📘 📉 导数：变化率的精确刻画 · 第 2 章精讲

这一篇在干嘛？

切线斜率、瞬时速度、变化率——它们背后是同一个概念：导数。这一章从定义出发，建立起完整的求导法则体系（四则、链式、隐函数），并教会你用导数解决相关变化率与线性近似问题。

切线与变化率：导数的两副面孔

现实世界充满了变化的量：火箭的速度、货币的通胀率、培养液中细菌的数量、地震的震动强度、电信号的电压等等。本章要建立的核心概念——导数——正是研究「一个量相对于另一个量变化快慢」的数学工具。它与几何中的切线斜率、物理中的瞬时速度，本质上是同一件事的三种说法。本节的任务就是把这三者统一起来。

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图：微积分的成就之一是能逐瞬间地刻画连续运动

切线的定义

第 1.1 节我们曾凭直观用极限求过切线方程。现在极限有了精确定义，可以正式定义切线了。设 $P(x_0,f(x_0))$ 是曲线 $y=f(x)$ 上一点，$Q(x,f(x))$ 是曲线上另一点。过 $P$、$Q$ 的割线斜率为

$$m_{PQ}=\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$$

Figure 2.1.1

图：图 2.1.1 割线 $PQ$，当 $Q$ 沿曲线滑向 $P$ 时趋于切线

让 $x\to x_0$，点 $Q$ 就沿曲线滑向 $P$，割线跟着转动。如果割线趋近某个极限位置，我们就把这个位置定义为切线；如果割线斜率 $m_{PQ}$ 有极限，这个极限就是切线斜率 $m_{\tan }$。

定义 2.1.1：设 $x_0$ 在 $f$ 的定义域内。曲线 $y=f(x)$ 在点 $P(x_0,f(x_0))$ 处的切线是方程为

$$y-f(x_0)=m_{\tan }(x-x_0)$$

的直线，其中

$$m_{\tan }=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\text{\hspace{1em}(1)}$$

（前提是这个极限存在。）

换一种写法：令 $h=x-x_0$，则 $x\to x_0$ 等价于 $h\to 0$，于是 (1) 可改写为

$$m_{\tan }=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\text{\hspace{1em}(2)}$$

公式 (2) 把切线斜率表达成「割线斜率的极限」，也是日后定义导数的标准形式。

图：图 2.1.2 切线斜率是割线斜率在 $h\to 0$ 时的极限

注意：(1) 和 (2) 通常都是 $\frac{0}{0}$ 型未定式，需要通过代数化简（因式分解、共轭配对等）来求极限。

例 1：$y=x^2$ 在 $(1,1)$ 处的切线（用公式 (1)）

题目：用定义 2.1.1 求抛物线 $y=x^2$ 在点 $P(1,1)$ 处的切线。

思路：直接套公式 (1)，$f(x)=x^2$、$x_0=1$。

演算：

$$m_{\tan }=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^2-1}{x-1}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}=\underset{x\to 1}{\lim }(x+1)=2$$

结论：切线方程为

$$y-1=2(x-1)\text{即}y=2x-1$$

例 2：同一道题用公式 (2)

题目：用公式 (2) 重算例 1 的斜率。

演算：

$$m_{\tan }=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(1+h)-f(1)}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{(1+h{)}^2-1^2}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{1+2h+h^2-1}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }(2+h)=2$$

两种写法结果一致。

例 3：$y=2/x$ 在 $(2,1)$ 处的切线

题目：求曲线 $y=2/x$ 在点 $(2,1)$ 处的切线方程。

思路：用公式 (2)，$f(x)=2/x$、$x_0=2$。先通分化简分子。

演算：

$$\begin{array}{rl}{m}_{\tan }& =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(2+h)-f(2)}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\frac{2}{2+h}-1}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\frac{2-(2+h)}{2+h}}{h}\\ & =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{-h}{h(2+h)}=-\left(\underset{h\to 0}{\lim }\frac{1}{2+h}\right)=-\frac{1}{2}\end{array}$$

结论：切线方程为

$$y-1=-\frac{1}{2}(x-2)\text{即}y=-\frac{1}{2}x+2$$

Figure 2.1.3

图：图 2.1.3 双曲线 $y=2/x$ 在 $(2,1)$ 处的切线

例 4：$y=\sqrt{x}$ 在多个点的切线斜率

题目：求曲线 $y=\sqrt{x}$ 在 $x_0=1$、$4$、$9$ 处的切线斜率。

思路：逐个算三遍太笨，更聪明的做法是先对一般的 $x_0$ 推出斜率公式，再代入数值。含根式用共轭配对。

演算：

$$\begin{array}{rl}{m}_{\tan }& =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{x_0+h}-\sqrt{x_0}}{h}\\ & =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{x_0+h}-\sqrt{x_0}}{h}\cdot \frac{\sqrt{x_0+h}+\sqrt{x_0}}{\sqrt{x_0+h}+\sqrt{x_0}}\\ & =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{x_0+h-x_0}{h(\sqrt{x_0+h}+\sqrt{x_0})}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{h}{h(\sqrt{x_0+h}+\sqrt{x_0})}\\ & =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{1}{\sqrt{x_0+h}+\sqrt{x_0}}=\frac{1}{2\sqrt{x_0}}\end{array}$$