📘 第 15 章：测量与控制

这一篇在干嘛？

前面十几章我们学的是”处理信号”（放大、滤波、振荡、转换），这一章讲的是电子系统如何与物理世界打交道：先把温度、角度、应变、压力、运动这些物理量变成电信号（传感器 + 接口电路），再用 SCR、双向可控硅这类”电力电子开关”反过来控制送到负载的功率。学完你就能看懂万用表的”真有效值”档、风向仪、工业测温、电子调功器这些真实系统是怎么搭起来的。

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• 15-1 RMS-DC 转换器
• 15-2 角度测量：同步机、分解器与 RDC
• 15-3 温度测量
• 15-4 应变、压力与运动测量
• 15-5 功率控制
• 本章小结与关键公式
• 章末习题与排错测验配图
• 附录：切片中附带的书末内容
• 本章自测

15-1 RMS-DC 转换器

为什么要专门测”有效值”

RMS（root mean square，均方根）是交流信号幅度的一种度量。它的物理定义很实在：某个交流电压的 RMS 值，等于在电阻上产生相同热效应所需要的直流电压值，所以也叫有效值（effective value）。比如一个 RMS 值为 1 V 的交流电压，在某个电阻上发的热，和 1 V 直流电压在该电阻上发的热完全一样。

数学上，RMS 就是”先平方、再取平均、最后开平方根”：

$$V_{rms}=\sqrt{\mathrm{avg}(V_{in}^2)}\text{\hspace{1em}(15-1)}$$

为什么要费这么大劲？因为很多信号不是标准正弦波——热噪声、晶体管噪声、开关接触噪声、应变/振动/伸缩等机械信号、低占空比的脉冲串——用简单的”平均值×修正系数”去估有效值会错得很离谱。RMS-DC 转换器（rms-to-dc converter）就是为了精确测出任意波形的真有效值而生的。

转换的三步曲

RMS-DC 转换器是一个能连续计算的电路：把输入电压平方 → 求平均 → 开平方根，输出一个正比于输入 RMS 值的直流电压。整个过程如图 15–1 所示。

图：RMS-DC 转换的基本流程——平方、平均、开方（原书图 15–1）

① 平方电路（squaring circuit）：一般用一个线性乘法器（linear multiplier，第 13 章介绍过），把信号同时接到乘法器的两个输入端，输出就是 $V_{in}^2$。

图：平方电路就是一个两输入并接的线性乘法器（原书图 15–2）

② 平均电路（averaging circuit）：最简单的做法是在运放电压跟随器前面放一个单极点低通滤波器（RC 低通）。RC 滤波器只让平方后信号的直流分量（也就是平均值）通过。符号上用上划线表示平均值，比如 $\overline{V_{in}^2}$。

图：基本平均电路——RC 低通滤波器加上电压跟随器（原书图 15–3）

③ 开方电路（square root circuit）：把线性乘法器放进运放的反馈环路里，注意运放的输出信号同时接到乘法器的两个输入端，这样环路就能实现开平方运算。

图：开方电路——乘法器接在运放反馈环中（原书图 15–4）

显式型与隐式型

把上面三个功能电路串起来，就得到一个完整的 RMS-DC 转换器（图 15–5）。因为”平方→平均→开方”的思路直来直去，这种结构被称为显式型（explicit）转换器。

图：显式型 RMS-DC 转换器（原书图 15–5）

另一种叫隐式型（implicit）：不单独做开方电路，而是利用反馈来实现开方（图 15–6）。第一级方框做”平方并除以输出电压”，即输出 $\frac{V_{in}^2}{V_{OUT}}$；平均电路输出最终的直流电压，再反馈回平方/除法电路。跟着数学走一遍就明白了：

• 平方/除法电路的输出：$V_{in}^2/V_{OUT}$
• 电压跟随器同相（+）输入端的电压（取平均后）：

$$V_{in(\mathrm{NI})}=\frac{\overline{V_{in}^2}}{V_{OUT}}$$

• 由于跟随器输出等于同相端输入，$V_{OUT}$ 满足：

$$V_{OUT}=\frac{\overline{V_{in}^2}}{V_{OUT}}\Rightarrow V_{OUT}^2=\overline{V_{in}^2}$$ $$V_{OUT}=\sqrt{\overline{V_{in}^2}}\text{\hspace{1em}(15-2)}$$

正好就是 RMS 值——这就是”用反馈把开方藏在环路里”的巧妙之处。

图：隐式型 RMS-DC 转换器（原书图 15–6）

实际芯片：AD637

以 ADI 公司的 AD637 为例（数据手册见 www.analog.com）。它本质上是一个隐式型转换器，但有两处改动（图 15–7）：

1. 输入端加了一个绝对值电路——其实就是全波整流器，把输入电压的负半周全部翻成正的；
2. 用反相低通滤波器做平均，平均电容 $C_{avg}$ 是外接元件，可以根据不同输入条件选值，把平均误差降到最小。

图：AD637 RMS-DC 转换器的基本框图（原书图 15–7）

芯片内部，平方/除法功能并不是直接相乘，而是用对数-反对数电路实现的（图 15–8），用到的只是两条对数基本运算法则：

• “平方的对数等于对数的两倍”：

$$2\log V_{in}=\log V_{in}^2$$

• “两个对数项之差等于两项商的对数”：

$$2\log V_{in}-\log V_{OUT}=\log V_{in}^2-\log V_{OUT}=\log \left(\frac{V_{in}^2}{V_{OUT}}\right)$$

反对数电路再对 $\log (V_{in}^2/V_{OUT})$ 取反对数，得到 $V_{in}^2/V_{OUT}$，最后由低通滤波器平均后输出。

图：AD637 内部功能框图——对数、反对数与低通滤波（原书图 15–8）

误差从哪来

任何 AC-DC 转换器都有误差，来源分两类：

• 静态误差（只针对 1 kHz 以下的波形）：包括失调误差、标度因子（增益）误差和非线性误差。现代芯片的静态误差极低，通常表示成”常数 + 读数的百分比”。例如 AD8436 标称为 ±10 μV ± 0.5% 读数，意思是最大静态误差不超过真有效值的 0.5% 加 10 μV。
• 高频/复杂波形误差：定义一个指标——波峰因数（crest factor），即波形峰值与有效值之比。直流的波峰因数是 1，纯正弦波（或全波整流正弦）是 1.414。波峰因数越高，谐波含量越高。 converting 高幅度、低占空比的脉冲串时最头疼：幅度高容易过载，占空比低又要求高分辨率。AD8436 在波峰因数高达 10 时仍能精确转换。

应用举例

AGC 电路（automatic gain control，自动增益控制）：音频系统中，当输入信号电平在一定范围内变化时保持输出幅度恒定；信号发生器里也用它来在不同波形、占空比、频率下稳定输出幅度。图 15–9 就是一个含 RMS-DC 转换器的 AGC 框图——转换器测出输出信号的 RMS 值，用它去反馈调节增益。

图：采用 RMS-DC 转换器的 AGC 电路框图（原书图 15–9）

RMS 电压表：RMS-DC 转换器输出等于输入信号有效值的直流电压，再经 ADC 转成数字量显示出来——这就是”真有效值”万用表的核心（图 15–10）。

图：RMS 电压表中的 RMS-DC 转换器（原书图 15–10）

常见坑：把"平均值"当"有效值"

很多廉价万用表实测的是整流平均值，再按正弦波的固定比例（1.11 倍）折算成”有效值”刻度。一旦测的是方波、脉冲、晶闸管切相波形这种非正弦信号，读数会明显偏差。看懂了本章的 RMS-DC 结构，你就明白为什么测非正弦必须用”真有效值（true-rms）“档。

通关标准：

你能不看书画出”平方→平均→开方”三个方框，并解释隐式型是怎么用 $V_{OUT}^2=\overline{V_{in}^2}$ 这一步代替独立开方电路的；能说出波峰因数的定义以及为什么低占空比脉冲难测。

15-2 角度测量：同步机、分解器与 RDC

从机械角度到电信号

雷达和卫星天线、风向标、太阳能系统、工业机器人、火控系统……这些场合都需要把轴的角位置测出来并转成电信号。完成”物理量→电信号”转换的器件统称为传感器/换能器（transducer）。本节的主角是一类专门测轴角的机电传感器——同步机（synchro）。

同步机（Synchro）

同步机本质上是一个可以旋转的变压器，外形像一台小交流电机，直径约 0.5～4 英寸（图 15–11a）。它的结构：一个能在固定定子（stator）组件内旋转的转子（rotor），转子连着被测轴；大多数同步机有一个转子绕组和三个定子绕组，三个定子绕组沿定子圆周互隔 120° 放置，绕组引出到外壳一端的接线端子上（图 15–11b）。

图：典型同步机的外观与基本绕组结构（原书图 15–11）

同步机格式电压：给转子绕组加一个参考正弦电压，任一定子绕组上感应出的电压正比于转子绕组与该定子绕组夹角 θ（由轴位置决定）的正弦。任意两个定子端之间的电压则是两个定子电压的和或差（由基本三角恒等式推出）。这样就得到三个随轴角 θ 变化的同步机格式电压（synchro format voltages，图 15–12）——轴一转，三个电压成比例地变，它们就是”角度的电气化身”。

图：转子加参考电压时的同步机格式电压（原书图 15–12）

分解器（Resolver）

分解器（resolver，也叫旋转变压器）是同步机的一个特殊类型，区别在于：转子与两个定子绕组互隔 90°（而不是 120°）。转子加参考正弦电压后，两个定子绕组上的电压分别正比于 sin θ 和 cos θ，称为分解器格式电压（resolver format voltages）。注意：标准同步机是三端输出，分解器是四端输出（图 15–13、15–14）。

图：简单分解器的绕组配置（原书图 15–13）

图：转子加参考电压时的分解器格式电压——一路正比 sin θ，一路正比 cos θ（原书图 15–14）

SDC 与 RDC

同步机-数字转换器（synchro-to-digital converter, SDC）和分解器-数字转换器（resolver-to-digital converter, RDC）把格式电压转换成代表角度的数字量，可以看成一种非常专用的模数转换器。

关键点：所有 SDC/RDC 内部都只认分解器格式电压。所以同步机的三线输出必须先经过一种叫 Scott-T 变压器的特殊变压器，变换成分解器格式（图 15–15）。有些 SDC 把 Scott-T 变压器做进了芯片内部，有些则要外接。除变压器外，SDC 和 RDC 的基本操作与内部电路是一样的，下面聚焦 RDC。

图：Scott-T 变压器把同步机格式电压变换为分解器格式电压（原书图 15–15）

跟踪式 RDC 的工作原理（图 15–16）：两路分解器格式电压 $V_1=V\sin \omega t\sin \theta$ 和 $V_2=V\sin \omega t\cos \theta$（θ 是当前轴角）经缓冲后送到两个专用乘法器。假设加减计数器当前保存的数字代表某个角度 φ，这个数字码也送进乘法器：余弦乘法器算 $\cos \varphi$ 乘 $V_1$，正弦乘法器算 $\sin \varphi$ 乘 $V_2$：

$$V_1\cos \varphi =V\sin \omega t\sin \theta \cos \varphi$$ $$V_2\sin \varphi =V\sin \omega t\cos \theta \sin \varphi$$

误差放大器把两路相减，再用三角恒等式 $\sin \theta \cos \varphi -\cos \theta \sin \varphi =\sin (\theta -\varphi )$ 化简，得到误差电压：

$$V\sin \omega t\sin (\theta -\varphi )$$

相敏检波器（phase-sensitive detector）产生正比于 $\sin (\theta -\varphi )$ 的直流误差电压，送给积分器；积分器输出驱动压控振荡器（VCO）给加减计数器提供时钟脉冲。当计数器的计数值达到当前轴角 θ 时，φ = θ，$\sin (\theta -\varphi )=0$，即 $\theta -\varphi =0°$，误差消失，计数器停止计数——此时计数器里存的角度就等于轴角。轴一转动，计数器就自动加或减，直到再次追上新角度。所以 RDC 能连续跟踪轴角，随时输出等于角度的数字码。

图：跟踪式分解器-数字转换器（RDC）的简化框图（原书图 15–16）

用数字码表示角度

表示角度最常用的编码方式见表 15–1：某一位是 1，表示对应的角度”被计入”；是 0 则不计入。各位的权重从 MSB 的 180° 起依次减半，16 位时分辨率可达 0.00549°。

表 15–1：分解器-数字转换的位权（原书表）

位位置	角度（度）
1（MSB）	180.00000
2	90.00000
3	45.00000
4	22.50000
5	11.25000
6	5.62500
7	2.81250
8	1.40625
9	0.70313
10	0.35156
11	0.17578
12	0.08790
13	0.04395
14	0.02197
15	0.01099
16	0.00549

例题 15–1：从输出码算角度

题目：某 RDC 有 8 位数字输出。若输出码为 01001101（最左位为 MSB），测到的角度是多少？

解：逐位对照表 15–1，把为 1 的位对应的角度找出来：

位位置	位	角度（度）
1	0	0
2	1	90.00000
3	0	0
4	0	0
5	1	11.25000
6	1	5.62500
7	0	0
8	1	1.40625

把所有”被计入”的角度加起来（计算中多保留几位只为展示过程，最后四舍五入到度）：

$$90.00000°+11.25000°+5.62500°+1.40625°=108°$$

练习：一个 12 位 RDC 输出码为 100000100001，测到的轴角是多少？（答案：183°——把 180° + 1.40625° + 0.70313° + 0.35156° + 0.17578° + 0.08790° + 0.04395° + 0.02197° + 0.01099° + 0.00549° 相加后取整。）

实际芯片：AD2S90

AD2S90 是一个 12 位的 RDC（数据手册见 www.analog.com），内部结构基本就是图 15–16 的通用 RDC，额外加了锁存器和串行接口用于数据传输和与数字系统对接——这些附加电路不影响转换过程。附加输出还有两个：DIR（方向）输出指示分解器轴的旋转方向；Velocity（速度）输出正比于输入角度的变化率。

图：AD2S90 分解器-数字转换器框图（原书图 15–17）

系统示例 15–1：风向测量系统

风向测量是 RDC 的一个典型应用（图 SE15–1）：风向标固定在分解器的轴上，风向标对准风向时轴随之转动，轴角就代表风向；分解器输出送入 RDC，得到的数字码驱动数字读出装置显示风向。

图：风向标带动分解器轴，把风向变成轴角（原书系统示例图 SE15–1）

图：分解器输出经 RDC 转成数字码，驱动风向读出（原书系统示例图）

更完善的风测量系统还会测风速：用螺旋桨式流量计，叶片转过一个磁传感器产生脉冲串——风越大叶片转得越快、脉冲越多（第 14 章介绍过的 AD650 频率-电压转换器正好派上用场）。你可以想想怎么把这套系统补完整。

常见坑：同步机和分解器输出口径不同

同步机是三定子绕组、三端输出；分解器是两定子绕组互隔 90°、四端输出。而所有 SDC/RDC 内部只处理分解器格式电压——拿到同步机信号必须先过 Scott-T 变压器，直接把三根线接进 RDC 是行不通的。

通关标准：

你能独立完成例题 15–1 那种”输出码→角度”的换算，并能用一句话讲清跟踪式 RDC 的闭环：误差电压 $\sin (\theta -\varphi )$ 驱动计数器计数，直到 φ 追上 θ。

15-3 温度测量

温度可能是被测量并转换成电信号最多的物理量。常见温度传感器有三种：热电偶（thermocouple）、电阻温度检测器（resistance temperature detector, RTD）和热敏电阻（thermistor）。除了认识器件本身，本节更重要的是学习”传感器怎么接到电子电路上”——接口（信号调理）电路。

热电偶（Thermocouple）

把两种不同金属连接在一起，对结点加热时，结点两端会产生一个小电压，叫塞贝克电压（Seebeck voltage，图 15–18）。电压大小取决于金属种类，且与结点温度成正比（正温度系数），但一般远小于 100 mV。热电偶的电压-温度特性有些非线性，不过非线性是可预测的。它最大的优势是量程极宽（整体覆盖 −250 °C 到 2000 °C）、能测很高的温度，所以在某些行业里应用很广。测量系统中常用仪表放大器（instrumentation amplifier）来配合热电偶，以规避噪声。

图：热电偶受热时产生正比于温度的电压（原书图 15–18）

商用热电偶常用的金属组合：镍铬-镍铝（chromel-alumel）、铁-康铜（iron-constantan）、铬-铝、钨铼合金、铂-10% 铑/铂，分别用字母 E、J、K、W、S 表示分度号。每种型号覆盖的温度范围和电压特性都不同（图 15–19）。

图：以 0 °C 为参考温度时几种常见热电偶的输出特性（原书图 15–19）

麻烦来了：不需要的”第二个热电偶”

把热电偶接到信号调理电路时（图 15–20），在热电偶导线与电路端子（另一种金属）的连接点上，无意中又制造了一个热电偶！这个多余的结点常被称为冷接点（cold junction），因为它所处的温度通常远低于被测温度。麻烦在于：它产生的电压与被测热电偶电压方向相反，而且随环境温度变化、无法预测——测量结果因此失真。

图：热电偶与电路接口处产生”不需要的热电偶”（原书图 15–20）

看一个具体例子（图 15–21）：用铜/康铜热电偶（T 型）测工业温箱温度。铜线接到电路板的铜端子——金属相同，没问题；康铜线也接到铜端子——金属不同，这个连接点就是一个”不需要的热电偶”，会产生一个与被测电压方向相反的电压。

图：简化测温电路——康铜线与铜端子相接处出现不需要的热电偶（原书图 15–21）

T 型热电偶分度表（表 15–2，原书表）

温度（°C）	输出（mV）
−200	−5.603
−100	−3.378
0	0.000
+100	4.277
+200	9.286
+300	14.860
+400	20.869

解决办法一：参考热电偶。在恒定已知温度（通常 0 °C，比如冰水混合物）下放一个参考热电偶（图 15–22）。这样一来，电路两个端子都变成了铜-铜连接，“不需要的热电偶”被消除；参考热电偶产生的电压是已知常量，可以在电路里补偿掉。

图：使用参考热电偶的测温电路（原书图 15–22）

例题 15–2：不补偿会差多少？

题目：设图 15–21 中的热电偶正在测工业烘炉里的 200 °C，电路板所在处环境温度在 15 °C 到 35 °C 之间变化。利用表 15–2（T 型热电偶），求环境温度取两个极端时电路输入端子上的电压；电压的最大百分比误差是多少？

解：查表 15–2，测量热电偶在 200 °C 时输出 9.286 mV。“不需要的热电偶”的电压要靠插值估算：15 °C 是 100 °C 的 15%，线性插值得

$$0.15(4.277\mathrm{mV})=0.642\mathrm{mV}$$

35 °C 是 100 °C 的 35%：

$$0.35(4.277\mathrm{mV})=1.497\mathrm{mV}$$

于是电路输入端子上的电压：

• 环境温度 15 °C 时：$9.286\mathrm{mV}-0.642\mathrm{mV}=8.644\mathrm{mV}$
• 环境温度 35 °C 时：$9.286\mathrm{mV}-1.497\mathrm{mV}=7.789\mathrm{mV}$