第01章基本电路与元件

Note

本章是全书的” assumed knowledge “复习篇：把后续章节都要用到的电路基础知识——单位制、电荷/电流/电压、欧姆定律、基尔霍夫定律、串并联电阻、分压器和正弦量——快速梳理一遍。其中分压器是初学者最容易出错、又在全书后面反复出现的主题，务必学扎实。

1.1 引言

本书书名讲的是”电子系统”（electronic systems），但第一部分讲的是”电路与元件”（electrical circuits and components）。这两个词在日常使用中略有区分：

电工的（electrical）：通常指只用电阻、电容、电感等简单无源元件的电路，或与电能的产生、传输和使用（大功率）相关的应用；
电子的（electronic）：通常指还包含晶体管、集成电路等更复杂元件的电路，或以电为载体传递信息（小功率）的应用。

不过在本书中我们会比较宽松地混用这两个词，因为书中的大部分内容对两者都适用。本章不追求细节（细节留给后面各章），目标是把后面几章的理解门槛补齐。如果你对以上内容已经很熟，可以直接进入第02章；但建议至少把本章的例题过一遍——尤其是分压器相关的例题，很多人会在那里翻车。

1.2 国际单位制（SI Units）

国际单位制（Système International d’Unités，SI）为各种物理量规定了标准单位。我们常用的电气量及其单位如下：

物理量	符号	单位	单位符号
电容（Capacitance）	C	法拉	F
电荷（Charge）	Q	库仑	C
电流（Current）	I	安培	A
电动势（e.m.f.）	E	伏特	V
频率（Frequency）	f	赫兹	Hz
（自）电感（Inductance）	L	亨利	H
周期（Period）	T	秒	s
电位差（Potential difference）	V	伏特	V
功率（Power）	P	瓦特	W
电阻（Resistance）	R	欧姆	Ω
温度（Temperature）	T	开尔文	K
时间（Time）	t	秒	s

1.3 常用词头（Common Prefixes）

工程中数值范围跨度极大（从皮法到吉赫兹），所以要配合词头使用：

词头	名称	含义（乘以）
T	太（tera）	$1 0^{12}$
G	吉（giga）	$1 0^{9}$
M	兆（mega）	$1 0^{6}$
k	千（kilo）	$1 0^{3}$
m	毫（milli）	$1 0^{- 3}$
μ	微（micro）	$1 0^{- 6}$
n	纳（nano）	$1 0^{- 9}$
p	皮（pico）	$1 0^{- 12}$

Warning

大小写就是天壤之别：m 是毫（ $1 0^{- 3}$ ），M 是兆（ $1 0^{6}$ ）。所以 1 mΩ = 0.001 Ω，而 1 MΩ = 一百万欧姆；1 ms（毫秒）、1 m/s（米每秒）、1 mS（毫西门子）更是三个完全不同的物理量。看错一个字母，答案差 9 个数量级。

1.4 电路

1.4.1 电荷（Electric Charge）

电荷是电的”量”，可正可负。原子中质子带正电、电子带等量负电。质子固定在原子核里，而电子束缚较弱、可以移动。某个区域电子多了就整体带负电，电子缺了就带正电。

1.4.2 电流（Electric Current）

电流就是电荷的流动，通常是电子的流动。约定电流（conventional current）定义为从正极流向负极的”电的流动”——它与带负电的电子的实际流动方向正好相反。电流的单位是安培（A）。

1.4.3 电路中的电流流动

持续的电流需要两个条件：一是完整回路让电子能够循环流动，二是某种”激励”驱使电子流动。

1.4.4 电动势与电位差

驱动电流流动的激励叫电动势（electromotive force，e.m.f.），它代表电源（电池、发电机等）注入电路的能量。能量从电源传到负载，使负载中各点的电位发生变化——任意两点之间的**电位差（potential difference）**代表单位电荷从一点移动到另一点所对应的能量。两者都用伏特（V）表示。

图 1.1：电动势与电位差

简单说：e.m.f. 是”因”（产生电流），电位差是”果”（能量流过电路的结果）。

一个经典的水路类比：水泵（电源/e.m.f.）驱动水（电荷）在管道（导线）中流动，水流速率对应电流；管道中的狭窄段（电阻）阻碍水流，水经过狭窄段时压力下降，形成压差——对应电阻两端的电位差。水泵压力越大水流越大，狭窄越厉害水流越小，正如电流随 e.m.f. 增大、随电阻增大而减小。

图 1.2：电路的水流类比

1.4.5 电压参考点

电路中各点电位不同，我们通常选一个参考点来描述所有电压，这个参考点叫地（ground / earth）。既然所有电压都以地为基准测量，地自身的电压就是零，所以地也叫零伏线（0 V）。

图 1.3：电压参考点的标注

1.4.6 电路图中电压的表示

本书（英式惯例）用箭头表示电位差：箭头头部代表相对箭头尾部的高电位，即箭头表示”头相对尾”的电压。箭头尾部常对应零伏线，但也可以表示任意两点之间的电压差。

图 1.4：电路图中电压的两种标注方式

不方便用箭头时，也可以直接用标记（如 $V_{C}$ 、 $V_{D}$ ）表示该点相对地的电压。

1.4.7 电路图中电流的表示

电流用沿约定电流方向的箭头表示（与电子实际流动方向相反）。注意一个有用的小规律：对于正的电压和电流，流出电压源的电流箭头与 e.m.f. 箭头同向，而流过电阻的电流箭头与电阻两端电位差箭头反向。

1.5 直流与交流

直流（Direct Current，DC）：电流方向始终不变，通常对应单一极性的电压。
交流（Alternating Current，AC）：电流方向周期性变化，通常对应交变电压。最常见的交流波形是正弦波（见 1.13 节）。

1.6 电阻、电容与电感

1.6.1 电阻器（Resistors）

电阻器的主要特性是在两端之间提供电阻（resistance）——对电流流动的阻碍。电阻单位是欧姆（Ω）。也可以定义电导（conductance）——允许电流流动的能力，它是电阻的倒数，单位是西门子（S）。电阻的详细内容见第03章。

1.6.2 电容器（Capacitors）

电容器的主要特性是电容（capacitance）。电容是两个相互绝缘的导体之间的属性：当两导体间存在电位差时，电能被储存起来，能量储存在两导体间形成的电场中。电容单位是法拉（F），详见第04章。

1.6.3 电感器（Inductors）

电感器的主要特性是电感（inductance）。电感是线圈的一种属性：当线圈中电流变化时，线圈中会感应出 e.m.f.。与电容一样，电感也能储存电能，但储存在磁场中。电感单位是亨利（H），详见第05章。

1.7 欧姆定律（Ohm’s Law）

欧姆定律：导体中流过的电流 $I$ 与所加电压 $V$ 成正比，与电阻 $R$ 成反比。三种等价形式：

V = I R

I = \frac{V}{R}

R = \frac{V}{I}

$V$ ：电压（V）； $I$ ：电流（A）； $R$ ：电阻（Ω）。
物理意义：电压是”推力”，电阻是”阻力”，电流是”结果”——同样的推力下阻力越大电流越小。

图 1.5：V、I、R 关系的"虚拟三角形"

Success

记忆口诀——VIR 三角形：取 “VIRtual” 前三个字母 V、I、R 排成三角形（V 在上，I、R 在下）。用手指盖住想求的量：盖住 V 剩下 “I·R”（相乘），得 $V = I R$ ；盖住 I 剩下 “V 上 R 下”（相除），得 $I = V / R$ ；盖住 R 同理得 $R = V / I$ 。

例题：电路中某电阻 $R_{2} = 220 Ω$ ，其两端相对地的电压分别为 15.8 V 和 12.3 V，求流过它的电流 $I$ 。

电阻两端电压差为 $15.8 - 12.3 = 3.5$ V，由 $I = V / R$ ：

I = \frac{3.5 V}{220 Ω} \approx 15.9 mA

Warning

这道例题的隐含考点：电流由”两端电压之差”决定，而不是某一点对地的电压。看到”对地电压 15.8 V”不要直接除以电阻，先求出跨在电阻上的压差。

1.8 基尔霍夫定律（Kirchhoff’s Laws）

1.8.1 电流定律（KCL）

在任一时刻，流入电路中**任一节点（junction）**的所有电流的代数和为零：

Σ I = 0

节点就是电路中各支路汇合的任意一点。该定律源于电荷守恒——流入某点的电荷必须等于流出的电荷。

1.8.2 电压定律（KVL）

在任一时刻，沿电路中**任一回路（loop）**所有电压的代数和为零：

Σ V = 0

回路是绕电路一圈的任意连续路径。该定律源于能量守恒。

Success

用两个定律时符号是关键：求电流和时，“流入”与”流出”取相反极性；求电压和时，顺时针方向的电压与逆时针方向的电压取相反极性。先约定方向，再统一符号，就不会乱。

例题 1：某节点上 $I_{1} = 10$ A 流入、 $I_{3} = 3$ A 流出，求 $I_{2}$ 。

由 KCL（流入 = 流出，设 $I_{2}$ 流出）：

I_{2} = I_{1} - I_{3} = 10 - 3 = 7 A

例题 2：回路中电源 e.m.f. $E = 12$ V，两个负载电压中 $V_{2} = 7$ V，求 $V_{1}$ 。

由 KVL（沿回路顺时针求和）：

E - V_{1} - V_{2} = 0 \Rightarrow V_{1} = E - V_{2} = 12 - 7 = 5 V

1.9 电阻的功率耗散

电阻上的瞬时功率 $P$ 等于其两端电压与流过电流的乘积。结合欧姆定律可写出三种形式：

P = V I

P = I^{2} R

P = \frac{V ^{2}}{R}

$P$ ：功率（W）。三个式子完全等价，按已知量选用：已知 $I$ 、 $R$ 用 $I^{2} R$ ；已知 $V$ 、 $R$ 用 $V^{2} / R$ 。
物理意义：电能被电阻转化为热能耗散掉，这就是电阻会发热的原因，也是选电阻要考虑额定功率的原因。

例题： $R_{3} = 50 Ω$ ，流过电流 3 A，求其功率耗散。由 $P = I^{2} R$ ：

P = 3^{2} \times 50 = 450 W

1.10 电阻的串联

串联电阻的等效电阻等于各电阻之和：

R = R_{1} + R_{2} + R_{3} + \dots + R_{n}

图 1.6：三个电阻串联

例如 $10 + 20 + 15 + 25 = 70 Ω$ 。直觉：串联相当于把”阻力通道”接长了，阻力叠加。

1.11 电阻的并联

并联电阻的等效电阻满足：

\frac{1}{R} = \frac{1}{R _{1}} + \frac{1}{R _{2}} + \frac{1}{R _{3}} + \dots + \frac{1}{R _{n}}

图 1.7：三个电阻并联

例题： $10 Ω$ 与 $20 Ω$ 并联：

\frac{1}{R} = \frac{1}{10} + \frac{1}{20} = \frac{3}{20} \Rightarrow R = \frac{20}{3} \approx 6.67 Ω

Warning

并联后的总电阻永远小于并联中最小的那个电阻，绝不可能更大。如果你算出两个 10 Ω、20 Ω 并联结果大于 10 Ω，一定算错了。两个电阻并联还有快捷公式： $R = R_{1} R_{2} / (R_{1} + R_{2})$ （“积除以和”）。

1.12 电阻分压器（Potential Divider）

几个电阻串联时，流过每个电阻的电流相同：

I = \frac{V}{R _{1} + R _{2} + R _{3}}

每个电阻上的电压等于电流乘以它自己的阻值。于是每个电阻分到的电压占总电压的比例，等于它的阻值占总阻值的比例：

V_{1} = V \frac{R _{1}}{R _{1} + R _{2} + R _{3}}, V_{2} = V \frac{R _{2}}{R _{1} + R _{2} + R _{3}}, V_{3} = V \frac{R _{3}}{R _{1} + R _{2} + R _{3}}

图 1.8：电阻分压器

图 1.9：分压器中的电压分配

要计算电阻链中某一点的电压，标准流程是三步：

求出整条链两端的电压差（链两端电压相减）；
算出该点与链一端之间那几个电阻上的电压；
把它加到该端点的电压上。

对于图 1.10 所示的两电阻链，输出电压为：

V = V_{2} + (V_{1} - V_{2}) \frac{R _{2}}{R _{1} + R _{2}}

$V_{1}$ 、 $V_{2}$ ：链两端（上端、下端）的电压； $R_{1}$ 、 $R_{2}$ ：与两端对应的电阻。
物理意义：输出电压 = 参考端电压 + 按比例分得的中间电压。

图 1.10：简单分压器

例题 1（链的一端接地，即 0 V）：电源 10 V， $R_{1} = 200 Ω$ 在上、 $R_{2} = 300 Ω$ 在下（输出点在两电阻之间）。由于下端为 0 V：

V = 10 \times \frac{300}{200 + 300} = 6 V

例题 2（两端都不为 0 V）：链上端 15 V、下端 3 V， $R_{1} = 1000 Ω$ 、 $R_{2} = 500 Ω$ （输出取 $R_{2}$ 上的电压叠加到下端）：

V = 3 + (15 - 3) \times \frac{500}{1000 + 500} = 3 + 4 = 7 V

Warning

分压器最常见的错误就是分子用错电阻：想求 $R_{2}$ 上的电压，分子必须是 $R_{2}$ （而不是 $R_{1}$ ）。记住：分子就是你要求电压的那个电阻。另一处易错是”两端电压都不为零”的情形——别忘了最后要把参考端的电压加上去。

Success

分压器三步口诀：一减（两端相减得链电压）、二乘（乘上目标电阻占比）、三加（加上参考端电压）。一端接地时第三步直接省略。

1.13 正弦量（Sinusoidal Quantities）

正弦量的大小随时间按正弦函数变化。描述它有两个关键量：

周期（Period， $T$ ）：波形相邻两个周期中对应点之间的时间长度，单位秒；
频率（Frequency， $f$ ）：1 秒内包含的完整周期数，单位赫兹（Hz）。

图 1.11：正弦波

两者互为倒数：

f = \frac{1}{T}

例题：50 Hz 正弦量的周期是多少？

T = \frac{1}{f} = \frac{1}{50} = 0.02 s = 20 ms

（这正是我国市电 50 Hz 对应的周期。）

1.14 电路符号（Circuit Symbols）

最后认识几个基本元件的电路符号：导线（conductor）、节点（junction）等。

图 1.14：基本电路符号

后面章节还会陆续引入更多符号，这几个先够用。

自测五题（点击展开答案）

1. 一个 1 kΩ 电阻两端电压 5 V，流过它的电流是多少？

$I = V / R = 5/1000 = 5 mA$ 。

2. 一个电阻两端 9 V、电流 1.5 mA，求其阻值。

$R = V / I = 9/0.0015 = 6 kΩ$ 。

3. 25 Ω 电阻两端加 25 V，耗散功率是多少？

$P = V^{2} / R = 625/25 = 25 W$ 。（或 $I = 1$ A， $P = I^{2} R = 25$ W。）

4. 20 Ω 与 30 Ω 电阻并联，等效电阻是多少？串联又是多少？

并联： $R = \frac{20 \times 30}{20 + 30} = 12 Ω$ （小于最小值 20 Ω，检验通过）。串联： $20 + 30 = 50 Ω$ 。

5. 一个正弦量周期为 20 μs，其频率是多少？

$f = 1/ T = 1/ (20 \times 1 0^{- 6}) = 50 kHz$ 。

description	复习 SI 单位与词头、电荷电流电压、欧姆定律、基尔霍夫定律、串并联电阻、分压器与正弦量基础。
tags	电子系统方法精讲

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1.1 引言

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