📘 第 3 章：行列式

本篇在干嘛

本篇是《Linear Algebra and its Applications》（David C. Lay，第 5 版）第 3 章 Determinants（行列式） 的中文初学者精讲笔记。前两章里，行列式只是 $2\times 2$ 矩阵判断可逆的一个小工具；这一章把它推广到任意 $n\times n$ 矩阵，并回答三个问题：行列式怎么算（3.1 余因子展开）、行列式有什么性质（3.2 行运算与乘法性质）、行列式有什么用（3.3 克莱默法则、逆矩阵公式、面积与体积）。全部例题来自原书，配有逐步解答。

章首有一个有趣的开篇故事：物理学家费曼在普林斯顿读研究生时观察蚂蚁觅食，发现蚂蚁靠”留下路径、跟着路径走”来导航。设想把蚂蚁放到一个金属丝焊成的球面上，它在每个交叉点只能向左或向右。为了记录蚂蚁在球面上的路线，人们需要把球面”摊平”画成平面地图——而地图靠近”极点”的区域会被放大变形。放大了多少倍？ 这个问题的答案恰好就是本章的主角：行列式。

图 3-1：章首引入示例——蚂蚁在金属丝球面上爬行，其路线映射到平面地图时会产生的面积变形问题

蚂蚁路径问题与地图面积变形问题，都能用行列式回答。此外，3.2 节会给出”方阵可逆 $\iff$ 行列式非零”这一关键判据（第 5 章的核心工具），3.3 节会说明行列式如何度量线性变换对面积/体积的缩放——这正是多元微积分中雅可比行列式的雏形。

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3.1 行列式入门

从 $2\times 2$ 到 $3\times 3$：为什么要这样定义？

第 2 章我们已知：$2\times 2$ 矩阵可逆 $⟺$ 其行列式 $\det A=a_{11}{a}_{22}-a_{12}{a}_{21}\ne 0$。现在要把”行列式”推广到更大的方阵。

思路是观察一个可逆的 $3\times 3$ 矩阵 $A=[a_{ij}]$（设 $a_{11}\ne 0$）在做行变换时会留下什么”不变量”。把第 2、3 行各乘以 $a_{11}$，再用第一行消去下面两行的第一个元素，$A$ 行等价于：

$$\left[\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{11}{a}_{21}& a_{11}{a}_{22}& a_{11}{a}_{23}\\ a_{11}{a}_{31}& a_{11}{a}_{32}& a_{11}{a}_{33}\end{array}\right]\sim \left[\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ 0& a_{11}{a}_{22}-a_{12}{a}_{21}& a_{11}{a}_{23}-a_{13}{a}_{21}\\ 0& a_{11}{a}_{32}-a_{12}{a}_{31}& a_{11}{a}_{33}-a_{13}{a}_{31}\end{array}\right]$$

继续消元（不妨设 $(2,2)$ 位置非零，否则先做一次行交换），最终会把 $A$ 化成上三角矩阵，其右下角元素是 $a_{11}\Delta$，其中

$$\Delta =a_{11}{a}_{22}{a}_{33}+a_{12}{a}_{23}{a}_{31}+a_{13}{a}_{21}{a}_{32}-a_{11}{a}_{23}{a}_{32}-a_{12}{a}_{21}{a}_{33}-a_{13}{a}_{22}{a}_{31}$$

由于 $A$ 可逆，化简后的三角矩阵也可逆，所以 $\Delta$ 必须非零；反过来（3.2 节会证明）$\Delta \ne 0$ 也能保证 $A$ 可逆。这个 $\Delta$ 就叫 $3\times 3$ 矩阵 $A$ 的行列式。

约定：$1\times 1$ 矩阵 $A=[a_{11}]$ 的行列式定义为 $\det A=a_{11}$；$2\times 2$ 的就是上面那个交叉相乘相减的式子。

把 $\Delta$ 的六项按第一行元素分组，可以改写成

$$\Delta =a_{11}\cdot \det \left[\begin{array}{cc}{a}_{22}& a_{23}\\ a_{32}& a_{33}\end{array}\right]-a_{12}\cdot \det \left[\begin{array}{cc}{a}_{21}& a_{23}\\ a_{31}& a_{33}\end{array}\right]+a_{13}\cdot \det \left[\begin{array}{cc}{a}_{21}& a_{22}\\ a_{31}& a_{32}\end{array}\right]$$

这正是”用小行列式定义大行列式”的递归入口。

子矩阵与递归定义

对任意方阵 $A$，记 $A_{ij}$ 为划去 $A$ 的第 $i$ 行、第 $j$ 列后剩下的子矩阵。例如

$$A=\left[\begin{array}{cccc}1& -2& 5& 0\\ 2& 0& 4& -1\\ 3& 1& 0& 7\\ 0& 4& -2& 0\end{array}\right]$$

划去第 3 行和第 2 列，得

$$A_{32}=\left[\begin{array}{ccc}1& 5& 0\\ 2& 4& -1\\ 0& -2& 0\end{array}\right]$$

于是有了正式定义：

定义（行列式） 对 $n\ge 2$，$n\times n$ 矩阵 $A=[a_{ij}]$ 的行列式是 $n$ 项 $\pm a_{1j}\det A_{1j}$ 之和，正负号交替出现，元素 $a_{11},a_{12},\dots ,a_{1n}$ 取自 $A$ 的第一行：

$$\det A=a_{11}\det A_{11}-a_{12}\det A_{12}+\cdots +(-1{)}^{1+n}{a}_{1n}\det A_{1n}=\sum _{j=1}^n(-1{)}^{1+j}{a}_{1j}\det A_{1j}$$

说白了：$n$ 阶行列式 = 第一行每个元素 ×（划掉该元素所在行列后的 $n-1$ 阶行列式），符号一正一负交替。$n=3$ 时用到 $2\times 2$ 行列式，$n=4$ 时用到 $3\times 3$ 行列式……一路递归到 $2\times 2$，而 $2\times 2$ 我们会直接算。

例 1 计算 $A=\left[\begin{array}{ccc}1& 5& 0\\ 2& 4& -1\\ 0& -2& 0\end{array}\right]$ 的行列式。

解 按 $\det A=a_{11}\det A_{11}-a_{12}\det A_{12}+a_{13}\det A_{13}$ 展开：

$$\det A=1\cdot \det \left[\begin{array}{cc}4& -1\\ -2& 0\end{array}\right]-5\cdot \det \left[\begin{array}{cc}2& -1\\ 0& 0\end{array}\right]+0\cdot \det \left[\begin{array}{cc}2& 4\\ 0& -2\end{array}\right]=1(0-2)-5(0-0)+0(-4-0)=-2$$

行列式还有一种常见记号：把方括号换成一对竖线。例 1 可以写成

$$\det A=1\left|\begin{array}{cc}4& -1\\ -2& 0\end{array}\right|-5\left|\begin{array}{cc}2& -1\\ 0& 0\end{array}\right|+0\left|\begin{array}{cc}2& 4\\ 0& -2\end{array}\right|=\cdots =-2$$

代数余子式：沿任意行或列展开

为了把定义写得更紧凑，引入 $(i,j)$ 位置的代数余子式（cofactor）：

$$C_{ij}=(-1{)}^{i+j}\det A_{ij}$$

即”子行列式再乘一个由位置决定的整体正负号”。于是按第一行展开就是 $\det A=a_{11}{C}_{11}+a_{12}{C}_{12}+\cdots +a_{1n}{C}_{1n}$。

定理 1 $n\times n$ 矩阵 $A$ 的行列式可以沿任意一行或沿任意一列做余因子展开，结果相同。沿第 $i$ 行展开：

$$\det A=a_{i1}{C}_{i1}+a_{i2}{C}_{i2}+\cdots +a_{in}{C}_{in}$$

沿第 $j$ 列展开：

$$\det A=a_{1j}{C}_{1j}+a_{2j}{C}_{2j}+\cdots +a_{nj}{C}_{nj}$$

符号 $(-1{)}^{i+j}$ 只由位置决定，与元素本身的正负无关，形成如下”棋盘”图案：

$$\left[\begin{array}{cccc}+& -& +& \dots \\ -& +& -& \\ +& -& +& \\ ⋮& & & \ddots \end{array}\right]$$

常见坑

1. 忘了符号交替，把每一项都当正号算；建议每次展开前先默写棋盘符号表，从 + 开始一行一行交替。
2. 双重符号混淆：$C_{ij}$ 里已经含有 $(-1{)}^{i+j}$ 了。若你直接用 $a_{ij}\cdot \det A_{ij}$ 展开，就必须自己补上位置符号；若用 $a_{ij}{C}_{ij}$，则不要再乘。例 2 中 $-(-2)\left|\begin{array}{c}\dots \end{array}\right|$ 就是”位置负号 × 元素 $-2$“的结果。