第01章 应力：内力与强度设计的起点

这一篇在干嘛？

一根杆件受外力后，内部到底”扛”了多大的力？这一章回答两件事：如何用截面法和平衡方程求出截面上的内力（轴力、剪力、扭矩、弯矩），以及如何把内力换算成”单位面积上的力”——应力。应力是材料力学中最重要的概念，后续所有强度校核都建立在它之上。

1. 为什么先学”应力”而不是”力”

材料力学（Mechanics of Materials）研究的是外载荷与固体内部应力、应变之间的关系。同样 10 kN 的力，作用在粗钢柱上安然无恙，作用在细铁丝上就会拉断——决定安全与否的不是力本身，而是力被多大面积分摊。

• 应力（stress）联系着材料的强度：单位面积上扛了多少力。
• 应变（strain，第2章）度量物体的变形：拉长了多少。

工程师设计规范（设计代码）里的公式和规则，绝大多数都建立在应力分析之上。这就是本章为什么是全书的起点。

历史小注：这门学科可追溯到 17 世纪伽利略对杆和梁的加载实验，19 世纪初经 Saint-Venant、Poisson、Lamé、Navier 等人在法国的系统研究而成型。

2. 变形体的平衡：静力学的复习

2.1 外载荷的分类

• 表面载荷：通过接触面施加。集中在一个小面积上的叫集中力；分布在较大面积上的叫分布载荷。共线分布载荷的合力 ${\mathbf{F}}_R$ 等于载荷图的面积，作用线通过该面积的形心（centroid，几何中心）。
• 体积力（body force）：不需要接触就能施力，如重力、电磁力。重力通常简化为一个过重心的集中力 $W$。

2.2 支座反力

判断口诀：挡住平动就给力，挡住转动就给力偶。

• 滚动支座（roller）：只挡法向平动 → 只有一个法向力 $F$，不提供力偶。
• 销钉（pin）连接：允许自由转动 → 提供力（一般两个分量）但不提供力偶。
• 固定端：既挡平动又挡转动 → 力 + 力偶。

2.3 平衡方程

力平衡防平动，力矩平衡防转动：

$$\Sigma \mathbf{F}=0,\Sigma {\mathbf{M}}_O=0$$

• $\Sigma \mathbf{F}$：作用在物体上所有力的矢量和（单位 N）；
• $\Sigma {\mathbf{M}}_O$：所有力对任一点 $O$ 的力矩和（单位 N·m）。

空间问题可拆成 6 个标量方程（$\Sigma F_x,\Sigma F_y,\Sigma F_z,\Sigma M_x,\Sigma M_y,\Sigma M_z$ 各为零）；最常见的平面力系（x–y 平面）只需 3 个：

$$\Sigma F_x=0,\Sigma F_y=0,\Sigma M_O=0$$

白话：左右方向的力加起来为零、上下方向的力加起来为零、对任意点转动的力矩加起来为零。列方程前必须先画受力图（free-body diagram），把所有已知、未知力标清楚。

3. 截面法：把”内力”暴露出来

3.1 核心思想

想知道物体内部某截面上的力？假想用一把刀把物体切开，取一半为研究对象。切开的暴露面上分布着另一半物体对它的作用力——这就是内力。虽然内力的精确分布暂时未知，但它的合力 ${\mathbf{F}}_R$ 和合力偶 ${\mathbf{M}}_{R_O}$ 可以用平衡方程求出来。切点 $O$ 通常取在截面形心处。

3.2 四种内力分量

把 ${\mathbf{F}}_R$、${\mathbf{M}}_{R_O}$ 沿截面法向和切向分解，得到四种内力：

内力	符号	方向	产生原因
轴力（Normal force）	$N$	垂直于截面	外力 tendency 拉开或压紧两段
剪力（Shear force）	$V$	位于截面平面内	外力使两段相互错动
扭矩（Torsional moment / torque）	$T$	绕截面法向轴	外力使两段绕轴相互扭转
弯矩（Bending moment）	$M$	绕截面平面内的轴	外力使梁弯曲

对于平面力系，截面上只出现 $N$、$V$、$M$ 三个分量：$N$ 由 $\Sigma F_x=0$ 求出，$V$ 由 $\Sigma F_y=0$ 求出，对截面形心 $O$ 取矩 $\Sigma M_O=0$（消去 $N$、$V$ 的贡献）解出 $M$。

3.3 解题流程（背下来）

1. 求支反力：如果选的隔离段带支座，先对整体列平衡方程求反力；尽量选不含支座的那一段，可以跳过这步。
2. 画受力图：在待求截面处把构件切开，在截面形心画上未知的 $N$、$V$、$M$（方向先假设为正）。
3. 列平衡方程：对截面处的坐标轴取矩，可消去 $N$、$V$ 直接解出 $M$、$T$。
4. 判符号：解出负值说明实际方向与假设相反。

例题 1.1：悬臂梁 C 截面的内力

悬臂梁如图，求 C 截面上的内力合力。梁右段 CB 上作用三角形分布载荷，C 处载荷集度 $w=180N/m$（由比例 $w/6=270/9$ 求得），CB 段长 6 m。

已知 → 求解 → 分析：

取 CB 段（不含支座 A，无需求反力）。三角形分布载荷的合力 = 载荷图面积 = $\frac{1}{2}(180N/m)(6\mathrm{m})=540\mathrm{N}$，作用点距 C 为 $\frac{1}{3}(6\mathrm{m})=2\mathrm{m}$。

列平衡方程：

$$\Sigma F_x=0:-N_C=0\Rightarrow N_C=0$$ $$\Sigma F_y=0:V_C-540\mathrm{N}=0\Rightarrow V_C=540\mathrm{N}$$ $$\Sigma M_C=0:-M_C-540\mathrm{N}\times 2\mathrm{m}=0\Rightarrow M_C=-1080\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}$$

结论： C 截面轴力为零，剪力 540 N，弯矩大小 1080 N·m（负号表示实际转向与受力图假设相反）。

注意：分布载荷必须在切完截面之后才能用合力代替，切之前要保持原样——这是初学者最常见的错误之一。

例题 1.2：起重机臂 E 截面的内力（含二力杆）

500 kg 发动机悬挂在起重机臂上，求臂上 E 截面的内力。

思路： 取 AE 段，先求 A 处销钉反力。CD 杆是二力杆（two-force member，两端只受力、中间不受力的直杆），其力方向已知沿 CD。对整体列 $\Sigma M_A=0$：

$$F_{CD}\left(\frac{3}{5}\right)(2\mathrm{m})-[500(9.81)\mathrm{N}](3\mathrm{m})=0\Rightarrow F_{CD}=12262.5\mathrm{N}$$

再由 $\Sigma F_x=0$、$\Sigma F_y=0$ 得 $A_x=9810\mathrm{N}$，$A_y=2452.5\mathrm{N}$。

对 AE 段截面 E 列平衡：

$$N_E=-9.81\mathrm{kN},V_E=-2.45\mathrm{kN},M_E=-2.45\mathrm{kN}\cdot \mathrm{m}$$

结论： E 截面受 9.81 kN 压力、2.45 kN 剪力与 2.45 kN·m 弯矩。

4. 应力：内力的”密度”

4.1 定义

截面法求出的只是内力的合力，没有回答”力在截面上分布得多密”。把截面切成无数小面积 $\Delta A$，其上作用微小力 $\Delta \mathbf{F}$。当 $\Delta A\to 0$ 时，力与面积的比值趋于有限极限——这就是应力（stress）：某点处内力集度。

（前提假设：材料连续——无空隙；内聚——无裂缝、不分层。）

• 正应力（normal stress） $\sigma$：垂直于截面的力分量除以面积，“拉”为拉应力（正），“压”为压应力。
• 切应力（shear stress） $\tau$：相切于截面的力分量除以面积，下标如 ${\tau }_{zx}$ 表示作用在法向为 z 的面上、沿 x 方向。

4.2 单位

应力 = 力/面积：

• SI 制：$N/{\mathrm{m}}^2$ = 帕斯卡（Pa）。工程上常用 kPa（$10^3$）、MPa（$10^6$）、GPa（$10^9$）。
• 英制：psi 或 ksi（1 kip = 1000 lb）。

5. 轴向载荷杆的平均正应力

5.1 公式与适用条件

一根等直杆（prismatic bar，各截面相同），材料均质（homogeneous，各处性能相同）且各向同性（isotropic，各方向性能相同），轴向力 $P$ 通过截面形心施加——此时杆中段均匀变形，截面上正应力均匀分布：

$$\sigma =\frac{N}{A}$$

• $\sigma$：横截面上的平均正应力（Pa 或 psi）；
• $N$：截面轴力，由截面法 + 平衡方程求得，此处 $N=P$（N）；
• $A$：横截面面积（m²）。

什么时候能用？ 三个条件缺一不可：载荷沿形心轴、材料均匀（至少纤维方向与杆轴一致）、截面离加载点足够远。对略有锥度的杆，$15°$ 锥角时用 $\sigma =N/A$ 的误差也只有 2.2%，工程上可接受。

5.2 最大平均正应力在哪？

若杆上作用多个轴向外力，或截面积突变，则各段应力不同。最大应力出现在比值 $N/A$ 最大的截面——先分段求轴力，再除以对应面积找最大值。

例题 1.5：变轴力杆的最大应力

杆宽 35 mm、厚 10 mm（截面恒定），受多个轴向外力，AB、BC、CD 三段轴力各不相同，其中 BC 段轴力最大 $N_{BC}=30\mathrm{kN}$（拉）。

解： 截面恒定，最大应力出现在轴力最大的 BC 段：

$${\sigma }_{BC}=\frac{N_{BC}}{A}=\frac{30\times 10^3\mathrm{N}}{(0.035\mathrm{m})(0.010\mathrm{m})}=85.7\mathrm{MPa}$$

结论： 最大平均正应力 85.7 MPa（拉）。技巧：先画轴力图（N 图）一眼看出危险段。

例题 1.6：两根吊杆的应力比较

80 kg 吊灯由 AB、BC 两杆吊住。AB 直径 10 mm，BC 直径 8 mm，求两杆平均正应力。

第一步：求各杆轴力。 对吊灯节点列平衡：

$$\Sigma F_x=0:F_{BC}\left(\frac{4}{5}\right)-F_{BA}\cos 60°=0,\Sigma F_y=0:F_{BC}\left(\frac{3}{5}\right)+F_{BA}\sin 60°-784.8\mathrm{N}=0$$

解得 $F_{BC}=395.2\mathrm{N}$，$F_{BA}=632.4\mathrm{N}$（均为拉力）。