形后长度为 $(\rho -y)\Delta \theta$，而 $\Delta x=\rho \Delta \theta$。按应变定义代入：

$$ϵ=\underset{\Delta \theta \to 0}{\lim }\frac{(\rho -y)\Delta \theta -\rho \Delta \theta }{\rho \Delta \theta }⟹ϵ=-\frac{y}{\rho }\text{\hspace{1em}(6–7)}$$

纵向正应变沿截面高度线性变化：$y$ 为正（中性轴上方）时 $ϵ$ 为负（压缩），下方拉伸。最外纤维 $y=c$ 处应变最大 ${ϵ}_{\max }=c/\rho$，于是：

$$ϵ=-\left(\frac{y}{c}\right){ϵ}_{\max }\text{\hspace{1em}(6–8)}$$

图 6-22 应变在中性轴处为零，向最外纤维线性增大

注意：这个线性结论只依赖几何假设，与材料是否弹性无关——后面塑性弯曲还会用到它。

6.4 弯曲公式（Flexure Formula）

若材料线弹性，由胡克定律 $\sigma =Eϵ$，应力分布与应变一样线性：

$$\sigma =-\left(\frac{y}{c}\right){\sigma }_{\max }\text{\hspace{1em}(6–9)}$$

中性轴上方受压、下方受拉，中性轴处应力为零。

图 6-24 弯曲应力分布：中性轴处为零，最外纤维最大

中性轴的位置：截面上应力合力必须为零（纯弯曲无轴力）：

$$0={\int }_A\sigma dA=\frac{-{\sigma }_{\max }}{c}{\int }_{A}ydA⟹{\int }_{A}ydA=0\text{\hspace{1em}(6–10)}$$

即截面对中性轴的一次矩（静矩）为零——只有形心轴满足，所以中性轴必通过截面形心。

弯矩与应力的关系：应力分布对中性轴取矩之和应等于内力矩 $M$：

$$M={\int }_{A}y(\sigma dA)=\frac{{\sigma }_{\max }}{c}{\int }_A{y}^{2}dA\text{\hspace{1em}(6–11)}$$

其中 ${\int }_A{y}^{2}dA$ 正是截面对中性轴的惯性矩 $I$。解出 ${\sigma }_{\max }$：

$${\sigma }_{\max }=\frac{Mc}{I}\text{\hspace{1em}(6–12)}$$

距中性轴任意 $y$ 处：

$$\sigma =-\frac{My}{I}\text{\hspace{1em}(6–13)}$$

符号含义与适用条件：

• $\sigma$：弯曲正应力（拉为正），单位 Pa / psi；
• $M$：截面内弯矩，由截面法平衡求得，单位 N·m；
• $c$：中性轴到最远纤维的垂直距离，单位 m；
• $I$：截面对中性轴（形心轴）的惯性矩，单位 m⁴；
• 适用条件：直梁、均质材料、线弹性、对称截面、弯矩作用在对称面内。轻微锥度梁可保守使用（15° 锥度误差仅约 5.4%）。

常用惯性矩：矩形 $I=b{h}^3/12$（$h$ 为弯曲方向的高度）；圆形 $I=\pi d^4/64$；组合截面用平行轴定理 $I=\Sigma (\bar{I}+A{d}^2)$。

解题三步：① 截面法求内力矩 $M$（求绝对最大应力需先画弯矩图找 $M_{\max }$）；② 算 $I$；③ 定 $y$ 或 $c$，代入公式。

例题 2（原书例 6.12） 简支梁，跨中最大弯矩 $M=22.5\mathrm{kN}\cdot \mathrm{m}$。工字形截面：上下翼缘 $250\mathrm{mm}\times 20\mathrm{mm}$，腹板 $20\mathrm{mm}\times 300\mathrm{mm}$，总高 $340\mathrm{mm}$（形心在半高）。用平行轴定理分三块计算：

$$I=2\left[\frac{1}{12}(0.25)(0.02{)}^3+(0.25)(0.02)(0.16{)}^2\right]+\frac{1}{12}(0.02)(0.30{)}^3=301.3\times 10^{-6}{\mathrm{m}}^4$$

最远纤维 $c=0.170\mathrm{m}$：

$${\sigma }_{\max }=\frac{Mc}{I}=\frac{22.5\times 10^3\times 0.170}{301.3\times 10^{-6}}=12.7\mathrm{MPa}$$