📘 第 4 章：布尔代数与逻辑化简

本章要解决什么问题？

逻辑门电路可以画出来，也可以写成布尔表达式。本章学习如何在两种表示之间转换，并通过代数定律或卡诺图删掉冗余门电路，得到更短、更快、更省资源的实现。

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• 1. 布尔变量、文字项与基本运算
• 2. 布尔代数定律与 12 条基本规则
• 3. 德摩根定理
• 4. 从逻辑电路得到表达式和真值表
• 5. 用布尔代数化简
• 6. SOP/POS 标准形式
• 7. 表达式、真值表与最小项
• 8. 卡诺图
• 9. SOP 卡诺图化简
• 10. POS 卡诺图化简
• 11. Quine–McCluskey 表格法
• 12. VHDL 中的布尔表达式
• 13. 七段显示器应用
• 本章小结与自测

1. 布尔变量、文字项与基本运算

布尔变量只能取 0 或 1。变量的反相（补）写作 $\overline{A}$，读作“非 A”或“A 反”；文字项（literal）可以是变量本身，也可以是变量的补。布尔加法就是 OR，布尔乘法就是 AND：

$0+0=0,0+1=1+0=1,1+1=1$ $0\cdot 0=0,0\cdot 1=1\cdot 0=0,1\cdot 1=1$

**和项（sum term）**是若干文字项的 OR，例如 $A+\overline{B}+C$；只要至少一个文字项为 1，和项就为 1，只有所有文字项为 0 时才为 0。**积项（product term）**是若干文字项的 AND，例如 $A\overline{B}C$；只有所有文字项为 1 时才为 1。

worked example 4-1：使和项为 0

求 $A+\overline{B}+C+\overline{D}=0$ 的输入。和项为 0 要求每项都为 0，因此 $A=0,B=1,C=0,D=1$：

$0+\overline{1}+0+\overline{1}=0+0+0+0=0$

worked example 4-2：使积项为 1

求 $A\overline{B}C\overline{D}=1$ 的输入。积项为 1 要求每项都为 1，因此 $A=1,B=0,C=1,D=0$：

$1\cdot \overline{0}\cdot 1\cdot \overline{0}=1$

快速判断

和项看“有没有一个 1”；积项看“是不是全为 1”。遇到补变量时，先把输入值反相，再判断。

2. 布尔代数定律与 12 条基本规则

交换律：$A+B=B+A$，$AB=BA$。结合律：$A+(B+C)=(A+B)+C$，$A(BC)=(AB)C$。分配律：$A(B+C)=AB+AC$，反向就是提取公因子。

编号	规则	直观含义
1	$A+0=A$	OR 端接 0 不改变信号
2	$A+1=1$	OR 端接 1，输出恒 1
3	$A\cdot 0=0$	AND 任一端为 0，输出为 0
4	$A\cdot 1=A$	AND 端接 1 不改变信号
5	$A+A=A$	同一信号 OR 自身
6	$A+\overline{A}=1$	变量与补必有一个为 1
7	$AA=A$	同一信号 AND 自身
8	$A\overline{A}=0$	变量与补不可能同时为 1
9	$\overline{\overline{A}}=A$	双重反相抵消
10	$A+AB=A$	吸收律
11	$A+\overline{A}B=A+B$	带补变量的吸收/合并
12	$(A+B)(A+C)=A+BC$	共识形式的合并

worked example 4-3：验证吸收律

$A+AB=A\cdot 1+AB=A(1+B)=A\cdot 1=A$

worked example 4-4：验证规则 11

$A+\overline{A}B=(A+AB)+\overline{A}B=AA+AB+A\overline{A}+\overline{A}B$ $=(A+\overline{A})(A+B)=1\cdot (A+B)=A+B$

worked example 4-5：验证规则 12

$$\begin{array}{rl}(A+B)(A+C)& =AA+AC+AB+BC\\ & =A+AC+AB+BC\\ & =A(1+C)+AB+BC\\ & =A+BC\end{array}$$

3. 德摩根定理

德摩根定理是 NAND/NOR 与负逻辑门等价的代数依据：

$\overline{XY}=\overline{X}+\overline{Y}$ $\overline{X+Y}=\overline{X}\overline{Y}$

记忆方法是“断开横线，AND/OR 互换，每个变量分别取反”。对三个或更多变量同样适用。

worked example 4-6：多变量变换

$\overline{XYZ}=\overline{X}+\overline{Y}+\overline{Z}$ $\overline{X+Y+Z}=\overline{X}\overline{Y}\overline{Z}$ $\overline{(AB+C)(A+BC)}=(\overline{AB+C})+(\overline{A+BC})$ $=(\overline{A}+\overline{B})\overline{C}+\overline{A}(\overline{B}+\overline{C})$

worked example 4-7：由 XOR 推出 XNOR

异或表达式为 $X=A\overline{B}+\overline{A}B$。其补为：

$$\begin{array}{rl}\overline{X}& =\overline{A\overline{B}+\overline{A}B}\\ & =(\overline{A}+B)(A+\overline{B})\\ & =\overline{A}A+\overline{A}\overline{B}+AB+B\overline{B}\\ & =\overline{A}\overline{B}+AB\end{array}$$