这一篇在干嘛？
拿到一个函数，怎么画出它准确的形状？怎么求最大最小值？这一章用一阶/二阶导数分析增减与凹凸、定位极值与拐点，解决实际优化问题，并顺路认识牛顿法和中值定理。
函数的增减性：导数符号告诉你图像往哪走
拿到一个函数，最基本的问题是：它的图像在哪里上升、在哪里下降？绘图工具能给出大致形状，但许多问题需要精确的答案——这就需要微积分。
增减性的严格定义。设 f 定义在某个区间上，、 是区间内任意两点：
- 若只要 就有 ，则称 f 在该区间上递增（increasing）；
- 若只要 就有 ，则称 f 在该区间上递减（decreasing）；
- 若区间内任意两点函数值都相等，则 f 在该区间上是常值的。
注意：增减性描述的是函数在区间上的整体行为，而不是在一个点上的行为。所以说一个函数在区间 上递减、在 上递增并不矛盾，尽管两个区间在 处相接。
导数如何决定增减。想象沿图像从左往右走：切线斜率为正的地方曲线在爬坡，斜率为负的地方在下坡。把这一直觉整理成定理（第 3.8 节将给出证明）：
定理 3.1.2 设 f 在闭区间 上连续、在开区间 内可导：
- (a) 若在 内 恒成立，则 f 在 上递增；
- (b) 若在 内 恒成立，则 f 在 上递减；
- (c) 若在 内 恒成立，则 f 在 上为常数。
注意细节：导数条件只要求在开区间 内成立，结论却覆盖整个闭区间 。定理对无穷区间也适用：例如 f 在 上连续且导数为正，则 f 在 上递增。
图：导数帮助确定海上钻井平台最经济的位置
图：函数在不同区间上增、减、常值的示意
图：(a) 递增函数
图：(b) 递减函数
图：(c) 常值函数
图：切线斜率的正负决定曲线的升降
例题：求 的增减区间。
图： 的图像，在 处由降转升
求导：。于是 时 ， 时 。f 处处连续，所以 f 在 上递减，在 上递增。结论与抛物线图像一致。
例题：求 的增减区间。
图： 在整个数轴上递增
，除 外恒为正，且 。f 在 与 上都递增，因此在并集 上递增。注意：导数在某点为零并不破坏单调性。
图： 的图像
标准流程：求 ；解 及找出 f’ 不存在的点，这些点把数轴分成若干区间；在每个区间内取测试点判断 的符号；据符号写出增减区间。
例题：分析 。
图： 的图像
图：先由图像提出猜想
。三个因子的零点 把数轴分成四段，用测试点判断 的符号：
| 区间 | 结论 | ||
|---|---|---|---|
| f 在 递减 | |||
| f 在 递增 | |||
| f 在 递减 | |||
| f 在 递增 |
凹凸性：曲率的方向
图：斜率不断增大的曲线段
导数符号告诉我们升降，但不告诉我们弯曲方向。下图中的曲线在一点两侧都在上升，但左侧向上弯（能盛水），右侧向下弯（会洒水）。
图：同为上升，弯曲方向却不同
定义 3.1.3 若 f 在开区间上可导，且 在该区间上递增，则称 f 在此区间上上凹（concave up）；若 递减，则称 f 下凹（concave down）。
几何上有两种等价的直观刻画：上凹时切线斜率越来越大（切线越来越陡），且曲线位于每条切线的上方；下凹则相反。
定理 3.1.4 设 f 在开区间上二阶可导：
- (a) 若在区间内 恒成立，则 f 上凹；
- (b) 若在区间内 恒成立，则 f 下凹。
理由： 是 的导数， 表示 递增。判断凹凸性完全平行于判断增减性——把定理 3.1.2 用在 上即可。
例题： 处处 ，所以处处上凹。而 的 在 时为负、 时为正，故 上下凹、 上上凹。
图： 在原点两侧凹向相反
图：凹向改变的位置
拐点：凹向切换的地方
定义 3.1.5 设 f 在含 的开区间上连续，若 f 的凹向在点 处发生改变（上凹变下凹或反之），则称 f 在 处有一个拐点（inflection point）。
例题：分析 的增减、凹凸与拐点。
图： 的图像
一阶与二阶导数：
符号分析：
| 区间 | 结论 | ||
|---|---|---|---|
| f 在 递增 | |||
| f 在 递减 | |||
| f 在 递增 |