📘 第 5 章：特征值与特征向量

Note

本篇是《Linear Algebra and its Applications》(David C. Lay, 5th Edition) 第 5 章 Eigenvalues and Eigenvectors 的中文初学者精讲笔记。这一章要回答的核心问题是：一个矩阵 $A$ 作用在向量上时，是否有些”特殊方向”上的向量只会被拉伸或压缩、不改变方向？答案是肯定的，这些方向就叫特征向量，拉伸倍数叫特征值。找到它们之后，矩阵的幂 $A^k$、离散动力系统 ${\mathbf{x}}_{k+1}=A{\mathbf{x}}_k$ 的长期行为、微分方程组 ${\mathbf{x}}^{\prime }=A\mathbf{x}$ 的解，全都会变得一目了然。全章例题、练习题（Practice Problems）均完整保留并逐步讲解；本节习题列表见原书。

引入例：动力系统与斑点猫头鹰

图 5-1：北方斑点猫头鹰——本章引入例研究的物种

1990 年，北方斑点猫头鹰成为美国太平洋西北地区森林政策争论的焦点：环保主义者认为若继续砍伐老生林，猫头鹰将面临灭绝；木材行业则担心数十万个工作岗位流失。数学生态学家因此加紧研究猫头鹰种群的动力学。

猫头鹰的一生分为三个阶段：幼鸟（1 岁以内）、亚成鸟（1~2 岁）、成鸟（2 岁以上）。按年统计雌性数量，令 ${\mathbf{x}}_k=(j_k,s_k,a_k)$ 表示第 $k$ 年三个阶段的雌鸟数量。Lamberson 等人根据野外数据建立了如下阶段矩阵模型：

$$\left[\begin{array}{c}{j}_{k+1}\\ s_{k+1}\\ a_{k+1}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0.33\\ 0.18& 0& 0\\ 0& 0.71& 0.94\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{j}_k\\ s_k\\ a_k\end{array}\right]$$

含义：每对成鸟平均每年新增 0.33 只幼鸟；18% 的幼鸟能活到亚成鸟阶段；71% 的亚成鸟与 94% 的成鸟继续存活为成鸟。这是一个形如

$${\mathbf{x}}_{k+1}=A{\mathbf{x}}_k$$

的**（离散线性）动力系统**。模型中受森林砍伐影响最大的就是 0.18 这个幼鸟存活率。5.6 节将证明：在上述参数下模型预测猫头鹰终将灭绝；但若把幼鸟找到新领地的比例提高到 50%，种群反而会繁荣。答案的钥匙，正是本章的特征值与特征向量。

5.1 特征向量与特征值

变换 $\mathbf{x}\mapsto A\mathbf{x}$ 会把向量搬向各种方向，但常常存在一些特殊向量，$A$ 对它们的作用非常简单——只做伸缩。

例 1 设 $A=\left[\begin{array}{cc}3& -2\\ 1& 0\end{array}\right]$，$\mathbf{u}=\left[\begin{array}{c}-1\\ 1\end{array}\right]$，$\mathbf{v}=\left[\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right]$。则 $A\mathbf{v}=2\mathbf{v}$：$A$ 作用在 $\mathbf{v}$ 上只是把它”拉伸”为原来的 2 倍，方向不变。

图 5-2：矩阵 $A$ 乘法对 $\mathbf{u}$ 和 $\mathbf{v}$ 的不同作用

还记得 4.9 节的结论吗？若 $A$ 是随机矩阵，其稳态向量 $\mathbf{q}$ 满足 $A\mathbf{q}=1\cdot \mathbf{q}$。这说明”稳态向量”其实就是即将定义的特征向量的特例。本节研究形如

$$A\mathbf{x}=2\mathbf{x}\text{或}A\mathbf{x}=-4\mathbf{x}$$

的方程：某些特殊向量被 $A$ 变换成了自己的数量倍。

定义：$n\times n$ 矩阵 $A$ 的特征向量是非零向量 $\mathbf{x}$，使得对某个标量 $\lambda$ 有 $A\mathbf{x}=\lambda \mathbf{x}$。若方程 $A\mathbf{x}=\lambda \mathbf{x}$ 有非平凡解，则标量 $\lambda$ 称为 $A$ 的特征值，这个 $\mathbf{x}$ 称为对应于 $\lambda$ 的特征向量。

Warning

特征向量必须非零。零向量对任何 $\lambda$ 都满足 $A0=\lambda 0$，若允许零向量，“特征值”就失去意义了。另外，一个特征向量只对应一个特征值；但一个特征值可以对应无穷多个特征向量（它们的任意非零倍数都还是特征向量）。

判断”某个向量是不是特征向量""某个数是不是特征值”都很容易：直接验证定义即可。

图 5-3：$A\mathbf{u}=-4\mathbf{u}$ 是特征向量，而 $A\mathbf{v}$ 不是 $\mathbf{v}$ 的倍数

例 2 设 $A=\left[\begin{array}{cc}1& 6\\ 5& 2\end{array}\right]$，$\mathbf{u}=\left[\begin{array}{c}6\\ -5\end{array}\right]$，$\mathbf{v}=\left[\begin{array}{c}3\\ -2\end{array}\right]$。$\mathbf{u}$ 和 $\mathbf{v}$ 是 $A$ 的特征向量吗？

解：

$$A\mathbf{u}=\left[\begin{array}{cc}1& 6\\ 5& 2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}6\\ -5\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-24\\ 20\end{array}\right]=-4\left[\begin{array}{c}6\\ -5\end{array}\right]=-4\mathbf{u}$$ $$A\mathbf{v}=\left[\begin{array}{cc}1& 6\\ 5& 2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}3\\ -2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-9\\ 11\end{array}\right]\ne \lambda \left[\begin{array}{c}3\\ -2\end{array}\right]$$

所以 $\mathbf{u}$ 是对应于特征值 $-4$ 的特征向量，而 $\mathbf{v}$ 不是特征向量，因为 $A\mathbf{v}$ 不是 $\mathbf{v}$ 的倍数。■

例 3 证明 7 是例 2 中矩阵 $A$ 的特征值，并求出相应的特征向量。

解：7 是 $A$ 的特征值当且仅当方程

$$A\mathbf{x}=7\mathbf{x}\text{\hspace{1em}(1)}$$

有非平凡解。把 (1) 改写为 $A\mathbf{x}-7\mathbf{x}=0$，即

$$(A-7I)\mathbf{x}=0\text{\hspace{1em}(2)}$$

为解这个齐次方程，构造矩阵

$$A-7I=\left[\begin{array}{cc}1& 6\\ 5& 2\end{array}\right]-\left[\begin{array}{cc}7& 0\\ 0& 7\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}-6& 6\\ 5& -5\end{array}\right]$$

$A-7I$ 的两列显然线性相关，所以 (2) 有非平凡解，故 7 是特征值。用行化简求特征向量：

$$\left[\begin{array}{ccc}-6& 6& 0\\ 5& -5& 0\end{array}\right]\sim \left[\begin{array}{ccc}1& -1& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right]$$

通解形如 $x_2\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right]$。凡此形式且 $x_2\ne 0$ 的向量都是对应于 $\lambda =7$ 的特征向量。■

Warning

行化简可以用来求特征向量（解 $(A-\lambda I)\mathbf{x}=0$），但不能用来求特征值：把 $A$ 化成阶梯形后，阶梯形矩阵的对角元一般不再是原矩阵的特征值。行变换会改变特征值！求特征值必须走 5.2 节的特征方程路线。

把 (1)(2) 的等价性推广到任意 $\lambda$：$\lambda$ 是 $n\times n$ 矩阵 $A$ 的特征值当且仅当方程

$$(A-\lambda I)\mathbf{x}=0\text{\hspace{1em}(3)}$$

有非平凡解。(3) 的全部解构成的集合恰好是矩阵 $A-\lambda I$ 的零空间，它是 ${\mathbb{R}}^n$ 的子空间，称为 $A$ 对应于 $\lambda$ 的特征空间。特征空间由零向量和所有对应于 $\lambda$ 的特征向量组成。

由例 2 和例 3：对应 $\lambda =7$ 的特征空间是过 $(1,1)$ 与原点的直线；对应 $\lambda =-4$ 的特征空间是过 $(6,-5)$ 的直线。下图展示了这两个特征空间以及 $\mathbf{x}\mapsto A\mathbf{x}$ 在其上的几何作用。

图 5-4：$\lambda =-4$ 与 $\lambda =7$ 对应的特征空间（$A$ 在每条直线上只做伸缩）

例 4 设 $A=\left[\begin{array}{ccc}4& -1& 6\\ 2& 1& 6\\ 2& -1& 8\end{array}\right]$，已知 2 是 $A$ 的一个特征值，求相应特征空间的一组基。

解：构造

$$A-2I=\left[\begin{array}{ccc}4& -1& 6\\ 2& 1& 6\\ 2& -1& 8\end{array}\right]-\left[\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& 2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}2& -1& 6\\ 2& -1& 6\\ 2& -1& 6\end{array}\right]$$

对 $(A-2I)\mathbf{x}=0$ 的增广矩阵做行化简：

$$\left[\begin{array}{cccc}2& -1& 6& 0\\ 2& -1& 6& 0\\ 2& -1& 6& 0\end{array}\right]\sim \left[\begin{array}{cccc}2& -1& 6& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$$

出现自由变量，说明 2 确实是特征值。通解为

$$\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right]=x_2\left[\begin{array}{c}1/2\\ 1\\ 0\end{array}\right]+x_3\left[\begin{array}{c}-3\\ 0\\ 1\end{array}\right],x_2,x_3\text{ 为自由变量}$$

特征空间是 ${\mathbb{R}}^3$ 的二维子空间（一个过原点的平面），一组基为

$$\left\{\left[\begin{array}{c}1\\ 2\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}-3\\ 0\\ 1\end{array}\right]\right\}$$

图 5-5：$A$ 在整个特征空间（平面）上起到拉伸作用

数值注记

例 4 展示了”特征值已知时手工求特征向量”的好方法。用软件对指定的 $\lambda$ 做行化简求特征空间通常也可行，但不完全可靠：舍入误差偶尔会导致阶梯形主元个数出错。成熟的程序会把特征值和特征向量的近似同时计算出来。

定理 1：三角矩阵的特征值就是其主对角线上的元素。

证明：以 $3\times 3$ 上三角为例：

$$A-\lambda I=\left[\begin{array}{ccc}{a}_{11}-\lambda & a_{12}& a_{13}\\ 0& a_{22}-\lambda & a_{23}\\ 0& 0& a_{33}-\lambda \end{array}\right]$$

$\lambda$ 是特征值当且仅当 $(A-\lambda I)\mathbf{x}=0$ 有非平凡解，即方程有自由变量。由于 $A-\lambda I$ 的零结构，方程有自由变量当且仅当对角线上至少有一个元素为零，即 $\lambda$ 等于某个 $a_{ii}$。下三角情形见原书习题 28（利用 $A$ 与 $A^T$ 特征值相同）。■

例 5 设 $A=\left[\begin{array}{ccc}3& 6& -8\\ 0& 0& 6\\ 0& 0& 2\end{array}\right]$，$B=\left[\begin{array}{ccc}4& 0& 0\\ -2& 1& 0\\ 5& 3& 4\end{array}\right]$。$A$ 的特征值为 3、0、2（上三角），$B$ 的特征值为 4 和 1（下三角，4 重复出现）。■

特征值为 0 意味着什么？$0$ 是 $A$ 的特征值当且仅当 $A\mathbf{x}=0\cdot \mathbf{x}$ 即 $A\mathbf{x}=0$ 有非平凡解，当且仅当 $A$ 不可逆。这条事实会加入 5.2 节的可逆矩阵定理。

定理 2：若 ${\mathbf{v}}_1,\dots ,{\mathbf{v}}_r$ 是 $n\times n$ 矩阵 $A$ 的互不相同特征值 ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_r$ 对应的特征向量，则集合 $\{{\mathbf{v}}_1,\dots ,{\mathbf{v}}_r\}$ 线性无关。

证明（反证法）：假设其线性相关。因 ${\mathbf{v}}_1\ne 0$，取最小的下标 $p$ 使 ${\mathbf{v}}_{p+1}$ 是前面（线性无关的）向量的线性组合：