📘 第 14 章：数据转换

这一篇在干嘛？

现实世界的物理量（温度、压力、声音、速度）几乎都是模拟量，而计算机只能处理数字量。本章讲的就是两者之间来回翻译的全部电路：采样保持放大器（sample-and-hold amplifier）、数模转换器（DAC）、模数转换器（ADC）、压频/频压转换器（V/F、F/V），以及如何测试和排查这些芯片的故障。原书 14–1 节”模拟开关”（analog switch）在本切片中未收录正文，本章从 14–2 节讲起，但小结中会补足模拟开关的要点。

本章导航

• 14–2 采样保持放大器
• 14–3 模拟与数字世界的接口
• 14–4 数模转换 DAC
• 14–5 模数转换的基本概念
• 14–6 模数转换的常用方法
• 14–7 压频转换与频压转换
• 14–8 故障排查与测试
• 原书习题与答案配图
• 本章小结

14–2 采样保持放大器

采样保持放大器（sample-and-hold amplifier）的作用一句话就能说清：在某个瞬间给模拟电压”拍张照”，然后把这个电压值”冻住”保持一段时间。

为什么要这么做？因为后面要接的模数转换器（analog-to-digital converter, ADC）把一个电压转换成数字码需要花时间（几微秒到几毫秒不等）。如果在这段时间里输入电压还在变，ADC 到底该以哪个时刻的值为准？——就会出错。所以先用采样保持电路把电压稳稳地”钉”在一个值上，让 ADC 从容地完成转换。

基本采样保持电路

一个基本的采样保持电路由三部分组成：

1. 模拟开关（analog switch）：由控制电压决定通断，“采样”时闭合；
2. 保持电容 $C_H$：把采样到的电压存起来；
3. 输入、输出缓冲放大器（buffer amplifier）：输入缓冲提供信号通路，输出缓冲的输入阻抗极高，防止电容上的电荷很快泄放掉。

图：基本的采样保持电路结构（原书图 14–8）

工作过程：一个较窄的控制电压脉冲把模拟开关闭合，电容迅速充电到输入电压的当前值；随后开关断开，由于运算放大器（operational amplifier, op-amp）输入端的放电路径阻抗极高，电容上的电压能保持很长时间。本质上，采样保持电路把模拟输入电压的一个瞬时值变成了一个直流电压。

图：采样保持的基本动作——开关闭合时电容充电，开关断开时电压保持（原书图 14–9）

采样期间的”跟踪”

更贴切的叫法其实是采样/跟踪-保持（sample/track-and-hold）：在控制电压为高的整个采样区间里，输出并不是只取一个点，而是一路跟随输入变化（跟踪，tracking）；当控制电压变低（进入保持区间），最后一个电压值被保持住，直到下一个采样区间到来。

图：采样/跟踪-保持过程中输出跟踪输入的示例（原书图 14–10）

图：采样/跟踪-保持过程的相关波形（原书图）

例 14–3：画输出波形

已知：给采样/跟踪-保持放大器输入一个模拟电压波形和一串控制电压脉冲（见图 14–11），求输出电压波形。

图：例 14–3 的输入波形与控制电压波形（原书图 14–11）

解：控制电压为高电平期间，模拟开关闭合，电路跟踪输入；控制电压变低后，开关断开，最后一个电压值被保持为恒定电平，直到控制电压再次变高。按此规则逐段画出，结果如下图。

图：例 14–3 的解答输出波形（原书图 14–12）

练习：若控制电压频率减半，输出波形长什么样？（保持段会变长一倍，答案波形如下）

图：练习解答——控制电压频率减半时的输出波形（原书图 14–73）

性能指标

除了普通闭环运放的那些指标（第 6 章），采样保持放大器还有五个专属参数：

参数	英文	含义
孔径时间	aperture time	控制电压从采样电平切换到保持电平后，模拟开关完全断开所需的时间；它使有效采样点产生延迟
孔径抖动	aperture jitter	孔径时间的不确定度
捕获时间	acquisition time	控制电压从保持电平切回采样电平后，电路达到最终值所需的时间
电压跌落	droop	保持期间，由于保持电容漏电，电压从采样值慢慢下降的量
馈通	feedthrough	开关断开后，输出中仍跟随输入信号变化的成分（由开关的输入-输出寄生电容引起）

图：采样保持放大器各项指标示意（图中效果被夸大以便看清；黑色曲线为输入，彩色曲线为输出）（原书图 14–13）

常见坑：保持电容取多大？

保持电容 $C_H$ 的取值是个两难：要短的采样时间，就需要小电容（充得快）；要长而准确的保持时间，就需要大电容（漏得慢）。单个电路似乎不可能同时做到两者。解决办法是把两级采样保持电路级联：第一级用小电容实现极短采样，第二级用大电容实现长时间保持，两个目标都达成。

实际器件：AD585

AD585 是一个典型的采样保持放大器，内部包含两个缓冲放大器、一个由逻辑门控制的模拟开关，以及 100 pF 的内部保持电容（必要时可在 7、8 脚之间外接电容并联增大）。采样/保持控制电压加在 14–13 脚或 12–13 脚之间；被采样信号从 2 脚输入；3、5 脚之间可接电位器做失调调零；增益可接成 +1 或 +2，也可用外接电阻设置其他增益。

图：AD585 采样保持放大器的电路与引脚（原书图 14–14）

图：AD585 的两种接法之一——增益 $A_v=+1$，带可选的失调调零（原书图 14–15a）

图：AD585 的另一种接法——增益 $A_v=R_2/R_1+1=10\mathrm{k\Omega }/10\mathrm{k\Omega }+1=2$（原书图 14–15b）

14–3 模拟与数字世界的接口

模拟量有时被称为真实世界量（real-world quantities），因为温度、速度、位置、压力、力这些物理量本质上都是连续变化的模拟量。而处理和控制靠的是数字系统，所以必须掌握模拟↔数字的接口。

模拟量与数字量的区别

• 模拟量：在给定范围内取连续的一组值。例如 0 V 到 +15 V 之间有无穷多个电压值。
• 数字量：只有离散的有限个值。用 4 位二进制码表示 0～+15 V，只能定义 16 个值；想表示更多值，就得增加位数。

把一条 0～+15 V 间平滑变化的模拟曲线，按 35 个等间隔逐点测量（采样），每个点用一个 4 位二进制码表示——这就是模数转换（A/D conversion）的基本思想。

图：模拟曲线上的离散（数字）采样点（原书图 14–16）

用这串数字反过来重建曲线，会得到一个”阶梯状”的近似：因为两个采样点之间的值是未知的，重建结果只能逼近原曲线。

图：模拟曲线的粗糙数字重建（原书图 14–17）

接口需要两个基本过程：模数转换（A/D） 由模数转换器（ADC）完成，把模拟信号变成一串数字码送给计算机处理；数模转换（D/A） 由数模转换器（DAC）完成，把数字信息变回模拟形式。

系统示例 14–2：电子温控器

图：系统示例 14–2 配图（原书）

数字控制器构成的电子温控器：室温传感器输出与温度成正比的模拟电压 → 线性放大器放大 → ADC 转成数字码 → 控制器周期性采样比较。

例如室温 67°F 时，ADC 输入端出现对应电压，被转换成 8 位二进制数 01000011；而键盘预先设定的目标温度 72°F 存为 01001000。控制器比较后发现实际温度低于设定值，于是命令单元控制电路打开暖气；持续通过 ADC 监测，当实际温度等于或超过设定值时关闭暖气。系统设有两个阈值（滞回，hysteresis），避免暖气频繁启停。

图：使用 ADC 的电子温控器框图（原书图 SE14–4）

系统示例 14–3：手机里的 ADC 和 DAC

图：系统示例 14–3 配图（原书）

数字手机同时需要 A/D 和 D/A：语音编解码器（voice codec，codec 即 coder/decoder 的缩写）内含 ADC 和 DAC。

• 发送方向：麦克风送出的语音信号 → codec 中的 ADC 转成数字 → 数字信号处理器（digital signal processor, DSP，一种为实时运行内置指令而设计的专用计算机）处理 → 射频（rf, radio frequency）部分调制到无线电频率发射到基站。
• 接收方向：天线收到含语音数据的射频信号 → 解调还原成数字信号 → DSP 处理 → codec 中的 DAC 还原成语音 → 放大驱动扬声器。

图：数字蜂窝手机的简化框图（原书图 SE14–5）

14–4 数模转换 DAC

数模转换器（digital-to-analog converter, DAC）把数字形式的信息转换成模拟形式。本节介绍两种基本类型：二进制加权输入 DAC（binary-weighted-input DAC）和更常用的 R/2R 梯形 DAC（R/2R ladder DAC）。

二进制加权输入 DAC

这种 DAC 用一个电阻网络产生与输入位二进制权重对应的电流：输入电压为 0（二进制 0）时该路电流为零；输入为高电平（二进制 1）时，电流大小取决于该路的输入电阻。

图：4 位二进制加权输入 DAC（原书图 14–18）

由于运放反相（−）输入端几乎没有电流（虚地，virtual ground），所有输入电流汇合后全部流过反馈电阻 $R_F$，于是 $V_{OUT}=-I_F{R}_F$（注意因反相，输出为负）。

电阻取值与二进制权重成反比：阻值最小的电阻 $R$ 对应最高权重位 $2^3$，其余为 $2R$、$4R$、$8R$，分别对应 $2^2$、$2^1$、$2^0$。输入电流正比于二进制权重，输出电压就正比于输入码的权重之和。

缺点：n 位转换器需要 n 种不同阻值。8 位就要从 $R$ 到 $128R$ 共 8 种，要精确转换需要 1/255（小于 0.5%）的容差，难以大批量生产。

例 14–4：算输出电压

已知：图 14–19(a) 的 DAC（输入电阻 5 kΩ、10 kΩ、20 kΩ、40 kΩ，$R_F=1.0\mathrm{k\Omega }$），输入端加上图 14–19(b) 的一串 4 位二进制数对应的电平波形，二进制 1 = +5 V。$D_0$ 为最低有效位（least significant bit, LSB）。求输出波形。

图：例 14–4 的 DAC 电路（原书图 14–19a）

图：例 14–4 的输入二进制序列波形（原书图 14–19b）

解：第一步，求每一路的电流。反相输入端是虚地（0 V），二进制 1 对应 +5 V，所以每路电流就是 5 V 除以该路电阻：

$$I_0=\frac{5\mathrm{V}}{40\mathrm{k\Omega }}=0.125\mathrm{mA},I_1=\frac{5\mathrm{V}}{20\mathrm{k\Omega }}=0.25\mathrm{mA}$$ $$I_2=\frac{5\mathrm{V}}{10\mathrm{k\Omega }}=0.5\mathrm{mA},I_3=\frac{5\mathrm{V}}{5\mathrm{k\Omega }}=1.0\mathrm{mA}$$

第二步，所有电流都流过 $R_F$，且 $R_F$ 一端在虚地，其上压降即输出电压（相对虚地为负）：

$$V_{OUT(D0)}=(1.0\mathrm{k\Omega })(-0.125\mathrm{mA})=-0.125\mathrm{V}$$ $$V_{OUT(D1)}=(1.0\mathrm{k\Omega })(-0.25\mathrm{mA})=-0.25\mathrm{V}$$ $$V_{OUT(D2)}=(1.0\mathrm{k\Omega })(-0.5\mathrm{mA})=-0.5\mathrm{V}$$ $$V_{OUT(D3)}=(1.0\mathrm{k\Omega })(-1.0\mathrm{mA})=-1.0\mathrm{V}$$

第三步，按输入序列逐码累加：0000 → 0 V；0001 → −0.125 V；0010 → −0.25 V；0011 → −0.125 V + (−0.25 V) = −0.375 V……每个递增的二进制码使输出增加 −0.125 V。所以对这串顺序二进制码，输出是从 0 V 到 −1.875 V、步长 −0.125 V 的阶梯波。

图：例 14–4 的阶梯波输出（原书图 14–20）

练习：若反馈电阻改为 2.0 kΩ，输出步长是多少？（答案：0.25 V）

R/2R 梯形 DAC

R/2R 梯形网络只用两种阻值（$R$ 和 $2R$），克服了二进制加权 DAC 需要多种阻值的缺点。

图：4 位 R/2R 梯形 DAC（原书图 14–21）

分析方法是从最高位逐位”戴维南化”（thevenize），看 $R_8$ 左侧的等效电路：

• $D_3$=1（+5 V），其余为 0（码 1000）：等效电路化简后，反相输入为虚地，$2R$ 等效电阻上几乎无电流，流过 $R_7$ 的电流 $I=5\mathrm{V}/2R$ 全部流过 $R_F$，输出 $-5\mathrm{V}$。
• $D_2$=1（码 0100）：从 $R_8$ 看进去得 2.5 V 串联 $R$，流过 $R_F$ 的电流 $I=-2.5\mathrm{V}/2R$，输出 $-2.5\mathrm{V}$。
• $D_1$=1（码 0010）：等效 1.25 V 串联 $R$，$I=-1.25\mathrm{V}/2R$，输出 $-1.25\mathrm{V}$。
• $D_0$=1（码 0001）：等效 0.625 V 串联 $R$，$I=-0.625\mathrm{V}/2R$，输出 $-0.625\mathrm{V}$。

每降一位权重，输出电压减半——输出电压正比于输入位的二进制权重。

实际系统中 R/2R 梯形几乎都用单片 IC（monolithic IC）实现：电阻的绝对值不影响精度，但比值要尽量匹配，单片工艺能比分立电阻做得好得多。还有一个常被忽视的误差源：加到 2R 输入电阻上的电平是在基准电压和地之间切换的，开关自身的电阻会影响梯形网络精度——可用激光微调（laser trimming）技术修剪 2R 支路来补偿。

图：系统注释配图（原书）

DAC 的性能指标

• 分辨率（resolution）：输出最大离散步数的倒数，取决于输入位数。总步数为 $2^n-1$（n 为位数）。4 位 DAC 的分辨率是 $2^4-1$ 分之一（十五分之一），即 $(1/15)\times 100=6.67\%$。分辨率也可直接用位数表示。
• 精度（accuracy）：实际输出与期望输出的比较，以满量程输出的百分比表示。例如满量程 10 V、精度 ±0.1%，则任何输出的最大误差为 $(10\mathrm{V})(0.001)=10\mathrm{mV}$。理想情况下精度不应劣于 ±½ LSB；对 8 位转换器，LSB 是满量程的 0.39%，精度应约为 ±0.2%。
• 线性度（linearity）：偏离理想直线的误差。特例是失调误差（offset error）：输入全 0 时输出不为零的量。
• 单调性（monotonicity）：输入码在整个范围内顺序遍历时，输出不缺失任何台阶。
• 建立时间（settling time）：输入码变化后，DAC 稳定到最终值 ±½ LSB 以内所需的时间。

例 14–5：算分辨率

求：(a) 8 位 DAC 和 (b) 12 位 DAC 的百分比分辨率。

解：

(a) 8 位：

$$\frac{1}{2^8-1}\times 100=\frac{1}{255}\times 100=0.392\%$$

(b) 12 位：

$$\frac{1}{2^{12}-1}\times 100=\frac{1}{4095}\times 100=0.0244\%$$

练习：18 位转换器的百分比分辨率是多少？（答案：$\frac{1}{2^{18}-1}\times 100=\frac{1}{262143}\times 100\approx 0.00038\%$）

通关标准（DAC 部分）

1. 能不看书画出二进制加权 DAC 和 R/2R 梯形 DAC 的电路结构，并说清各自优缺点；2. 能独立完成例 14–4 这种”逐路算电流→求和→得阶梯波”的计算；3. 能背出 $2^n-1$ 并算出任意位数的百分比分辨率。

14–5 模数转换的基本概念

模数转换就是把模拟量变成数字形式，以便计算机处理、显示或存储。四个核心概念：分辨率、转换时间、采样定理、量化误差。

分辨率

ADC 把连续模拟信号翻译成一串二进制数，每个数代表转换时刻的信号值。分辨率用位数表示：4 位能表示 $2^4=16$ 个值，8 位 $2^8=256$ 个，12 位 $2^{12}=4096$ 个。位数越多，能表示的值越多，转换越精确，分辨率越高。

下图用一条电压斜坡直观展示分辨率的影响：3 位只能用 8 个值重建（阶梯很粗糙），4 位 16 步，5 位 32 步，一步比一步逼近原曲线。

图：3 位分辨率下的斜坡重建（8 步）（原书图 14–23a）

图：3 位重建与原斜坡的对比（原书图 14–23b）

图：4 位分辨率下的斜坡重建（16 步）（原书图 14–23c）

图：5 位分辨率下的斜坡重建（32 步）（原书图 14–23d）

转换时间

把模拟波形上的一个值转换成数字不是瞬间完成的，需要一定时间：快转换器为微秒级，慢器件为毫秒级。待转换的电压值出现在 $t_0$ 时刻，但转换到 $t_1$ 时刻才完成。

图：A/D 转换时间的示意（原书图 14–24）

采样定理