📘 第 5 章：连续时间信号与系统的傅里叶分析

这一篇在干嘛？

前几章我们用拉普拉斯变换把时域信号搬到了 s 域，这一章做一件更「直观」的事：把信号搬到频域，看一个信号到底由哪些频率成分组成。学完本章，你就能回答三个问题——周期信号怎么拆成谐波之和（傅里叶级数）、非周期信号怎么表示（傅里叶变换）、系统在频域里怎么描述（频率响应），并顺带理解滤波与带宽这两个工程中最常用的概念。

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• 5.1 引言
• 5.2 周期信号的傅里叶级数表示
• 5.3 傅里叶变换
• 5.4 连续时间傅里叶变换的性质
• 5.5 连续时间 LTI 系统的频率响应
• 5.6 滤波
• 5.7 带宽
• 典型习题精解
• 自测

5.1 引言

前面几章已经用拉普拉斯变换和 z 变换把时域信号转换到复频域去分析，好处是处理更方便、还能看清信号与系统的本质。本章和下一章引入另一类变换——傅里叶级数与傅里叶变换，它们把时域信号转换成频域（频谱）表示。

为什么要多学一套变换？因为频域不只是「另一种算术」，它回答了时域回答不了的问题：

• 一个信号里「含有哪些频率成分」？各占多少？
• 一个系统对「不同频率的输入」分别放大多少、相移多少？
• 滤波器为什么能「只让某些频率通过」？

本章聚焦连续时间信号与系统的傅里叶分析；离散时间版本在下一章。

5.2 周期信号的傅里叶级数表示

A. 周期信号回顾

若存在正的非零 $T$ 使得对所有 $t$ 都有

$$x(t+T)=x(t)\text{\hspace{1em}(5.1)}$$

则称 $x(t)$ 为周期信号。满足该式的最小正 $T$ 称为基波周期 $T_0$，其倒数 $f_0=1/T_0$ 称为基波频率，对应的角频率

$${\omega }_0=\frac{2\pi }{T_0}=2\pi f_0$$

称为基波角频率。两个最基本的周期信号是实正弦信号 $x(t)=\cos ({\omega }_{0}t+\varphi )$ 与复指数信号 $x(t)=e^{j{\omega }_{0}t}$。

B. 复指数傅里叶级数

核心思想：任何（满足收敛条件的）周期信号都可以分解为无穷多个复指数 $e^{jk{\omega }_{0}t}$ 的加权叠加——也就是说，周期信号的全部信息都浓缩在一串系数 $c_k$ 里。

$$x(t)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{c}_k{e}^{jk{\omega }_{0}t}\text{\hspace{1em}(5.4)}$$ $$c_k=\frac{1}{T_0}{\int }_{T_0}x(t)e^{-jk{\omega }_{0}t}dt\text{\hspace{1em}(5.5)}$$

其中 ${\int }_{T_0}$ 表示在任意一个周期上积分（常用 $0\sim T_0$ 或 $-T_0/2\sim T_0/2$）。取 $k=0$：

$$c_0=\frac{1}{T_0}{\int }_{T_0}x(t)dt\text{\hspace{1em}(5.6)}$$

易错点：$c_0$ 就是信号在一个周期内的平均值（直流分量）。求出 $c_0$ 后先用它做个 sanity check：均值不为零的信号 $c_0$ 必不为零。

当 $x(t)$ 为实信号时，由式 (5.5) 可得共轭对称性：

$$c_{-k}=c_k^{\ast }\text{\hspace{1em}(5.7)}$$

这个性质后面推导频谱奇偶性、Parseval 定理时反复用到。

C. 三角形式傅里叶级数

复指数形式在数学上最通用，但初学时更「看得见摸得着」的是三角形式：

$$x(t)=\frac{a_0}{2}+\sum _{k=1}^{\infty }\left(a_k\cos k{\omega }_{0}t+b_k\sin k{\omega }_{0}t\right)\text{\hspace{1em}(5.8)}$$ $$a_k=\frac{2}{T_0}{\int }_{T_0}x(t)\cos k{\omega }_{0}tdt\text{\hspace{1em}(5.9a)}$$ $$b_k=\frac{2}{T_0}{\int }_{T_0}x(t)\sin k{\omega }_{0}tdt\text{\hspace{1em}(5.9b)}$$

两套系数之间的换算关系：

$$\frac{a_0}{2}=c_0{a}_k=c_k+c_{-k}{b}_k=j(c_k-c_{-k})\text{\hspace{1em}(5.10)}$$ $$c_k=\frac{1}{2}(a_k-j{b}_k)c_{-k}=\frac{1}{2}(a_k+j{b}_k)\text{\hspace{1em}(5.11)}$$

当 $x(t)$ 为实时，$a_k,b_k$ 都是实数，且

$$a_k=2\mathrm{Re}[c_k]b_k=-2\mathrm{Im}[c_k]\text{\hspace{1em}(5.12)}$$

奇偶性与系数的快速判断（考试高频）：

• 若 $x(t)$ 是偶函数，则 $b_k=0$，级数只含余弦项：

$$x(t)=\frac{a_0}{2}+\sum _{k=1}^{\infty }{a}_k\cos k{\omega }_{0}t\text{\hspace{1em}(5.13)}$$

• 若 $x(t)$ 是奇函数，则 $a_k=0$，级数只含正弦项：

$$x(t)=\sum _{k=1}^{\infty }{b}_k\sin k{\omega }_{0}t\text{\hspace{1em}(5.14)}$$

所以拿到周期信号先看奇偶，能省一半工作量。

D. 谐波形式傅里叶级数

把式 (5.8) 中同频率的正弦、余弦合并，得到第三种写法：

$$x(t)=C_0+\sum _{k=1}^{\infty }{C}_k\cos (k{\omega }_{0}t-{\theta }_k)\text{\hspace{1em}(5.15)}$$

• $C_0$ 称为直流分量；
• $C_k\cos (k{\omega }_{0}t-{\theta }_k)$ 称为 $x(t)$ 的 k 次谐波分量；其中一次谐波 $C_1\cos ({\omega }_{0}t-{\theta }_1)$ 与 $x(t)$ 同周期，常称为基波分量；
• $C_k$、${\theta }_k$ 分别称为谐波幅度与相位角：

$$C_0=\frac{a_0}{2}{C}_k=\sqrt{a_k^2+b_k^2}{\theta }_k={\tan }^{-1}\frac{b_k}{a_k}\text{\hspace{1em}(5.16)}$$

三种形式在数学上完全等价，但复指数形式 (5.4) 更一般、运算更方便，后续推导几乎全用它。

E. 傅里叶级数的收敛

并非任意周期信号都能展开成傅里叶级数。若 $x(t)$ 满足以下 Dirichlet 条件，则级数收敛：

1. 在任一周期上绝对可积：

$${\int }_{T_0}|x(t)|dt<\infty \text{\hspace{1em}(5.17)}$$

2. 在 $t$ 的任意有限区间内极大值、极小值个数有限；
3. 在任意有限区间内不连续点个数有限，且每个不连续点的跳变有限。

注意：Dirichlet 条件是充分而非必要条件——不满足的信号也可能有傅里叶级数表示（如周期冲激串，见习题 5.8）。

F. 周期信号的幅度谱与相位谱

把复系数写成极坐标形式：

$$c_k=|c_k|e^{j{\varphi }_k}\text{\hspace{1em}(5.18)}$$

• $|c_k|$ 随 $\omega$ 的图形称为幅度谱；
• ${\varphi }_k$ 随 $\omega$ 的图形称为相位谱。

由于 $k$ 只能取整数，谱线只出现在离散频率 $k{\omega }_0$ 上，因此周期信号的频谱是离散谱（线谱）——这是周期信号最鲜明的特征。

对实周期信号，由 $c_{-k}=c_k^{\ast }$ 可得

$$|c_{-k}|=|c_k|{\varphi }_{-k}=-{\varphi }_k\text{\hspace{1em}(5.19)}$$

即：幅度谱是 $\omega$ 的偶函数，相位谱是 $\omega$ 的奇函数。

G. 周期信号的功率与 Parseval 恒等式

周期信号的平均功率定义为

$$P=\frac{1}{T_0}{\int }_{T_0}|x(t){|}^{2}dt\text{\hspace{1em}(5.20)}$$

将傅里叶级数代入可以证明（见习题 5.14）：

$$\frac{1}{T_0}{\int }_{T_0}|x(t){|}^{2}dt=\sum _{k=-\infty }^{\infty }|c_k{|}^2\text{\hspace{1em}(5.21)}$$

这就是傅里叶级数的 Parseval 恒等式（Parseval 定理）：时域平均功率等于所有频谱分量功率之和。每个 $|c_k{|}^2$ 就是第 $k$ 条谱线「贡献的功率」——这也是功率信号这个词在频域的具体体现。

5.3 傅里叶变换