📘 🚀 向量值函数：空间中的运动学 · 第 12 章精讲

这一篇在干嘛？

物体在空间中怎么飞？这一章用向量值函数描述曲线运动：速度加速度、弧长、单位切向量、曲率，最后用开普勒定律的推导作为压轴应用。

参数曲线：从二维到三维

10.1 节讲过，若 $f$ 和 $g$ 是表现良好的函数，参数方程

$$x=f(t),y=g(t)\text{\hspace{1em}(1)}$$

会在二维空间中生成一条曲线，随参数 $t$ 增大沿特定方向被描出。这个方向称为曲线的方向（或参数增大方向），曲线连同其方向合称参数方程的图形或参数曲线。

同样的思想推广到三维：若 $f,g,h$ 是三个表现良好的函数，参数方程

$$x=f(t),y=g(t),z=h(t)\text{\hspace{1em}(2)}$$

在三维空间中生成一条随 $t$ 增大按特定方向描出的曲线。若未明确说明参数范围，默认 $t$ 取遍 $(-\infty ,+\infty )$。

例 1 参数方程

$$x=1-t,y=3t,z=2t$$

表示一条过点 $(1,0,0)$、平行于向量 $⟨-1,3,2⟩$ 的直线。由于 $x$ 随 $t$ 增大而减小，直线方向如图 12.1.1 所示。

图：三维空间中的参数直线及其方向，Figure 12.1.1

例 2 描述参数方程

$$x=a\cos t,y=a\sin t,z=ct$$

（$a,c$ 为正常数）所代表的曲线。

思路：分别观察水平运动和竖直运动，再合成。

解：随 $t$ 增大，$z=ct$ 递增，点 $(x,y,z)$ 一路向上；同时 $x=a\cos t$、$y=a\sin t$ 使点在 $xy$ 平面的投影绕圆

$$x=a\cos t,y=a\sin t$$

旋转。向上运动与圆周运动叠加，产生一条绕以 $z$ 轴为中心轴、半径 $a$ 的正圆柱面盘旋上升的螺旋形曲线（Figure 12.1.2）。这条曲线称为圆柱螺线。

图：圆柱螺线，Figure 12.1.2

图：自然界中的双螺旋——DNA 分子的计算机呈现，其结构携带生物体发育的全部遗传指令

借助技术工具生成参数曲线

除最简单的情形外，参数曲线很难凭肉眼想象和手绘。例如三尖内摆线是参数方程

$$x=2\cos t+\cos 2t,y=2\sin t-\sin 2t$$

的图形。手绘很繁琐，但计算机渲染很容易，也揭示了曲线名字的由来（Figure 12.1.3）。注意：绘图工具生成的图通常不显示曲线方向，这是普遍现象；有些工具可以沿参数增大的方向追踪曲线上的点。

图：三尖内摆线，Figure 12.1.3

三维参数曲线即使用绘图工具也可能难以正确想象。例如 Figure 12.1.4a 是 CAS 生成的环面纽结，但从图上无法判断重叠处究竟是相交还是一前一后。为解决可视化问题，一些绘图工具能把曲线包在细管里，称为管状图（Figure 12.1.4b）。

曲面交线的参数方程

三维空间中的曲线常常以曲面的交线形式出现。求交线参数方程的一个通用方法：选一个变量作参数，用两个曲面方程把另外两个变量表示成该参数的函数。

例如，圆柱面 $z=x^3$ 与 $y=x^2$ 的交线：取 $x=t$ 作参数，代入两方程得参数方程

$$x=t,y=t^2,z=t^3\text{\hspace{1em}(3)}$$

这条曲线称为挠三次曲线。Figure 12.1.5a 展示的是 $t\ge 0$ 的部分；Figure 12.1.5b 是正负 $t$ 都有的计算机图形。

图：两曲面的交线（t ≥ 0 部分）（a）

图：挠三次曲线 x = t, y = t², z = t³ 的完整图形（b），Figure 12.1.5

向量值函数：把参数方程打包

挠三次曲线由形如 $(t,t^2,t^3)$ 的点组成。把每个点看作以原点为起点的向量 $\mathbf{r}$ 的终点：

$$\mathbf{r}=⟨x,y,z⟩=⟨t,t^2,t^3⟩=t\mathbf{i}+t^2\mathbf{j}+t^3\mathbf{k}$$

这就把 $\mathbf{r}$ 表示成了参数 $t$ 的函数 $\mathbf{r}=\mathbf{r}(t)$。由于这个函数的「输出」是向量，我们称 $\mathbf{r}=\mathbf{r}(t)$ 定义了一个（实变量的）向量值函数。

若 $\mathbf{r}(t)$ 是三维空间中的向量值函数，则对每个允许的 $t$ 值，

$$\mathbf{r}=\mathbf{r}(t)=⟨x(t),y(t),z(t)⟩=x(t)\mathbf{i}+y(t)\mathbf{j}+z(t)\mathbf{k}\text{\hspace{1em}(4)}$$

函数 $x(t),y(t),z(t)$ 称为 $\mathbf{r}(t)$ 的分量函数（或分量）。二维空间中的向量值函数类似，只有两个分量：

$$\mathbf{r}(t)=⟨x(t),y(t)⟩=x(t)\mathbf{i}+y(t)\mathbf{j}$$

例 3 函数

$$\mathbf{r}(t)=⟨t,t^2,t^3⟩=t\mathbf{i}+t^2\mathbf{j}+t^3\mathbf{k}$$

的分量函数是 $x(t)=t$，$y(t)=t^2$，$z(t)=t^3$。

定义域：向量值函数 $\mathbf{r}(t)$ 的定义域是 $t$ 的允许值集合。若未明确指定，默认为各分量函数自然定义域的交集，称为 $\mathbf{r}(t)$ 的自然定义域。

例 4 求

$$\mathbf{r}(t)=⟨\ln |t-1|,e^t,\sqrt{t}⟩$$

的自然定义域。

解：三个分量函数的自然定义域分别为

$$(-\infty ,1)\cup (1,+\infty ),(-\infty ,+\infty ),[0,+\infty )$$

三者之交为

$$[0,1)\cup (1,+\infty )$$

即 $0\le t<1$ 或 $t>1$。

向量值函数的图形

若 $\mathbf{r}(t)$ 是二维或三维空间中的向量值函数，则定义它的图形为由其分量函数描述的参数曲线。例如

$$\mathbf{r}(t)=⟨1-t,3t,2t⟩=(1-t)\mathbf{i}+3t\mathbf{j}+2t\mathbf{k}\text{\hspace{1em}(5)}$$

的图形就是参数方程 $x=1-t$，$y=3t$，$z=2t$ 的图形，即 Figure 12.1.1 中的直线。

例 5 描述函数

$$\mathbf{r}(t)=⟨\cos t,\sin t,t⟩=\cos t\mathbf{i}+\sin t\mathbf{j}+t\mathbf{k}$$

的图形。

解：对应参数方程为

$$x=\cos t,y=\sin t,z=t$$

由例 2 知图形是绕半径为 1 的圆柱面盘旋的圆柱螺线。

图：随 t 变化，半径向量 r(t) 的终点描出曲线 C，Figure 12.1.6

半径向量（位置向量）：此前我们把参数曲线看作动点描出的路径；把曲线看作向量值函数的图形后，还可以把它想象成动向量的尖端描出的曲线。设曲线 $C$ 是 $\mathbf{r}(t)=x(t)\mathbf{i}+y(t)\mathbf{j}+z(t)\mathbf{k}$ 的图形，把 $\mathbf{r}(t)$ 的起点放在原点，则其终点落在 $C$ 上（Figure 12.1.6）。随 $t$ 变化，终点描出整条曲线，此时称 $\mathbf{r}(t)$ 为曲线 $C$ 的半径向量或位置向量。为简洁起见，常省略对 $t$ 的依赖而写成 $\mathbf{r}$。

例 6 画出下列函数的图形及一个半径向量：(a) $\mathbf{r}(t)=\cos t\mathbf{i}+\sin t\mathbf{j}$（$0\le t\le 2\pi$）；(b) $\mathbf{r}(t)=\cos t\mathbf{i}+\sin t\mathbf{j}+2\mathbf{k}$（$0\le t\le 2\pi$）。

解 (a)：参数方程为 $x=\cos t$，$y=\sin t$（$0\le t\le 2\pi$），图形是以原点为圆心、半径为 1 的圆，逆时针方向（Figure 12.1.7）。

解 (b)：参数方程为 $x=\cos t$，$y=\sin t$，$z=2$（$0\le t\le 2\pi$）。第三个方程说明半径向量的尖端在平面 $z=2$ 内描曲线；前两个方程说明该曲线是以 $(0,0,2)$ 为圆心、半径为 1 的圆，从 $z$ 轴上方俯视逆时针描出（Figure 12.1.8）。

图：单位圆上的半径向量，Figure 12.1.7

图：平面 z = 2 内的圆及其半径向量，Figure 12.1.8

图：两点半径向量决定的线段，Figure 12.1.9

线段的向量形式

11.5 节式 (9) 给出过向量 ${\mathbf{r}}_0$ 终点、平行于 $\mathbf{v}$ 的直线的向量方程 $\mathbf{r}={\mathbf{r}}_0+t\mathbf{v}$。特别地，过向量 ${\mathbf{r}}_0$ 与 ${\mathbf{r}}_1$ 终点的直线可写成

$$\mathbf{r}={\mathbf{r}}_0+t({\mathbf{r}}_1-{\mathbf{r}}_0)\text{或}\mathbf{r}=(1-t){\mathbf{r}}_0+t{\mathbf{r}}_1\text{\hspace{1em}(6, 7)}$$

习惯上把这两式都称为直线的两点向量式，并简称为直线过点 ${\mathbf{r}}_0$ 和 ${\mathbf{r}}_1$。