📘 第 8 章：向量空间的几何

本篇在干嘛

前面各章我们主要在”代数”地使用向量：求线性组合、解方程组、做正交化。第 8 章换一个视角——把向量看作点，把某些向量集合看作线段、多边形、立体等几何对象。核心手段是对线性组合的”权重”逐步加限制：

• 8.1 仿射组合：权重之和为 $1$；
• 8.2 仿射无关与重心坐标：权重唯一，用于计算机图形学插值；
• 8.3 凸组合：权重之和为 $1$ 且全部非负，得到凸集与凸包；
• 8.4 超平面：用一个线性方程 $\mathbf{n}\cdot \mathbf{x}=d$ 隐式描述，用于”分隔”两个集合；
• 8.5 多面体：凸包与顶点、面、支撑超平面，以及欧拉公式；
• 8.6 曲线与曲面：贝塞尔曲线，字体、CAD 和计算机图形学的数学基础。

全部内容对应 Lay《Linear Algebra and its Applications》第 5 版第 8 章，例题与练习题讲解完整保留。虽然画图都在 ${\mathbb{R}}^2,{\mathbb{R}}^3$，但所有概念对 ${\mathbb{R}}^n$ 乃至一般向量空间都成立。

开篇引入：柏拉图立体

公元前 387 年，柏拉图在雅典创立学园，门口刻着”不懂几何者不得入内”。希腊人痴迷于正多面体：所有面都是全等的正多边形、所有顶点处角度都相等。毕达哥拉斯学派早已知道四面体（4 个三角形面）、正方体（6 个正方形面）、八面体（8 个三角形面），它们以矿物晶体的形式自然存在。这类正多面体总共只有五种，剩下两种是十二面体（12 个五边形面）和二十面体（20 个三角形面），柏拉图在《蒂迈欧篇》中讨论了它们的理论，因此合称柏拉图立体。

图 8-1：自然界中以正多面体形状出现的矿物晶体

图 8-2：五种柏拉图立体

几个世纪里人们不需要想象三维以上的几何对象，但今天的数学家经常处理四维、五维甚至上百维向量空间中的对象。哪些二维、三维的几何性质可以推广到高维？本章给出部分答案：8.1 和 8.4 节刻画”直线”与”平面”的高维推广（超平面，第 9 章线性规划的基础）；8.5 节用投影的方式”看”四维的”立方体”与”单纯形”；8.2 和 8.6 节包含计算机图形学应用；8.5 节习题还给出了 ${\mathbb{R}}^3$ 中正多面体只有五种的一个证明思路。

8.1 仿射组合

什么是仿射组合

给定 ${\mathbb{R}}^n$ 中的向量（点）${\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2,\dots ,{\mathbf{v}}_p$ 与标量 $c_1,\dots ,c_p$，若线性组合

$$c_1{\mathbf{v}}_1+\cdots +c_p{\mathbf{v}}_p$$

的权重满足 $c_1+\cdots +c_p=1$，就称它为 ${\mathbf{v}}_1,\dots ,{\mathbf{v}}_p$ 的一个仿射组合。

定义（仿射包）：集合 $S$ 中各点的全部仿射组合构成的集合，称为 $S$ 的仿射包（或仿射张成），记作 $\mathrm{aff}S$。

直观理解：普通线性组合允许权重任意，因此永远包含原点、可以”张满”整个子空间；仿射组合把权重总和锁定为 $1$，等于砍掉了”缩放原点”的自由度，得到的不再是一个过原点的子空间，而是一个平移过的几何对象。

单个点 ${\mathbf{v}}_1$ 的仿射包就是 $\{{\mathbf{v}}_1\}$（权重只能取 $c_1=1$）。两个不同点的仿射包有特别的形式：设 $\mathbf{y}=c_1{\mathbf{v}}_1+c_2{\mathbf{v}}_2$，$c_1+c_2=1$，令 $t=c_2$，则 $c_1=1-t$，于是

$$\mathbf{y}=(1-t){\mathbf{v}}_1+t{\mathbf{v}}_2,t\in \mathbb{R}$$

当 $t=0$ 时得 ${\mathbf{v}}_1$，$t=1$ 时得 ${\mathbf{v}}_2$。把它改写成

$$\mathbf{y}={\mathbf{v}}_1+t({\mathbf{v}}_2-{\mathbf{v}}_1)=\mathbf{p}+t\mathbf{u}$$

其中 $\mathbf{p}={\mathbf{v}}_1$，$\mathbf{u}={\mathbf{v}}_2-{\mathbf{v}}_1$。这就是第 1.5 节见过的直线参数方程：过原点的直线 $\mathrm{Span}\{\mathbf{u}\}$ 整体平移 $\mathbf{p}$ 之后，就得到过 ${\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2$ 的直线。

图 8-3：$\mathbf{y}=\mathbf{p}+t\mathbf{u}$ 是把 $\mathrm{Span}\{\mathbf{u}\}$ 平移 $\mathbf{p}$ 得到的直线

图 8-4：$\mathrm{aff}\{{\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2\}$ 就是过 ${\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2$ 的整条直线

注意图中 $\mathbf{y}$ 是 ${\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2$ 的仿射组合，而 $\mathbf{y}-{\mathbf{v}}_1=t({\mathbf{v}}_2-{\mathbf{v}}_1)$ 是平移后向量的线性组合。这个”减掉一个基准点就把仿射问题变成线性问题”的想法，正是下面定理的内容。

定理 1：仿射组合 ⟺ 平移后的线性组合

${\mathbb{R}}^n$ 中的点 $\mathbf{y}$ 是 ${\mathbf{v}}_1,\dots ,{\mathbf{v}}_p$ 的仿射组合，当且仅当 $\mathbf{y}-{\mathbf{v}}_1$ 是平移向量 ${\mathbf{v}}_2-{\mathbf{v}}_1,\dots ,{\mathbf{v}}_p-{\mathbf{v}}_1$ 的线性组合。

证明思路：若 $\mathbf{y}-{\mathbf{v}}_1=c_2({\mathbf{v}}_2-{\mathbf{v}}_1)+\cdots +c_p({\mathbf{v}}_p-{\mathbf{v}}_1)$，展开整理得

$$\mathbf{y}=(1-c_2-\cdots -c_p){\mathbf{v}}_1+c_2{\mathbf{v}}_2+\cdots +c_p{\mathbf{v}}_p$$

各权重之和恰为 $1$，故 $\mathbf{y}$ 是仿射组合。反过来，从 $\mathbf{y}=c_1{\mathbf{v}}_1+\cdots +c_p{\mathbf{v}}_p$（权重和为 $1$）出发，用 $c_1=1-c_2-\cdots -c_p$ 移项即得前一式。∎

定理中的基准点 ${\mathbf{v}}_1$ 可以换成列表中的任何一个点，只是记号变化。这是判断”某点是否在仿射包里”的标准算法：全部减去 ${\mathbf{v}}_1$，然后做普通的行化简判线性组合。

例 1

设 ${\mathbf{v}}_1=\left[\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right],{\mathbf{v}}_2=\left[\begin{array}{c}2\\ 5\end{array}\right],{\mathbf{v}}_3=\left[\begin{array}{c}1\\ 3\end{array}\right],{\mathbf{v}}_4=\left[\begin{array}{c}-2\\ 2\end{array}\right],\mathbf{y}=\left[\begin{array}{c}4\\ 1\end{array}\right]$。若可能，把 $\mathbf{y}$ 写成 ${\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2,{\mathbf{v}}_3,{\mathbf{v}}_4$ 的仿射组合。

解 先算平移点：

$${\mathbf{v}}_2-{\mathbf{v}}_1=\left[\begin{array}{c}1\\ 3\end{array}\right],{\mathbf{v}}_3-{\mathbf{v}}_1=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right],{\mathbf{v}}_4-{\mathbf{v}}_1=\left[\begin{array}{c}-3\\ 0\end{array}\right],\mathbf{y}-{\mathbf{v}}_1=\left[\begin{array}{c}3\\ -1\end{array}\right]$$

求标量 $c_2,c_3,c_4$ 使 $c_2({\mathbf{v}}_2-{\mathbf{v}}_1)+c_3({\mathbf{v}}_3-{\mathbf{v}}_1)+c_4({\mathbf{v}}_4-{\mathbf{v}}_1)=\mathbf{y}-{\mathbf{v}}_1$，对增广矩阵行化简：

$$\left[\begin{array}{cccc}1& 0& -3& 3\\ 3& 1& 0& -1\end{array}\right]\sim \left[\begin{array}{cccc}1& 0& -3& 3\\ 0& 1& 9& -10\end{array}\right]$$

方程组相容，通解为 $c_2=3c_4+3,c_3=-9c_4-10$，$c_4$ 为自由变量。取 $c_4=0$：

$$\mathbf{y}-{\mathbf{v}}_1=3({\mathbf{v}}_2-{\mathbf{v}}_1)-10({\mathbf{v}}_3-{\mathbf{v}}_1)+0({\mathbf{v}}_4-{\mathbf{v}}_1)$$

从而

$$\mathbf{y}=8{\mathbf{v}}_1+3{\mathbf{v}}_2-10{\mathbf{v}}_3$$

（验证权重和：$8+3-10=1$ ✓。）再取 $c_4=1$，得 $c_2=6,c_3=-19$，于是

$$\mathbf{y}=13{\mathbf{v}}_1+6{\mathbf{v}}_2-19{\mathbf{v}}_3+{\mathbf{v}}_4$$

这说明表示不唯一——自由变量提供了无穷多种写法。

常见坑

“能不能表示成仿射组合”判断的是相容性；解不唯一是常态，不要被”答案不唯一”吓到。另外权重可以是负数、可以大于 1——只要总和为 1 就行，这是仿射与后面”凸”的关键区别。

若所选点恰好是 ${\mathbb{R}}^n$ 的一组基 $B=\{{\mathbf{b}}_1,\dots ,{\mathbf{b}}_n\}$，问题更直接：任何 $\mathbf{y}$ 都有唯一的线性组合 $\mathbf{y}=c_1{\mathbf{b}}_1+\cdots +c_n{\mathbf{b}}_n$，而这个组合是仿射组合当且仅当权重之和为 $1$（这些权重就是 $\mathbf{y}$ 的 $B$-坐标，见 4.4 节）。

例 2

设 ${\mathbf{b}}_1=\left[\begin{array}{c}4\\ 0\\ 3\end{array}\right],{\mathbf{b}}_2=\left[\begin{array}{c}0\\ 4\\ 2\end{array}\right],{\mathbf{b}}_3=\left[\begin{array}{c}5\\ 2\\ 4\end{array}\right],{\mathbf{p}}_1=\left[\begin{array}{c}2\\ 0\\ 0\end{array}\right],{\mathbf{p}}_2=\left[\begin{array}{c}1\\ 2\\ 2\end{array}\right]$。已知 $B=\{{\mathbf{b}}_1,{\mathbf{b}}_2,{\mathbf{b}}_3\}$ 是 ${\mathbb{R}}^3$ 的基，判断 ${\mathbf{p}}_1,{\mathbf{p}}_2$ 是否为 $B$ 中点的仿射组合。