第01章 电磁理论：麦克斯韦到平面波

这一篇在干嘛？

这一章是整本《微波工程》的地基：我们把麦克斯韦方程组请出来，说清楚它在媒质里长什么样、在边界上要满足什么条件，然后求解最简单的波——平面波。看完你会明白为什么微波频段”电路理论不够用”，以及反射系数、趋肤深度这些日后反复出现的概念到底从哪来。

1.1 微波工程引论

射频（RF, Radio Frequency）与微波工程一般研究频率从 100 MHz 到 1000 GHz 的交变信号。通常说的”微波”指 3–300 GHz 的频段，对应波长 10 cm 到 1 mm；波长在毫米量级的信号也叫毫米波（millimeter waves）。

为什么微波频段不能直接用集总电路理论？ 因为器件的物理尺寸和电波长（electrical wavelength）处于同一量级：电压和电流的相位沿器件的延伸方向发生显著变化，器件成了”分布元件”（distributed elements）。频率再低，波长太大，器件上相位几乎不变——那是电路理论的地盘；频率再高（光频），波长比器件小得多——那是几何光学的地盘。微波正好卡在中间，必须动用麦克斯韦方程组。

原书给出了常见频段的划分与典型用途，挑核心摘成下表：

典型系统	频率	频段命名	频率范围
AM 广播	535–1605 kHz	中频 MF	300 kHz–3 MHz
FM 广播	88–108 MHz	甚高频 VHF	30–300 MHz
UHF 电视	470–890 MHz	特高频 UHF	300 MHz–3 GHz
GSM 手机（欧）	880–960 MHz	L 频段	1–2 GHz
微波炉	2.45 GHz	S 频段	2–4 GHz
ISM 频段	2.400–2.484 / 5.725–5.850 GHz	C 频段	4–8 GHz
GPS	1575.42 / 1227.60 MHz	X 频段	8–12 GHz
DBS 卫星电视	11.7–12.5 GHz	Ku 频段	12–18 GHz
UWB 超宽带	3.1–10.6 GHz	K 频段	18–26 GHz
—	—	Ka 频段	26–40 GHz

微波频段的独特优势（也是应用切入点）：

• 天线增益正比于天线的电尺寸，频率越高，同尺寸天线增益越高；
• 带宽更大：60 GHz 处 1% 相对带宽就有 600 MHz，数据率可达 600 Mbps；
• 微波沿视距（line of sight）传播、不被电离层反射，适合卫星通信与频率复用；
• 雷达目标的有效反射面积（radar cross section）正比于目标电尺寸，所以雷达偏爱微波；
• 许多分子/原子/核共振落在微波段，可用于遥感、加热、医疗等。

一段简史：1873 年麦克斯韦（Maxwell）从纯数学推理出发预言了电磁波；1885–1887 年海维塞德（Heaviside）把它整理成现代矢量形式；1887–1891 年赫兹（Hertz）用实验证实了电磁波的存在。真正的大发展发生在二战期间的雷达研发——MIT 辐射实验室聚集了一批顶尖物理学家（Schwinger、Bethe、Purcell 等），其成果汇总为经典的 28 卷 Radiation Laboratory Series，至今仍有参考价值。此后微波通信、卫星、蜂窝电话一路发展，今天无线连接已经”任何人、任何地点、任何时间”。

口诀

记住主线：“高频率 → 波长短 → 器件尺寸可与波长比拟 → 集总近似失效 → 必须回到场的观点”。本章之后所有的传输线、波导、网络分析，本质上都是把场理论的解”降维”回可操作的电路概念（反射系数、阻抗、S 参数）。

1.2 麦克斯韦方程组

宏观电磁现象由麦克斯韦方程组（Maxwell’s equations）描述。时变形式的微分（点）形式为：

$$\nabla \times \bar{\mathcal{E}}=-\frac{\partial \bar{\mathcal{B}}}{\partial t}-\bar{\mathcal{M}},\text{\hspace{1em}(1.1a)}$$ $$\nabla \times \bar{\mathcal{H}}=\frac{\partial \bar{\mathcal{D}}}{\partial t}+\bar{\mathcal{J}},\text{\hspace{1em}(1.1b)}$$ $$\nabla \cdot \bar{\mathcal{D}}=\rho ,\text{\hspace{1em}(1.1c)}$$ $$\nabla \cdot \bar{\mathcal{B}}=0.\text{\hspace{1em}(1.1d)}$$

逐个符号认识一下（全书用 MKS 单位制，手写体字母表示随时间变化的实矢量场）：

• $\bar{\mathcal{E}}$：电场强度（electric field），单位 V/m；
• $\bar{\mathcal{H}}$：磁场强度（magnetic field），单位 A/m；
• $\bar{\mathcal{D}}$：电通密度（electric flux density），单位 C/m²；
• $\bar{\mathcal{B}}$：磁通密度（magnetic flux density），单位 Wb/m²；
• $\bar{\mathcal{M}}$：磁流密度（magnetic current density），单位 V/m²——注意这是虚构源，真实世界里不存在磁单极子，它只是数学上的便利（第 4 章处理孔径耦合时会用到）；
• $\bar{\mathcal{J}}$：电流密度，单位 A/m²；
• $\rho$：电荷密度，单位 C/m³。

自由空间中场强与通密度之间有简单关系：

$$\bar{\mathcal{B}}={\mu }_0\bar{\mathcal{H}},\text{\hspace{1em}(1.2a)}$$ $$\bar{\mathcal{D}}={ϵ}_0\bar{\mathcal{E}},\text{\hspace{1em}(1.2b)}$$

其中 ${\mu }_0=4\pi \times 10^{-7}$ H/m 是自由空间磁导率，${ϵ}_0=8.854\times 10^{-12}$ F/m 是自由空间介电常数。

这四个方程并非彼此独立。对 (1.1a) 两边取散度，利用”旋度的散度恒为零”，可得 $\nabla \cdot \bar{\mathcal{B}}=0$，即 (1.1d)；对 (1.1b) 取散度则得到连续性方程（continuity equation）：

$$\nabla \cdot \bar{\mathcal{J}}+\frac{\partial \rho }{\partial t}=0,\text{\hspace{1em}(1.3)}$$

它说的就是电荷守恒：某点电流流出越多，该点电荷积攒必然越快（符号相反）。正是这个结果让麦克斯韦意识到 (1.1b) 中必须补上位移电流项 $\partial \bar{\mathcal{D}}/\partial t$。

利用散度定理和斯托克斯定理，微分形式可以化为积分形式：高斯定律 ${\oint }_S\bar{\mathcal{D}}\cdot d\bar{s}=Q$（(1.4)）、磁高斯定律 ${\oint }_S\bar{\mathcal{B}}\cdot d\bar{s}=0$（(1.5)）、法拉第定律（(1.6)，去掉 $\bar{\mathcal{M}}$ 项就是基尔霍夫电压定律的场论根源）、安培定律（(1.7)）。

相量（phasor）记法：本书几乎所有工作都在正弦稳态下进行。约定所有场量为隐含 $e^{j\omega t}$ 时间因子的复矢量，用正体（而非手写体）字母书写。真实场由相量恢复：

$$\bar{\mathcal{E}}(x,y,z,t)=\mathrm{Re}\{\bar{E}(x,y,z)e^{j\omega t}\},\text{\hspace{1em}(1.10)}$$

即”相量乘 $e^{j\omega t}$ 再取实部”。在相量记法下，$\partial /\partial t$ 直接替换为 $j\omega$，麦克斯韦方程组变成更干净的代数-微分方程 (1.14a)–(1.14d)。此外，时间平均的二次量有个好用的结论：

$$|\bar{\mathcal{E}}{|}_{\text{avg}}^2=\frac{1}{2}\bar{E}\cdot {\bar{E}}^{\ast }=\frac{1}{2}|\bar{E}{|}^2,\text{\hspace{1em}(1.13)}$$

也就是均方根值 $|\bar{E}{|}_{\text{rms}}=|\bar{E}|/\sqrt{2}$——后续算功率时无处不在。

1.3 媒质中的场与边界条件

本构关系：把材料”塞进”方程

在电介质材料中，外加电场会使原子/分子极化，产生电极化矢量 ${\bar{P}}_e$，于是：

$$\bar{D}={ϵ}_0\bar{E}+{\bar{P}}_e.\text{\hspace{1em}(1.15)}$$

线性媒质中 ${\bar{P}}_e={ϵ}_0{\chi }_e\bar{E}$（${\chi }_e$ 为电极化率，electric susceptibility），代入得：

$$\bar{D}=ϵ\bar{E},ϵ={ϵ}^{\prime }-j{ϵ}^{\prime \prime }={ϵ}_0(1+{\chi }_e).\text{\hspace{1em}(1.17, 1.18)}$$

复介电常数 $ϵ$ 的虚部描述损耗：极化偶极子振动受阻尼，电能转成热。导电媒质里还有欧姆定律的场形式 $\bar{J}=\sigma \bar{E}$（(1.19)），代入 (1.14b) 后会发现介电阻尼损耗 $\omega {ϵ}^{\prime \prime }$ 与导电损耗 $\sigma$ 无法区分，二者合并成”总有效电导率”。由此定义损耗角正切（loss tangent）：

$$\tan \delta =\frac{\omega {ϵ}^{\prime \prime }+\sigma }{\omega {ϵ}^{\prime }},\text{\hspace{1em}(1.21)}$$

即总位移电流虚部与实部之比。微波材料通常用两个参数刻画：相对介电常数 ${ϵ}_r$ 和损耗角正切。一个常用技巧：先按无损解问题，最后把实 $ϵ$ 换成 $ϵ={ϵ}_0{ϵ}_r(1-j\tan \delta )$ 即可引入损耗。

易错点 1：复介电常数的符号约定

本书约定 $ϵ={ϵ}^{\prime }-j{ϵ}^{\prime \prime }$，虚部取负号、而 ${ϵ}^{\prime \prime }>0$，对应 $e^{j\omega t}$ 约定下的损耗。如果你读别的文献遇到 $ϵ={ϵ}^{\prime }+j{ϵ}^{\prime \prime }$ 还说无损耗，多半是它用了 $e^{-j\omega t}$ 约定。看到复介电常数，先确认时间约定，再谈虚部的物理意义，否则损耗的方向会算反。

磁场一侧完全对偶：磁化强度 ${\bar{P}}_m$ 导致 $\bar{B}=\mu \bar{H}$，$\mu ={\mu }_0(1+{\chi }_m)={\mu }^{\prime }-j{\mu }^{\prime \prime }$ 为复磁导率。磁材料同样可能各向异性（anisotropic）——$\bar{B}$ 与 $\bar{H}$ 不再同向，$\mu$ 变成张量（矩阵），典型例子是铁氧体（ferrites，第 9 章）。线性各向同性媒质下，相量形式的麦克斯韦方程组为：

$$\nabla \times \bar{E}=-j\omega \mu \bar{H}-\bar{M},\nabla \times \bar{H}=j\omega ϵ\bar{E}+\bar{J},\text{\hspace{1em}(1.27a, 1.27b)}$$

配套本构关系 $\bar{D}=ϵ\bar{E}$、$\bar{B}=\mu \bar{H}$。