第14章 电磁谜题背后的数学：傅里叶与滤波器设计

这一篇在干嘛？

EMI 滤波器设计不能靠”加大再加大”的蛮力。这一章用傅里叶级数把开关波形拆成一根根谱线，画出频谱包络，再结合 LISN 特性与 CISPR 22 限值线，算出滤波器”到底需要多少 dB”——最后给出 DM 和 CM 两个完整的实战算例。

为什么要学傅里叶：从时域波形到频谱

电源工程师普遍绕开傅里叶分析，但它其实是理解一堆关键问题的钥匙：EMI/噪声、变压器邻近损耗、PFC（功率因数校正）等等。

核心思路一句话：任何周期性波形，都可以分解成直流分量 + 一系列正弦谐波的和。开关电源里的方波、梯形波在时域看是”一个方块”，在频域看则是一根根离散的谱线（基波 $f_{SW}$、2 次谐波 $2f_{SW}$、3 次谐波……）。EMI 测试仪测到的，正是这些谱线”冒出头”的高度。我们要做的，就是画它们的包络线（envelope），并用滤波器把包络压到限值线以下。

傅里叶级数速成

以角度 $x$（周期为 $2\pi$）为变量的标准展开：

$$f(x)=\frac{1}{2}{a}_0+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_n\cos nx+b_n\sin nx\right)$$

白话：把波形写成”平均值 + 无穷多个余弦和正弦”的叠加。系数怎么求？把波形分别乘上 $\cos nx$、$\sin nx$ 再积分：

$$a_n=\frac{1}{\pi }{\int }_0^{2\pi }f(x)\cos nxdx,b_n=\frac{1}{\pi }{\int }_0^{2\pi }f(x)\sin nxdx$$

另一种更常用的合并写法——把同频的正弦、余弦合成一个带相位的余弦：

$$f(x)=\frac{1}{2}{a}_0+\sum _{n=1}^{\infty }{c}_n\cos (nx-{\varphi }_n),c_n^2=a_n^2+b_n^2,\tan {\varphi }_n=\frac{b_n}{a_n}$$

白话：$c_n$ 就是第 $n$ 次谐波的幅度，${\varphi }_n$ 是它的相位。对 EMI 而言我们只关心幅度 $|c_n|$，相位无关紧要。

复指数形式（负频率成对出现，幅度不变）：

$$f(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{d}_n{e}^{jnx},d_n=\frac{a_n-j{b}_n}{2}(n\ge 0),d_n=\frac{a_n+j{b}_n}{2}(n<0)$$

电源里真正有用的是以时间 T 为周期的版本（$T=1/f$）：

$$f(t)=\frac{1}{2}{a}_0+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_n\cos \left[\frac{2\pi nt}{T}\right]+b_n\sin \left[\frac{2\pi nt}{T}\right]\right)$$ $$a_n=\frac{2}{T}{\int }_0^{T}f(t)\cos \left[\frac{2\pi nt}{T}\right]dt,b_n=\frac{2}{T}{\int }_0^{T}f(t)\sin \left[\frac{2\pi nt}{T}\right]dt$$

数学书喜欢用角度做周期，电源书关心的是时间。换算规则很简单：$\theta \leftrightarrow 2\pi t/T$。

三个实用注记（原书反复强调）：

• 第一项就是平均值。不管书写成 $a_0/2$ 还是 $a_0$，它都是波形在一个周期内的算术平均，其他项的平均值都是零。
• 平移波形不改变谐波幅度。把波形上下挪或左右挪，级数看起来”面目全非”，但每个 $|c_n|$ 不变（平均值那项除外）。只有峰峰值或波形形状变了，$|c_n|$ 才会变——而 $|c_n|$ 才是对应可测物理量的东西。
• 先算单位高度，再按比例缩放。可以先对”高度为 1”的波形算出 $c_n$，真实波形高度（或峰峰值）为 A 时，所有系数直接乘 A 即可。

矩形波的频谱：一切从 sin(x)/x 开始

矩形波（占空比 $2\alpha /2\pi$、单位高度）的教科书展开：

$$f(\theta )=\frac{\alpha }{\pi }-\frac{2}{\pi }\left(\frac{\sin \alpha \cos \theta }{1}-\frac{\sin 2\alpha \cos 2\theta }{2}+\frac{\sin 3\alpha \cos 3\theta }{3}-\cdots \right)$$

写成紧凑形式，第 $n$ 次谐波幅度为：

$$|c_n|=\left|\frac{2\sin (n\alpha )}{n\pi }\right|$$

换到时间域，把角度域里的 $2\alpha$ 对应成开关导通时间 $t_{ON}=D\times T$，就得到矩形波傅里叶系数的最终形式：

$$|c_n|=\left|\frac{2\sin (n\pi D)}{n\pi }\right|\text{（单位高度矩形波）}$$

应用到反激变换器：MOSFET 漏极电压波形（忽略漏感尖峰和振铃）的完整展开是：

$$V_{DS}(t)=(V_{IN}+V_{OR})\times \left[D+\sum _{n=1}^{\infty }\frac{2\sin (n\pi D)}{n\pi }\cos \left(\frac{2\pi nt}{T}\right)\right]$$

白话：第一项 $(V_{IN}+V_{OR})\times D$ 是波形的平均值，后面每根谱线的幅度 = 峰峰值 $\times$ 单位高度系数。第一项里的 $(V_{IN}+V_{OR})$ 是漏极电压波形的峰峰值（导通时为 0，关断时约为 $V_{IN}+V_{OR}$）。