📘 📐 极限与连续：微积分的第一性语言 · 第 1 章精讲

这一篇在干嘛？

极限是整个微积分的语言：导数和积分都用它定义。这一章从直觉入手，讲清楚极限怎么算、函数怎么「趋于无穷」、连续到底在连续什么，以及三角函数的连续性。

极限：微积分的地基

十七世纪，牛顿和莱布尼茨创立微积分，让科学家第一次真正理解了什么是瞬时变化率（速度、加速度）。概念一旦清晰，高效的计算方法随之而来，科学实现了质的飞跃。而支撑这一切的基石就是极限（limit）——如今所有微积分概念都建立在它之上。

本章将分阶段展开极限：从直观的、非正式的想法出发，最终走向精确的数学定义；同时发展计算极限的定理与方法；最后用极限研究连续曲线。

两大几何问题

微积分的许多想法源于两个几何问题：

• 切线问题：给定函数 $f$ 和图像上的点 $P(x_0,y_0)$，求在 $P$ 处与图像相切的直线方程（见图 1.1.1）。
• 面积问题：给定函数 $f$，求图像与 $x$ 轴上区间 $[a,b]$ 之间的面积（见图 1.1.2）。

传统上，由切线问题发展出的部分称为微分学，由面积问题发展出的部分称为积分学。后面会看到两者联系极其紧密，「微分」与「积分」的分界其实是人为的。

图：空气阻力使跳伞者的速度趋于极限——终端速度

图：切线问题

图：面积问题

切线与极限

平面几何里，与圆恰好交于一点的直线称为圆的切线（见图 1.1.3a）。但这个定义对一般曲线行不通：图 1.1.3b 中直线与曲线只交一次，显然不是切线；图 1.1.3c 中直线看起来是切线，却与曲线交了不止一次。

要推广切线的概念，需要换一个视角。设 $P$ 是曲线上我们关心的点，$Q$ 是曲线上异于 $P$ 的另一点。过 $P$、$Q$ 的直线称为曲线在 $P$ 处的一条割线（secant line）。直觉告诉我们：让 $Q$ 沿曲线向 $P$ 移动，割线会转动到一个极限位置——这个极限位置的直线就定义为 $P$ 处的切线（见图 1.1.4a）。应用到圆上，这个新概念与老概念完全一致（见图 1.1.4b）。

图：圆的切线定义不适用于一般曲线

图：(b) 只交一点但不是切线

图：割线趋近切线

例 1 求抛物线 $y=x^2$ 在点 $P(1,1)$ 处的切线方程。

解：设切线斜率为 $m_{\tan }$，则由点斜式，切线方程为

$$y-1=m_{\tan }(x-1)\text{\hspace{1em}(1)}$$

关键是求 $m_{\tan }$。取抛物线上异于 $P$ 的点 $Q(x,x^2)$，过 $P$、$Q$ 的割线斜率为

$$m_{\sec }=\frac{x^2-1}{x-1}\text{\hspace{1em}(2)}$$

（$P$、$Q$ 必须不同，否则 $x-1=0$，分母为零。）让 $Q$ 沿抛物线向 $P$ 逼近，等价于让 $x$ 趋近 1（但 $x\ne 1$）。此时 $m_{\sec }$ 应趋近 $m_{\tan }$。把（2）因式分解（$x\ne 1$ 时可以约去 $x-1$）：

$$m_{\sec }=\frac{x^2-1}{x-1}=\frac{(x-1)(x+1)}{(x-1)}=x+1$$

显然 $x$ 越接近 1，$m_{\sec }=x+1$ 越接近 2。故 $m_{\tan }=2$，切线方程为

$$y-1=2(x-1),\text{即}y=2x-1$$

注意这里的关键动作：$x=1$ 时公式（2）本来无定义，但极限允许我们问「$x$ 无限接近 1 但不等于 1 时，$m_{\sec }$ 无限接近什么？」——答案 2 就是切线斜率。

图：$y=x^2$ 在 $(1,1)$ 处的切线 $y=2x-1$

面积与极限

直线边界的平面区域，面积可以靠分割成矩形或三角形再求和来算（见图 1.1.6）。但曲边区域（如图 1.1.7a）需要更一般的办法：在曲线下方内接一排等宽矩形，用矩形面积之和近似区域面积（见图 1.1.7b）；用的矩形越来越多，矩形会填满曲线下的空隙，近似值越来越接近真实面积（见图 1.1.7c）。于是可以把曲线下面积定义为这些近似值的极限。这里极限概念再次登场——这是积分学的萌芽。

图：直线边界区域可直接分割求面积

图：曲边区域用矩形近似

图：矩形越多近似越好，面积 = 近似值的极限

小数里的极限

极限甚至出现在熟悉的小数里。$\frac{1}{3}$ 的小数展开是

$$\frac{1}{3}=0.33333\dots \text{\hspace{1em}(3)}$$

把它写成

$$\frac{1}{3}=0.3+0.03+0.003+0.0003+0.00003+\dots \text{\hspace{1em}(4)}$$

就是一个有无穷多项的和。它的含义是：有限和的序列

$$0.3,0.3+0.03,0.3+0.03+0.003,\dots$$

随着项数增多越来越接近极限值 $\frac{1}{3}$。可见「无穷小数」本身就是用极限来定义的。

极限的直观定义

极限最基本的作用，是描述自变量逼近某个值时函数如何表现。观察

$$f(x)=x^2-x+1$$

在 $x$ 越来越接近 2 时的行为：从图和表（图 1.1.8）都能看出，无论 $x$ 从 2 的左侧还是右侧接近，$f(x)$ 都越来越接近 3。我们把这个事实写成

$$\underset{x\to 2}{\lim }(x^2-x+1)=3\text{\hspace{1em}(5)}$$

读作当 $x$ 趋近 2 时 $x^2-x+1$ 的极限为 3。

图：$x$ 从两侧接近 2 时 $f(x)$ 都趋于 3

由此得到非正式定义：

极限（直观观点） 若当 $x$ 充分接近 $a$（但 $x\ne a$）时，$f(x)$ 的值能想多接近 $L$ 就多接近 $L$，则记 \lim _ {x \to a} f (x) = L \tag{6} 也可写作 $f(x)\to L(x\to a)$（见（7））。

最关键的一点：定义中 $x$ 被要求不等于 $a$，所以 $f$ 在 $a$ 处的值——甚至 $f$ 在 $a$ 处是否有定义——与极限 $L$ 毫无关系。极限描述的是 $f$ 在 $a$ 附近的行为，而不是在 $a$ 处的值。这句话是理解全部极限概念的钥匙。

例 2 用数值证据推测

$$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x-1}{\sqrt{x}-1}\text{\hspace{1em}(8)}$$

解：函数 $f(x)=\frac{x-1}{\sqrt{x}-1}$（见（9））在 $x=1$ 处无定义，但这不影响极限。从两侧各取一列 $x$ 值逼近 1：

$x$	0.99	0.999	0.9999	1.00001	1.001	1.01
$f(x)$	1.994987	1.999500	1.999950	2.000005	2.000500	2.004988

无论从左还是从右，$f(x)$ 都趋于 2。猜测

$$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x-1}{\sqrt{x}-1}=2$$

下一节会用代数方法确认。

图：函数在 $x=1$ 处有洞，但极限为 2

例 3 用数值证据推测

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}\text{\hspace{1em}(10)}$$

解：计算器取弧度模式，列表：

$x$（弧度）	$\pm 0.5$	$\pm 0.2$	$\pm 0.1$	$\pm 0.01$
$\sin x/x$	0.95885	0.99335	0.99833	0.99998

数据提示

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1\text{\hspace{1em}(11)}$$

这与图 1.1.10 的图像一致。本章后面会用几何论证严格证明这个 conjecture——它是三角函数求导的基石。注意：若 $x$ 用度数度量，这个极限会变（弧度制的必要性在这里显现）。

图：$x\to 0$ 时 $\frac{\sin x}{x}$ 从两侧都趋于 1

取样陷阱

数值证据有时会骗人——因为舍入误差，或因为取样值恰好掩盖了真实行为。看这个例子：

$$f(x)=\sin \left(\frac{\pi }{x}\right)$$

取 $x=\pm 1,\pm 0.1,\pm 0.01,\pm 0.001,\dots$ 时，$\pi /x=\pm \pi ,\pm 10\pi ,\pm 100\pi ,\dots$ 都是 $\pi$ 的整数倍，$\sin$ 全部等于 0。于是表格会让你误以为

$$\underset{x\to 0}{\lim }\sin \left(\frac{\pi }{x}\right)=0$$