本篇导读
本篇是《Linear Algebra and its Applications（第 5 版，David C. Lay 著）》第 1 章的中文精讲笔记。全书的一切都从”线性方程组”出发：1.1–1.2 讲怎么系统地解方程组（消元法与行化简），1.3–1.4 把方程组改写成向量方程和矩阵方程 这两种”新外衣”，1.5 研究解集的几何结构，1.6 展示经济学、化学、交通网络等真实应用，1.7–1.9 引入线性无关与线性变换两个贯穿全书的核心概念，1.10 用饮食搭配、电路网络、人口迁移三个模型收尾。所有例题均保留原书的完整解答步骤，适合初学者逐题演算。
开篇导入：经济学与工程中的线性模型
1949 年夏末，哈佛大学教授 Wassily Leontief（列昂季耶夫）正小心翼翼地把最后一批穿孔卡片送进学校的 Mark II 计算机。卡片里存放着美国经济的统计数据——美国劳工统计局经过两年密集工作整理出的 25 万余条信息。Leontief 把美国经济划分成 500 个”部门”（煤炭业、汽车业、通信业等等），并为每个部门写了一个线性方程，描述该部门的产出如何分配给其他部门。由于当时最强大的计算机之一 Mark II 也无法直接处理 500 个方程、500 个未知数的方程组，他只好把问题压缩成 42 个方程、42 个未知数。
给 Mark II 编程求解这 42 个方程花了几个月时间，而计算机嗡嗡运转、灯光闪烁了 56 个小时才最终给出答案。我们将在 1.6 节与第 2 章讨论这类解的本质。Leontief 后来获得了 1973 年诺贝尔经济学奖，他为经济学的数学建模打开了新纪元的大门。从那以后，许多领域的研究者都借助计算机分析数学模型；由于涉及的数据量巨大，这些模型通常是线性的，即由线性方程组描述。
图 1-1：Leontief 用计算机分析大规模线性经济模型，开创了线性代数应用的先河。
线性代数的重要性与计算能力的提升成正比：每一代新的软硬件都会激发出对更强计算能力的需求。如今，线性代数对许多科学和商业领域的学生而言，比任何其他本科数学课程都更具实用价值。举几个例子：
- 石油勘探：勘探船寻找海底油田时，船上的计算机每天要求解成千上万个线性方程组。方程所需的地震数据来自气枪爆炸产生的水下冲击波——波从地下岩层反射回来，由拖在船后数英里长的电缆上的检波器测量。
- 线性规划：如今许多重要管理决策都基于含数百个变量的线性规划模型。例如航空业用线性规划来安排机组人员班次、监控飞机位置、规划维护和航站运营等支持服务的各种日程。
- 电网：工程师用仿真软件设计包含数百万只晶体管的电路和芯片，这类软件的核心正是线性代数技术与线性方程组。
本章将用线性方程组这个简单而具体的场景，引入线性代数的若干中心概念。1.1 和 1.2 节给出求解方程组的系统方法（这一算法全书都要用）；1.3 和 1.4 节说明线性方程组如何等价于向量方程和矩阵方程；后半章研究的跨度（spanning）、线性无关和线性变换，将在全书反复扮演关键角色。
1.1 线性方程组
什么是线性方程？ 若变量为 ，线性方程就是能写成如下形式的方程：
其中 与系数 是实数或复数，通常是已知的。 可以是任意正整数：教材例题中 一般在 2 到 5 之间，而现实问题中 可能是 50、5000 甚至更大。
判断的关键是：每个变量只出现一次、次数只是一次、彼此不相乘、也不开方。例如
都是线性方程，因为它们可以整理成 (1) 的形式：
而
都不是线性方程：第一个出现了乘积 ，第二个出现了 。
常见坑
判断线性只看”变量之间怎么组合”，与系数里有没有根号无关。 是线性方程（根号在常数里），但 不是（根号作用在变量上）。同理， 这种变量乘变量、、、 都会破坏线性。
线性方程组（linear system）是由同一组变量 上的一条或多条线性方程组成的集合。例如：
方程组的解（solution）是一组数 ，把它们分别代入 后每条方程都成立。例如 是方程组 (2) 的解，因为代入后两条方程分别化成 与 。
全部解组成的集合叫做方程组的解集（solution set）。若两个线性方程组的解集相同（第一个的每个解都是第二个的解，反之亦然），就称它们等价（equivalent）。
几何直觉：求两个变量、两条方程的解集，等价于求平面上两条直线的交点。典型问题：
这两条方程的图形是直线 和 ，数对 同时满足两条方程当且仅当点 同时落在两条直线上。上面这个方程组的解是唯一一点 ，很容易验证。
图 1-2：两条直线恰好交于一点——方程组有唯一解 。
当然，两条直线不一定交于一点：可能平行，也可能重合（重合时”处处相交”）。下图对应如下两个方程组：
图 1-3：情形 (a)——两条直线平行，方程组无解。
图 1-4：情形 (b)——两条直线重合，方程组有无穷多解。
图 1-2 至图 1-4 展示了线性方程组的一般事实（将在 1.2 节证明）：
核心事实：解只有三种可能
一个线性方程组要么 1. 无解，要么 2. 恰有一个解，要么 3. 有无穷多解。不存在”恰好两个解”的情况。有唯一解或无穷多解的方程组称为相容的（consistent）；无解的方程组称为不相容的（inconsistent）。
矩阵记号
线性方程组的关键信息可以紧凑地记录在一个矩形数表——矩阵（matrix）——中。给定方程组：
把每个变量的系数按列对齐，得到的矩阵
称为方程组 (3) 的系数矩阵（coefficient matrix）；而
称为方程组 (3) 的增广矩阵（augmented matrix）。（第二行第一个位置是 0，因为第二条方程可写成 。）增广矩阵 = 系数矩阵 + 一列右端常数。
矩阵的尺寸（size）说明它有几行几列：上面的增广矩阵有 3 行 4 列，称为 （读作”3 乘 4”）矩阵。一般地， 矩阵是有 行 列的矩形数表（行数永远写在前面）。
解线性方程组
本节和下一节给出求解线性方程组的算法：基本策略是用一个更容易求解的等价方程组（解集相同）替换原方程组。
大致做法：用第一条方程中的 项消去其他方程中的 项；再用第二条方程中的 项消去其他方程中的 项……直到得到一个非常简单的等价方程组。
化简线性方程组使用三种基本操作：用某方程与另一方程的倍数之和替换该方程；交换两条方程；用非零常数乘某条方程的所有项。下面的例 1 会说明为什么这三种操作不改变解集。
例 1 解方程组 (3)。
解 消元过程同时用方程记号和矩阵记号展示，结果并排对照：
保留第一条方程中的 ，消去其他方程中的 ：把方程 1 的 5 倍加到方程 3 上（熟练后这类计算通常心算完成）：
把计算结果写回第三个方程的位置：
现在把方程 2 乘以 ，使 的系数变成 1（这一步是为了简化后续计算）：
用方程 2 中的 消去方程 3 中的 。心算过程：
把结果写回第三行：