这一篇在干嘛？
从平面跃入空间：三维坐标系、向量、点积叉积、直线与平面方程、二次曲面、柱面与球面坐标——多元微积分的全部几何地基都在这一章。
三维空间里的直角坐标系
从本章开始，我们离开熟悉的平面，进入三维空间（3-space）。约定：三维空间叫 3-space，二维平面叫 2-space，一条直线叫 1-space。
正如平面上的点可以用两条互相垂直的数轴（ 轴、 轴）与有序数对一一对应，三维空间中的点可以用三条互相垂直的坐标轴—— 轴、 轴、 轴——与有序数组 一一对应。三条轴的原点重合，共同构成三维直角坐标系（也叫笛卡儿坐标系），三轴的交点叫原点。
右手系与左手系
三维坐标系分两类：右手系与左手系。右手系的特征是：把右手手指从 轴正方向弯向 轴正方向，大拇指恰好指向 轴正方向。左手系则对应用左手做同样的动作。本书一律使用右手系。这个约定不是可有可无的——后面的向量叉积等运算的方向都依赖于它。
图：右手系与左手系的区别（图 11.1.2）
坐标平面与卦限
三条坐标轴两两确定三个坐标平面： 平面、 平面、 平面。给空间中一点 定坐标的方法：过 作三个平面分别平行于三个坐标平面，它们与三条轴的交点读数就是 的 、、 坐标。
三个坐标平面把空间分成八个部分，称为卦限（octants）。三个坐标全为正的部分叫第一卦限，其余卦限没有统一的编号。
必须烂熟于心的基本事实：
| 区域 | 描述 |
|---|---|
| 平面 | 所有点形如 |
| 平面 | 所有点形如 |
| 平面 | 所有点形如 |
| 轴 | 所有点形如 |
| 轴 | 所有点形如 |
| 轴 | 所有点形如 |
记忆口诀：缺谁就立在谁垂直的面上；只剩谁就在谁的轴上。 比如 在数轴上是一个点，在 2-space 是一条竖直线，在 3-space 则是平行于 平面的一个平面。
图：三个坐标平面（图 11.1.3）
图：过点作三个平面定坐标（图 11.1.4）
图：点 与 的位置（图 11.1.5）
三维距离公式与球面
平面内两点的距离公式是
三维版本只需添一项——这是从 2-space 推广公式到 3-space 的普遍模式：
证明思路（两次勾股定理）：长 、宽 、高 的长方体，其对角线长 ——先用勾股定理求底面对角线，再对竖直方向用一次勾股定理。空间中两点恰是某个「坐标长方体」的对角线两端。
例 1 求 与 之间的距离。
解答。
球面的标准方程
圆是「到定点距离为定值的平面点集」，球面是它的三维版本：到定点距离为 的空间点集。中心 、半径 的球面标准方程为
几个例子：
| 方程 | 图形 |
|---|---|
| 中心 、半径 3 的球面 | |
| 中心 、半径 的球面 | |
| 中心在原点、半径 1 的球面 |
展开形式与配方法
把标准方程展开、合并同类项，得到一般形式
反过来，遇到这种形式就配方识别。
例 2 求球面 的中心与半径。
解答。 分组配方：
中心 ，半径 。
一般地，配方后得到 ，三种情况：
- ：球面，中心 、半径 ；
- ：半径为零的「球」，即单个点 ；
- ：左边非负、右边为负，无图形。
定理 11.1.1 形如 的方程，其图形是球面、一个点，或没有图形。
图：球面示意
柱面：二维方程在三维中的图形
平面里 是抛物线。把它放进三维空间， 会怎样？注意方程对 没有任何限制：只要 满足方程，点 对任意 都满足。几何上，这些点是过 平面上点 的整条竖直线。于是三维图形是：先在 平面画出抛物线，再把它沿 轴方向平移「拉」出来的一个曲面。