第14章 电磁谜题背后的数学：傅里叶与滤波器设计

这一篇在干嘛？

EMI 滤波器设计不能靠”加大再加大”的蛮力。这一章用傅里叶级数把开关波形拆成一根根谱线，画出频谱包络，再结合 LISN 特性与 CISPR 22 限值线，算出滤波器”到底需要多少 dB”——最后给出 DM 和 CM 两个完整的实战算例。

为什么要学傅里叶：从时域波形到频谱

电源工程师普遍绕开傅里叶分析，但它其实是理解一堆关键问题的钥匙：EMI/噪声、变压器邻近损耗、PFC（功率因数校正）等等。

核心思路一句话：任何周期性波形，都可以分解成直流分量 + 一系列正弦谐波的和。开关电源里的方波、梯形波在时域看是”一个方块”，在频域看则是一根根离散的谱线（基波 $f_{SW}$、2 次谐波 $2f_{SW}$、3 次谐波……）。EMI 测试仪测到的，正是这些谱线”冒出头”的高度。我们要做的，就是画它们的包络线（envelope），并用滤波器把包络压到限值线以下。

傅里叶级数速成

以角度 $x$（周期为 $2\pi$）为变量的标准展开：

$$f(x)=\frac{1}{2}{a}_0+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_n\cos nx+b_n\sin nx\right)$$

白话：把波形写成”平均值 + 无穷多个余弦和正弦”的叠加。系数怎么求？把波形分别乘上 $\cos nx$、$\sin nx$ 再积分：

$$a_n=\frac{1}{\pi }{\int }_0^{2\pi }f(x)\cos nxdx,b_n=\frac{1}{\pi }{\int }_0^{2\pi }f(x)\sin nxdx$$

另一种更常用的合并写法——把同频的正弦、余弦合成一个带相位的余弦：

$$f(x)=\frac{1}{2}{a}_0+\sum _{n=1}^{\infty }{c}_n\cos (nx-{\varphi }_n),c_n^2=a_n^2+b_n^2,\tan {\varphi }_n=\frac{b_n}{a_n}$$

白话：$c_n$ 就是第 $n$ 次谐波的幅度，${\varphi }_n$ 是它的相位。对 EMI 而言我们只关心幅度 $|c_n|$，相位无关紧要。

复指数形式（负频率成对出现，幅度不变）：

$$f(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{d}_n{e}^{jnx},d_n=\frac{a_n-j{b}_n}{2}(n\ge 0),d_n=\frac{a_n+j{b}_n}{2}(n<0)$$

电源里真正有用的是以时间 T 为周期的版本（$T=1/f$）：

$$f(t)=\frac{1}{2}{a}_0+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_n\cos \left[\frac{2\pi nt}{T}\right]+b_n\sin \left[\frac{2\pi nt}{T}\right]\right)$$ $$a_n=\frac{2}{T}{\int }_0^{T}f(t)\cos \left[\frac{2\pi nt}{T}\right]dt,b_n=\frac{2}{T}{\int }_0^{T}f(t)\sin \left[\frac{2\pi nt}{T}\right]dt$$

数学书喜欢用角度做周期，电源书关心的是时间。换算规则很简单：$\theta \leftrightarrow 2\pi t/T$。

三个实用注记（原书反复强调）：

• 第一项就是平均值。不管书写成 $a_0/2$ 还是 $a_0$，它都是波形在一个周期内的算术平均，其他项的平均值都是零。
• 平移波形不改变谐波幅度。把波形上下挪或左右挪，级数看起来”面目全非”，但每个 $|c_n|$ 不变（平均值那项除外）。只有峰峰值或波形形状变了，$|c_n|$ 才会变——而 $|c_n|$ 才是对应可测物理量的东西。
• 先算单位高度，再按比例缩放。可以先对”高度为 1”的波形算出 $c_n$，真实波形高度（或峰峰值）为 A 时，所有系数直接乘 A 即可。

矩形波的频谱：一切从 sin(x)/x 开始

矩形波（占空比 $2\alpha /2\pi$、单位高度）的教科书展开：

$$f(\theta )=\frac{\alpha }{\pi }-\frac{2}{\pi }\left(\frac{\sin \alpha \cos \theta }{1}-\frac{\sin 2\alpha \cos 2\theta }{2}+\frac{\sin 3\alpha \cos 3\theta }{3}-\cdots \right)$$

写成紧凑形式，第 $n$ 次谐波幅度为：

$$|c_n|=\left|\frac{2\sin (n\alpha )}{n\pi }\right|$$

换到时间域，把角度域里的 $2\alpha$ 对应成开关导通时间 $t_{ON}=D\times T$，就得到矩形波傅里叶系数的最终形式：

$$|c_n|=\left|\frac{2\sin (n\pi D)}{n\pi }\right|\text{（单位高度矩形波）}$$

应用到反激变换器：MOSFET 漏极电压波形（忽略漏感尖峰和振铃）的完整展开是：

$$V_{DS}(t)=(V_{IN}+V_{OR})\times \left[D+\sum _{n=1}^{\infty }\frac{2\sin (n\pi D)}{n\pi }\cos \left(\frac{2\pi nt}{T}\right)\right]$$

白话：第一项 $(V_{IN}+V_{OR})\times D$ 是波形的平均值，后面每根谱线的幅度 = 峰峰值 $\times$ 单位高度系数。第一项里的 $(V_{IN}+V_{OR})$ 是漏极电压波形的峰峰值（导通时为 0，关断时约为 $V_{IN}+V_{OR}$）。

图 14-3 把”符号全同”和”符号交替”（$(-1{)}^n$）两种展开都画了出来：叠加的谐波越多，重构波形越逼真；交替符号只是把整个波形在时间轴上平移一个相位，形状不变。

关键的观察来了——把 $|c_n|=|\sin x/x|$ 画出来（先线性坐标、再对数坐标）：

• 在 $x<1$ 的范围内，$\sin (x)/x$ 基本平坦；
• 之后随 $x$ 增大而滚降，对数坐标下包络以 -20 dB/decade 下降（20 dB 就是 10 倍，decade 就是频率 ×10）。
• 对 EMI 抑制来说，奇次谐波还是偶次谐波存在根本不重要——我们只关心包络，因为滤波器要压的是包络，让它待在限值线下面。

梯形波：真实开关波形的两个拐点

矩形波是”上升时间为零”的理想化。真实 MOSFET 开关有非零的上升/下降时间，波形是梯形。设 $t_{RISE}=t_{FALL}=t_R$，幅度（峰峰值）为 A，梯形波的谐波系数为：

$$c_n=A\times \frac{2t_{ON}}{T}\times \left[\frac{\sin \left(\frac{n\pi t_R}{T}\right)}{\frac{n\pi t_R}{T}}\right]\times \left[\frac{\sin \left(\frac{n\pi t_{ON}}{T}\right)}{\frac{n\pi t_{ON}}{T}}\right]$$

白话：两个 $\sin (x)/x$ 因子相乘——一个来自导通时间 $t_{ON}$（脉宽），一个来自上升时间 $t_R$（边沿）。每个 sinc 因子在自己”管辖区”各贡献一段 -20 dB/dec 的滚降。

于是频谱包络有两个拐点（break point）：

第一个拐点：当 $\frac{n\pi t_{ON}}{T}=1$，即 $n_1=\frac{T}{\pi t_{ON}}$。由于 $n=f\times T$，对应拐点频率为：

$$f_{BREAK\_1}=\frac{1}{\pi \times t_{ON}}=\frac{0.32}{t_{ON}}\text{（第一拐点频率）}$$

第二个拐点：当 $\frac{n\pi t_R}{T}=1$，即：

$$f_{BREAK\_2}=\frac{0.32}{t_R}\text{（第二拐点频率）}$$

第二个拐点之后，两个 sinc 因子同时滚降，净斜率为 $20+20=$ -40 dB/decade。完整的包络方程（这里的 $c_n$ 已是包络值，不再是展开系数本身）：

$$c_n=20\log \left(\frac{2A}{n\pi }\right)\text{（两拐点之间，-20 dB/dec）}$$ $$c_n=20\log \left(\frac{2A}{n^2{\pi }^2{t}_R{f}_{SW}}\right)\text{（第二拐点以上，-40 dB/dec）}$$

关于第一个拐点能不能”看见”，做个小算术：

• 当 $D<\frac{1}{2\pi }=16\%$ 时，$n_1>n_2$，两个拐点次序颠倒；
• 当 $D>\frac{1}{\pi }=32\%$ 时，$n_1$ 落在 $n=1$ 和 $n=2$ 之间，包络从最低频就开始平的。

也就是说，只有占空比很窄时才可能看到第一拐点；一般情况下，包络几乎从最低频率起就以 -20 dB/dec 下斜（n 必须是整数，第一个拐点往往在物理上不明显）。

图 14-6 展示了不同占空比、频率、上升/下降时间下梯形波的频谱（灰色线是 $t_R=0$ 的矩形波极限，永远 -20 dB/dec）。每条曲线都画在传导 EMI 关注的窗口 150 kHz ~ 30 MHz 内。要点：

• 梯形波近似于 MOSFET 电流波形（高电感时的”平顶近似”），而开关电流决定 DM 噪声；
• 若 $t_{RISE}$ 很小、$t_{FALL}$很大（或反过来），包络斜率介于 -20 与 -40 dB/dec 之间；
• 图中高频端个别包络微微上翘，只是程序计算分辨率的假象，不必当真。

低频段的”免费余量”：LISN 与限值线的合谋

滤波器设计前先搞清楚：到底要压多少 dB 才够？这一节解释为什么”在最低频率处达标”就基本万事大吉。

传导 EMI 限值线（CISPR 22）在 500 kHz 以下允许越来越高的发射。更妙的是，标准 LISN 的灵敏度随频率降低而下降：阻抗从 500 kHz 处的约 50 Ω，以约 10 dB/decade 的速率降到极低频的约 5 Ω。

假设已在最低频率处达标（开关频率低于 150 kHz 时，即 150 kHz 处约 2 mV = 66 dBµV）。从低频往高频走，会发生什么：

1. LISN 灵敏度以 10 dB/dec 上升 → 读数越来越高；
2. 但 EMI 滤波器（低通，谐振频率以上典型 -40 dB/dec）越来越给力 → 压得越来越低；
3. 后者碾压前者，实测噪声以 $40-10=$ -30 dB/dec 下降（假设发射频谱平坦）；
4. 而限值线只要求我们以 -20 dB/dec 压低噪声；
5. 于是实测噪声相对限值线以 $30-20=$ 10 dB/decade 的速度越来越有余量。

结论：达标从最低频率做起即可，高频端余量自动扩大。现实中频谱上还会有寄生参数造成的零星尖峰——那些应该在板级逐个解决，而不是用一个暴力过设计的滤波器把整个频谱一起压下去。（后面的例题为简化起见忽略 LISN 灵敏度变化，相当于把这部分下降留作意外尖峰的额外余量。）

DM 滤波器设计实战（含例题）

DM（差模）噪声来自开关电流在输入大电容 ESR 上形成的压降。设 $C_{BULK}$ 很大、无 ESL、ESR 远小于 100 Ω。ESR 上的电压为 $v=ESR\times I_{SW}$；若无滤波器，LISN 收到的 DM 噪声电流为：

$$I_{LISN}=\frac{v}{100}=\frac{ESR\times I_{SW}}{100}\text{（LISN 对 DM 噪声呈 100 Ω）}$$

分析仪测的是 LISN 中一个 50 Ω 电阻上的电压：

$$V_{LISN\_DM\_NOFILTER}=I_{LISN}\times 50=\frac{ESR\times I_{SW}}{2}\text{（Volts）}$$

各拓扑的开关电流（斜坡中心值，平顶近似）：

拓扑	$I_{SW}$（开关电流）
Buck	$I_O$
Forward	$I_O\times (n_S/n_P)$
Buck-Boost	$I_O/(1-D)$
Flyback	$I_O\times (n_S/n_P)/(1-D)$
Boost	$I_O/(1-D)$

例题：5 V/15 A 反激的 DM 滤波器设计

输入 265 VAC，变压器匝比 20。输入铝电解电容：270 µF，120 Hz 下损耗角正切 $\tan \delta =0.15$，100 kHz 频率倍增系数 1.5。

第 1 步：算 ESR。 120 Hz 下由定义：

$$ES{R}_{120}=\frac{\tan \delta }{2\pi fC}=\frac{0.15\times 10^6}{2\times 3.142\times 120\times 270}=0.74\Omega$$

高频下允许纹波电流增大 1.5 倍，发热（$I^2\times ESR$）不变意味着 ESR 缩小 $1/1.5^2$：

$$ESR=\frac{1}{1.5^2}\times 0.74=0.33\Omega$$

第 2 步：算 LISN 上的 DM 噪声幅度。

$$V_{LISN\_DM\_NOFILTER}=\frac{ESR\times I_{SW}}{2}=0.17\times \frac{n_S}{n_P}\times I_O=0.13\text{V}$$

换算成分贝：$20\log (0.13/10^{-6})=102\text{dBµV}$。这就是傅里叶展开里的幅度 A。

第 3 步：算 150 kHz 处超标多少。 开关频率设为 100 kHz（刚好在 CISPR 22 限值起点之下），包络以 -20 dB/dec 下斜，150 kHz 处：

$$dB\mu V(f)=-20[\log (150)-\log (100)]+102=98\text{dBµV}$$

而限值是 66 dBµV（2 mV），超标 32 dB——这就是滤波器要提供的衰减量。

第 4 步：求滤波器转折频率。 LC 低通在其转折频率 $1/2\pi \sqrt{LC}$ 以上约 -40 dB/dec：

$$32=40\times [\log (150)-\log (f_{BREAK})]\Rightarrow \log f=\log 150-\frac{32}{40}=1.38$$ $$f=10^{1.38}=24\text{kHz}$$

第 5 步：求 LC。

$$LC={\left(\frac{1}{2\pi \times 24000}\right)}^2=4.4\times 10^{-11}{\text{s}}^2$$

取 C = 0.22 µF，则 L = 200 µH。

注：若是标准的两级离线式滤波器，要回到第 10 章图 10-1 的 DM 等效电路，弄清这个 “C” 对应原理图里哪几个 X 电容。

几个实务注记：

• 例题里梯形波的上升/下降时间拐点完全没露面——从 DM 噪声角度看，开关快慢真的影响不大。但我们忽略的寄生参数（主要是 ESL 和走线电感）会产生随频率变化的电压尖峰，所以 MOSFET 的开关过渡时间还是别压得太小。
• 例题中噪声是峰值与准峰值（quasi-peak）限值比较，本身就自带一些余量；实际还应给 CM 噪声和生产裕量留出 dB。

CM 滤波器设计实战

CM（共模）噪声的源头：MOSFET 散热器接机壳，漏极梯形电压通过寄生电容 $C_p$ 抽打大地线，形成共模电流 $I_{cm}$；寄生电容和 X 电容让电流在 L、N 两线间均分，各走 $I_{cm}/2$。LISN 对 CM 电流呈现 25 Ω 阻抗（两个 50 Ω 并联）。

方法一（快速法）：只算基波

从梯形波傅里叶系数出发，$\sin x/x\approx 1$（$x$ 很小时），占空比约 50% 时基波幅度：

$$c_1\cong \frac{2A}{\pi }=\frac{4V_{IN}}{\pi }\text{（正激：}A=2V_{IN}\text{）}$$

白话：对噪声包络和所需衰减而言，只有基波真正算数，高次谐波不用逐个算。该电压驱使电流流过 $C_p$（LISN 的 25 Ω 与 $C_p$ 容抗串联分压），LISN 上 50 Ω 电阻测得的电压为 $V_{cm}=I_{cm}\times 25$。化简后：

$$|V_{cm}|=\frac{200V_{IN}{C}_p{f}_{SW}}{\sqrt{(50\pi C_p{f}_{SW}{)}^2+1}}\text{（Volts）}$$

换成 dBµV：

$$V_{LISN\_CM\_NOFILTER}=20\log \left(\frac{|V_{cm}|}{10^{-6}}\right)=120+20\log (|V_{cm}|)\text{dBµV}$$

例：$V_{IN}=100$ V（即 $A=200$ V）、$C_p=200$ pF、$f_{SW}=100$ kHz 时，$V_{cm}=0.4$ V，即 112 dBµV。之后照 DM 的套路算出 CM 滤波器的 LC，再映射到图 10-1 里的 $L_{cm}$ 和 Y 电容。

方法二（详细法）：完整的谐波内容

对 $C_p$ 上注入的电流波形做拉普拉斯分析可知其边沿是指数形的（“25”来自 LISN 对 CM 的 25 Ω 阻抗）。按 Mark Nave 的论文，对测量电压做傅里叶分析（设 $t_{RISE}=t_{FALL}$）：

$$V_{cm}=\frac{50V_{max}{C}_p}{T}\left[\frac{\sin \left(\frac{n\pi t_R}{T}\right)}{\frac{n\pi t_R}{T}}\right]\left[e^{-jn\pi \left(\frac{t_{RISE}}{T}\right)}-e^{-jn\pi \left(\frac{t_{RISE}}{T}+2D\right)}\right]$$

白话：sinc 因子在拐点 $f=1/(\pi t_{RISE})$ 之后贡献 -20 dB/dec 滚降；最右边的方括号项本身不滚降，幅度在 0 和 2 之间摆动——取包络就粗暴地取最大值 2：

$$V_{cm}=\frac{100V_{max}{C}_p}{T}\left[\frac{\sin \left(\frac{n\pi t_R}{T}\right)}{\frac{n\pi t_R}{T}}\right]$$

于是包络起初平坦（“基座”pedestal），拐点之后 -20 dB/dec。基座高度令 $\sin x/x\approx 1$：

$$V_{cm}=100\times V_{max}\times C_p\times f_{SW}$$

代入同一组数：$100\times 200\times 200\times 10^{-12}/10^{-5}=0.4$ V = 112 dBµV——与方法一完全一致。

CM 噪声的关键结论：

• 包络起初总是平坦的，固定在 $100V_{max}{C}_p{f}_{SW}$；在 $f=1/(\pi t_{RISE})$ 拐点之后才以 -20 dB/dec 滚降。
• 基座（平坦段）与上升/下降时间无关——与大众直觉相反。包络确实会变，但不在低频端；而 EMI 滤波器设计恰恰从低频端起步，后面的滚降根本帮不上忙。

常见坑

• 只盯着高频端猛压噪声：低频（150 kHz~500 kHz）才是传导 EMI 最难达标的频段，达标必须从最低频率做起。
• 把滤波器做成”暴力过设计”：LISN 低频灵敏度下降和限值线抬升自带约 10 dB/dec 的免费余量，个别高频尖峰应回板级逐个治理。
• 忘记 ESR 是频率的函数：手册给的 ESR 是 120 Hz 值，开关频率下要用频率倍增系数换算（例题里 0.74 Ω → 0.33 Ω，差一倍多）。
• 以为把 MOSFET 开关放慢对 EMI 没影响：DM 和 CM 的低频包络确实与 $t_R$ 无关，但 ESL 和走线电感会产生频率相关的尖峰，过渡时间也别开太小。
• CM 计算忘记 LISN 对共模是 25 Ω（两个 50 Ω 并联）、电流在 L/N 各分流一半。

通关标准：

• 能不看书说出：矩形波包络 -20 dB/dec，梯形波两个拐点 $0.32/t_{ON}$ 与 $0.32/t_R$，之后 -40 dB/dec；
• 能独立完成 DM 例题全流程：ESR 换算 → $V_{LISN}=ESR\cdot I_{SW}/2$ → dBµV → 150 kHz 超标量 → 40 dB/dec 反推 $f_{BREAK}$ → LC 取值；
• 能说出 CM 包络基座 = $100V_{max}{C}_p{f}_{SW}$，且解释它与上升时间无关的原因；
• 能解释”为什么达标从最低频率做起”背后的 30 vs 20 dB/dec 账。

自测：为什么波形左右平移后傅里叶级数"看起来变了"，却不影响 EMI？

因为各谐波的相位 ${\varphi }_n$ 变了，但幅度 $|c_n|$ 完全不变。EMI 测的是各谐波幅度（包络），相位不可测也不影响滤波器设计。只有峰峰值或波形形状改变才会改变 $|c_n|$。

自测：梯形波的两个拐点频率怎么求？分别在什么条件下"可见"？

$f_{BREAK\_1}=0.32/t_{ON}$（来自脉宽 sinc 因子），$f_{BREAK\_2}=0.32/t_R$（来自边沿 sinc 因子）。只有 D < 16% 时第一拐点可能跑到第二拐点之后，D > 32% 时第一拐点落在 n=1 与 n=2 之间；一般占空比下第一拐点在物理上不明显（n 必须为整数），包络几乎从最低频就以 -20 dB/dec 下斜。

自测：DM 例题中为什么 150 kHz 只比 100 kHz 高半个十倍频，噪声却从 102 只降到 98 dBµV？

因为包络斜率是 -20 dB/dec：$\log (150/100)=0.176$ 个十倍频，$20\times 0.176\approx 3.5$ dB，所以 $102-3.5\approx 98$ dBµV。超标量 = 98 − 66 = 32 dB，交给 -40 dB/dec 的 LC 滤波器去补。

自测：CM 噪声的"基座"高度取决于哪些量？把 MOSFET 开关放慢能不能降低它？

基座 = $100V_{max}{C}_p{f}_{SW}$，只取决于漏极电压摆幅 $V_{max}$、散热器对机壳的寄生电容 $C_p$ 和开关频率。放慢开关只在拐点 $1/(\pi t_{RISE})$ 之后才有滚降，对低频基座毫无帮助——要降 CM 基座得减小 $C_p$（如散热器不接机壳或加屏蔽）或降低 $f_{SW}$。

自测：无滤波器时 LISN 测到的 DM 噪声电压公式是什么？为什么系数是 ESR×I_SW/2？

$V=(ESR\times I_{SW}/100)\times 50=ESR\times I_{SW}/2$。开关电流在 ESR 上产生压降，LISN 对 DM 呈 100 Ω（L、N 各 50 Ω 串联视入），电流分到 100 Ω 上，而分析仪只测其中一条 50 Ω 支路的电压，所以是压降的一半。