📘 ∫ 积分：从面积到原函数 · 第 4 章精讲

这一篇在干嘛？

积分学两条主线：不定积分（原函数）与定积分（面积/累积）。这一章讲 substitutions 换元、sigma 记号、定积分定义，最终抵达微积分最核心的定理——牛顿-莱布尼茨公式。

4.1 面积问题概览

本章开始研究积分（Integration）。我们从求平面区域面积的问题入手——讨论面积这个词到底意味着什么，并概述定义和计算面积的两种途径。之后将讨论联系切线问题与面积问题的微积分基本定理以及面积的计算方法，再用这些思想定义函数的平均值、继续研究直线运动、并考察链式法则在积分学中的推论。

面积问题

正方形、矩形、三角形、梯形等多边形的面积公式在许多古代文明中早已熟知。然而，求曲边区域（圆是最简单的例子）面积公式的问题让早期数学家倍感困难。

对一般面积问题的第一次实质性突破来自希腊数学家阿基米德。他用一种后来被称为穷竭法（method of exhaustion）的巧妙程序求出了由圆弧、抛物线、螺线及各种其他曲线围成的区域的面积。把穷竭法用于圆时，做法是：在圆内依次内接正多边形，并让边数无限增加（图 4.1.1）。随着边数增加，多边形越来越填满圆内区域，多边形面积也越来越好地逼近圆的精确面积。

图：圆内接正多边形逐渐穷竭圆（Figure 4.1.1）

从数值上看这个过程：设 $A(n)$ 表示内接于半径 1 的圆的正 $n$ 边形面积。下表列出了若干 $n$ 对应的 $A(n)$ 值。可以看到，当 $n$ 很大时，$A(n)$ 越来越接近 $\pi$（平方单位），正如预期。

$n$	$A(n)$
100	3.13952597647
200	3.14107590781
300	3.14136298250
400	3.14146346236
500	3.14150997084
1000	3.14157198278
2000	3.14158748588
3000	3.14159035683
4000	3.14159136166
5000	3.14159182676
10,000	3.14159244688

这说明：对半径为 1 的圆，穷竭法相当于一个极限等式

$$\underset{n\to \infty }{\lim }A(n)=\pi$$

图：曲线下的区域（Figure 4.1.2）

希腊数学家对无限这个概念心存疑虑，因此在数学论证中避免使用它，这使得用穷竭法计算面积的过程非常繁琐。直到 17 世纪后期，牛顿和莱布尼茨才获得了显式使用极限概念的一般求面积方法。我们把他们的方法放到下面这个问题的语境中讨论。

问题 4.1.1（面积问题） 设函数 $f$ 在区间 $[a,b]$ 上连续且非负，求 $f$ 的图像与 $x$ 轴上区间 $[a,b]$ 之间的面积（图 4.1.2）。

图：面积问题示意图（Figure 4.1.3）

从逻辑上讲，在没有给面积这个词以精确数学定义之前，谈计算面积是不严谨的。本章后面会给出这样的定义，目前先直观地对待这个概念。

求面积的矩形法

求面积问题的一种做法是把阿基米德的穷竭法这样使用：

• 把区间 $[a,b]$ 等分为 $n$ 个子区间，在每个子区间上构造一个矩形，矩形从 $x$ 轴向上延伸到曲线 $y=f(x)$ 上该子区间正上方的任意一点——具体取哪一点无关紧要，可以取中点、端点或子区间内任何点。图 4.1.3 中取的是中点。
• 对每个 $n$，矩形的总面积可以看作曲线下精确面积的近似值。直观上很清楚：随着 $n$ 增大，这些近似越来越好，并趋近精确面积（图 4.1.4）。也就是说，若 $A$ 表示曲线下的精确面积，$A_n$ 表示用 $n$ 个矩形得到的近似，则

$$A=\underset{n\to +\infty }{\lim }{A}_n$$

我们称之为计算 $A$ 的矩形法（rectangle method）。

图：矩形数增加时逼近越来越好（Figure 4.1.4）

图：矩形逼近的细节

下面用矩形法近似求曲线 $y=x^2$ 在区间 $[0,1]$ 下的面积（图 4.1.5）。把 $[0,1]$ 等分成 $n$ 个子区间，每个子区间长度为 $1/n$，子区间端点为

$$0,\frac{1}{n},\frac{2}{n},\frac{3}{n},\dots ,\frac{n-1}{n},1$$

图：$y=x^2$ 在 $[0,1]$ 下（Figure 4.1.5）

图：子区间划分（Figure 4.1.6）

图：右端点矩形（Figure 4.1.7 之参照）

在每个子区间上构造一个矩形，高度取 $f(x)=x^2$ 在子区间内某点的值。这里取右端点，则各矩形的高为

$${\left(\frac{1}{n}\right)}^2,{\left(\frac{2}{n}\right)}^2,{\left(\frac{3}{n}\right)}^2,\dots ,1^2$$

由于每个矩形底宽 $1/n$，$n$ 个矩形的总面积为

$$A_n=\left[{\left(\frac{1}{n}\right)}^2+{\left(\frac{2}{n}\right)}^2+{\left(\frac{3}{n}\right)}^2+\cdots +1^2\right]\left(\frac{1}{n}\right)\text{\hspace{1em}(1)}$$

例如 $n=4$ 时，四个矩形的总面积为

$$A_4=\left[{\left(\frac{1}{4}\right)}^2+{\left(\frac{2}{4}\right)}^2+{\left(\frac{3}{4}\right)}^2+1^2\right]\left(\frac{1}{4}\right)=\frac{15}{32}=0.46875$$

用计算机对越来越大的 $n$ 计算式 (1)，结果如下表。这些计算提示精确面积接近 $\frac{1}{3}$。本章后面将通过证明 ${\lim }_{n\to \infty }{A}_n=\frac{1}{3}$ 来严格确认这一点。

$n$	4	10	100	1000	10,000	100,000
$A_n$	0.468750	0.385000	0.338350	0.333834	0.333383	0.333338

求面积的原函数法

矩形法虽然直观，但得到的极限只在某些情况下能算出来。因此面积问题的进展长期停留在初级水平，直到 17 世纪末牛顿和莱布尼茨各自独立发现了面积与导数之间的一个基本关系。简要说：若 $f$ 是 $[a,b]$ 上的非负连续函数，$A(x)$ 表示 $f$ 的图像在区间 $[a,x]$ 下的面积（$x$ 是 $[a,b]$ 内任意一点，图 4.1.7），则

$$A^{\prime }(x)=f(x)\text{\hspace{1em}(2)}$$

换句话讲：面积函数的导数就是原来的函数本身。 这是整个积分学的枢纽。

图：可变上限的面积函数 $A(x)$（Figure 4.1.7）

下面的例子在能用初等几何求出 $A(x)$ 公式的情形中验证公式 (2)。

例 1 对下列每个函数 $f$，求其图像与区间 $[a,x]=[-1,x]$ 之间的面积 $A(x)$，并求这个面积函数的导数 $A^{\prime }(x)$。

(a) $f(x)=2$。

解 由图 4.1.8a 可见，$A(x)$ 是高为 2、底为 $x+1$ 的矩形面积：

$$A(x)=2(x-(-1))=2(x+1)=2x+2$$

对这个面积函数求导：

$$A^{\prime }(x)=2=f(x)$$

(b) $f(x)=x+1$。

解 由图 4.1.8b 可见，$A(x)$ 是底和高都等于 $x+1$ 的等腰直角三角形面积：

$$A(x)=\frac{1}{2}(x+1)(x+1)=\frac{x^2}{2}+x+\frac{1}{2}$$

求导：

$$A^{\prime }(x)=x+1=f(x)$$

(c) $f(x)=2x+3$。

解 梯形面积公式为 $A=\frac{1}{2}(b+b^{\prime })h$，其中 $b$、$b^{\prime }$ 是两条平行边的长度，$h$ 是高。由图 4.1.8c 可见，$A(x)$ 是平行边长为 1 与 $2x+3$、高为 $x-(-1)=x+1$ 的梯形面积：

$$A(x)=\frac{1}{2}\left((2x+3)+1\right)(x+1)=x^2+3x+2$$

求导：

$$A^{\prime }(x)=2x+3=f(x)$$

图：矩形情形（Figure 4.1.8a）

图：三角形情形（Figure 4.1.8b）

图：梯形情形（Figure 4.1.8c）

公式 (2) 的重要性在于它联系了面积函数 $A$ 与围成区域的函数 $f$。$A(x)$ 的公式也许很难直接得到，但它的导数 $f(x)$ 是已知的。如果能从 $A^{\prime }(x)$ 的公式反推出 $A(x)$ 的公式，那么 $f$ 的图像在 $[a,b]$ 下的面积就是 $A(b)$。

从导数出发求函数的过程称为求原函数（antidifferentiation），通过求原函数求面积的方法称为原函数法（antiderivative method）。下面用原函数法重新求解图 4.1.5 中的面积问题。

例 2 用原函数法求 $y=x^2$ 在区间 $[0,1]$ 下的面积。

解 设 $x$ 是 $[0,1]$ 内任意一点，$A(x)$ 表示 $f(x)=x^2$ 的图像在区间 $[0,x]$ 下的面积。由公式 (2)：