Note
本篇是《Linear Algebra and its Applications》（David C. Lay，第 5 版）第 2 章 Matrix Algebra（矩阵代数） 的中文精讲笔记。第 1 章我们学会了把方程组写成 并用行化简求解；本章要给”矩阵”本身建立一套代数运算规则——矩阵怎么加、怎么乘、什么时候可逆、怎么求逆、怎么分解。这套工具是后续所有章节（以及工程、经济、图形学中的实际应用）的地基。每一节都保留原书全部例题并给出逐步解答，配原图与中文图注。
章首导读：飞机设计中的计算机模型
波音 Phantom Works 的工程师在设计新一代商用与军用飞机时，使用三维建模与计算流体力学（CFD）：先在计算机里构建整架飞机的”线框”数学模型，再在模型上叠加三维”盒子”网格，反复细分与表面相交的盒子，直到网格足够精细——一个典型网格可包含超过 40 万个盒子。
图 2-1：波音 777 的数学线框模型
求飞机周围气流的过程，就是反复求解一个规模可达 200 万个方程、200 万个未知量 的线性方程组 ，而且 每次都随网格数据和上一步的解而变化。本章介绍两个帮助求解这种大规模方程组的关键概念：
- 分块矩阵：CFD 方程组的系数矩阵是”稀疏”的（绝大多数元素为零）。把变量恰当分组后可以得到零子块很多的分块矩阵（2.4 节）。
- 矩阵分解：波音的 CFD 软件使用系数矩阵的 LU 分解 来进一步简化计算（2.5 节）。
解出气流之后，工程师还要把结果可视化：线框模型的数据存放在许多矩阵里，缩放、平移、旋转图像全部通过矩阵乘法完成（2.7 节）。
图 2-2：现代 CFD 革新了机翼设计——图中为波音翼身融合体（Blended Wing Body）概念机
对方阵而言，2.3 节的可逆矩阵定理把本章与前章的几乎所有概念串成一个整体；2.8、2.9 节则引入子空间、基、维数与秩，为第 4 章的向量空间理论铺路。
2.1 矩阵运算
若 是 矩阵（ 行 列），则第 行第 列的数记作 ，称为 的 元。 的每一列都是 中的向量，常记为 ，于是
注意 正是第 列向量 从上往下数的第 个分量。
几个基本术语：
- 对角元：，它们构成 的主对角线。
- 对角矩阵：非对角元全为零的 方阵，例如 单位矩阵 。
- 零矩阵：元素全为零的 矩阵，记作 （大小通常由上下文确定）。
和与数量积
两个矩阵相等，当且仅当它们同尺寸且对应元素相等。若 都是 矩阵，则和 的每个元素是对应元素之和。只有同尺寸的矩阵才能相加。
例 1 设
则
而 没有定义，因为 是 、 是 ，尺寸不同。
若 是数量（标量），则数量积 的每个元素是 对应元素的 倍。记 ，。
例 2 用例 1 中的 ：
定理 1（矩阵加法与数量积的性质） 设 同尺寸， 为数量：
- a. ； b. ； c. ；
- d. ； e. ； f. 。
这些等式逐列验证即可：因为每一列都是向量，向量的运算律直接传递给矩阵。由于加法结合律， 不必加括号。
矩阵乘法
矩阵 把向量 变成 ，若再左乘矩阵 ，就得到 ——这正是一个复合映射（1.8 节的线性变换复合）。我们的目标是：找一个矩阵 ，使得
图 2-3：先乘 再乘
图 2-4：直接乘 ，效果相同
设 为 ， 为 （列向量 ），，则 ，由乘 的线性性：
我们找到了要找的矩阵！
定义（矩阵乘法） 为 矩阵， 为 矩阵，则乘积 是 矩阵，其各列为 ：
这个定义使式 (1) 对一切 成立——矩阵乘法对应线性变换的复合。
例 3 计算 ，其中 ，。
解 记 ，分别计算：
于是
注意： 的每一列都是 的列向量的线性组合，权重来自 的对应列。
例 4 若 是 矩阵， 是 矩阵， 与 的尺寸是多少（若有定义）？
解 有 5 列、 有 5 行，故 有定义且是 矩阵：
图 2-5：，中间的”5”必须匹配
而 没有定义，因为 的 2 列对不上 的 3 行。
计算 的行—列法则：若 有定义，则 的第 元等于 第 行与 第 列对应元素乘积之和：
例 5 用行—列法则计算例 3 中 的两个元素。
解 求 第 1 行第 3 列元素：取 的第 1 行与 的第 3 列，对应相乘再相加：
求第 2 行第 2 列元素：取 的第 2 行与 的第 2 列：
两种算法得到的当然是同一个矩阵。
例 6 求 的第二行，其中
解 由行—列法则， 第二行的元素只用到 的第二行：