📘 🧱 预备知识：函数与函数家族 · 第 0 章精讲

这一篇在干嘛？

在正式跨进微积分大门之前，先把地基打牢：什么是函数、怎么从旧函数造出新函数、常见函数家族长什么样、反函数为什么重要。这一章对应原书第 0 章，是全书的「共用工地」。

函数到底是什么

微积分诞生于十七、十八世纪，当时的动力来自人类想理解潮汐、月相、光的本质和引力这些物理现象。而贯穿微积分始终的核心对象，就是本节要讲的函数。

图：潮汐、引力等自然现象推动了微积分的诞生

现实世界里充满了「一个量依赖另一个量」的关系：气温依赖时间，圆的面积依赖半径，引力的大小依赖两物体间的距离。这种关系可以用图像、公式、数据或文字来描述。1673 年，莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz）创造了 function（函数）这个词，把这种依赖关系形式化：

如果变量 $y$ 依赖变量 $x$，且 $x$ 的每一个值都恰好确定 $y$ 的一个值，那么就说 $y$ 是 $x$ 的函数。

关键词是恰好一个：一个输入只能对应一个输出。这是函数区别于一般关系的本质特征，后面讲垂直线检验时会再回到这一点。

表示函数的四种方式

同一个函数可以用不同方式呈现，常见的有四种：

• 数值方式：用表格；
• 几何方式：用图像；
• 代数方式：用公式；
• 文字方式：用语言描述。

一个函数用什么方式表示，往往取决于它来自哪里：

表格的例子：印第安纳波利斯 500 赛事的排位赛速度表，把最高排位速度 $S$ 表示成年份 $t$ 的函数——每个 $t$ 对应唯一的 $S$。

图像的例子：地震仪自动记录的曲线。设 $T$ 是地震波离开震中后经过的时间，$D$ 是指针的偏转量，记录纸上每个 $T$ 对应唯一的 $D$，这条曲线就是 $D$ 关于 $T$ 的函数图像。

图：地震仪记录——图像方式表示的函数

公式的例子：圆的周长公式 $C=2\pi r$，每个半径 $r$ 对应唯一的周长 $C$。

文字的例子：牛顿万有引力定律的文字表述——宇宙中两物体间的引力与它们质量的乘积成正比、与它们距离的平方成反比。翻译成公式就是

$$F=G\frac{m_1{m}_2}{r^2}$$

其中 $F$ 是引力，$m_1$ 和 $m_2$ 是两物体质量，$r$ 是距离，$G$ 是常数。当质量固定时，这个式子把 $F$ 定义为 $r$ 的函数：每个 $r$ 对应唯一的 $F$。

用字母给函数命名：输入—输出机器

十八世纪中叶，瑞士数学家欧拉（Leonhard Euler）想到用字母来代表函数，从此我们可以不写出具体公式、表格或图像就能谈论某个函数。理解这一点的好办法是把函数想成一台机器（或一段计算机程序）：放入输入 $x$，机器对它做某种加工，产出恰好一个输出 $y$。这段程序本身是一个独立对象，可以给它起名字，比如 $f$。于是有：

函数 $f$ 是一种规则，它给每个输入指定唯一的输出。若输入记作 $x$，输出就记作 $f(x)$（读作 f of x）。

注意 unique（唯一）意味着：同一个输入不能对应两个不同的输出。看一个反例：如果画出 100 名大学生「体重对年龄」的散点图，同一年龄会有多个不同体重（同龄人体重可以不同），所以体重 $W$ 不是年龄 $A$ 的函数——这条散点图不满足函数的定义。

图：函数作为机器——每个输入 $x$ 产出唯一输出 $y$

图：体重对年龄的散点图——不是函数

自变量与因变量

给定输入 $x$，函数 $f$ 的输出叫做 $f$ 在 $x$ 处的值（value），也称为 $x$ 在 $f$ 下的像（image)。我们常把输出记为 $y$，写成

$$y=f(x)$$

这里 $x$ 称为 $f$ 的自变量（independent variable，也叫参数），$y$ 称为 $f$ 的因变量（dependent variable）。名字的含义很直观：$x$ 可以自由变化，但 $x$ 一旦取定，$y$ 就随之确定。目前我们只讨论输入输出都是实数的函数，称为实变量的实值函数；后面会接触其他类型的函数。

例 1（表格定义的函数） 设 $y=f(x)$ 由下表给出：

$x$	0	1	2	3
$y$	3	4	$-1$	6

则 $f(0)=3$，即 $f$ 把 $y=3$ 配给 $x=0$；同理 $f(1)=4$，$f(2)=-1$，$f(3)=6$。表本身就完整定义了这个函数。

例 2（公式定义的函数） 方程

$$y=3x^2-4x+2$$

把 $y$ 表示成 $x$ 的函数，其中 $f(x)=3x^2-4x+2$。求输出就是把 $x$ 代入公式：

• $f(0)=3(0{)}^2-4(0)+2=2$，即 $f$ 把 $y=2$ 配给 $x=0$；
• $f(-1.7)=3(-1.7{)}^2-4(-1.7)+2=17.47$，即 $f$ 把 $y=17.47$ 配给 $x=-1.7$；
• $f(\sqrt{2})=3(\sqrt{2}{)}^2-4\sqrt{2}+2=8-4\sqrt{2}$。

注意 $f(\sqrt{2})$ 我们保留精确形式 $8-4\sqrt{2}$ 而不急于化成小数——代入时保持精确是数学计算的好习惯。

图：欧拉（1707–1783），史上最多产的数学家，函数记号 $f(x)$ 就出自他手

函数的图像

实值函数 $f$ 的图像，就是方程 $y=f(x)$ 在 $xy$ 平面中的图像。图像上的点形如 $(x,f(x))$，也就是说：图像上一点的纵坐标，就是 $f$ 在该点横坐标处的函数值。

图像能直观地告诉我们很多信息。特别地，使 $f(x)=0$ 的 $x$ 值，正是图像与 $x$ 轴交点的横坐标。这些值称为 $f$ 的零点（zeros），也叫方程 $f(x)=0$ 的根（roots），或图像的 $x$ 截距（$x$-intercepts）。

图：一些基本函数的图像

图：图像上点的纵坐标就是对应该横坐标的函数值

图：函数 $f$ 在 $x_1,0,x_2,x_3$ 处有零点

垂直线检验

并不是 $xy$ 平面上的每条曲线都能成为某个函数的图像。设想一条曲线被某条竖直线在两点 $(a,b)$ 和 $(a,c)$ 处穿过。若它是 $y=f(x)$ 的图像，就得同时有

$$f(a)=b\mathrm{and}f(a)=c$$

这与「一个输入对应唯一输出」矛盾。由此得到判定准则：

垂直线检验：$xy$ 平面中的一条曲线是某个函数 $f$ 的图像，当且仅当任何竖直线与该曲线的交点不超过一个。

例 3 方程

$$x^2+y^2=25$$

的图像是半径为 5、圆心在原点的圆。显然存在与圆相交两点的竖直线，所以这个方程不把 $y$ 定义为 $x$ 的函数。

图：这条曲线被竖直线交于两点，不可能是函数的图像

图：圆 $x^2+y^2=25$ 不满足垂直线检验

绝对值函数

实数 $x$ 的绝对值（大小）定义为

$$|x|=\{\begin{array}{ll}x,& x\ge 0\\ -x,& x<0\end{array}$$

作用很简单：负数去掉负号，非负数保持不变。例如 $|5|=5$，$\left|-\frac{4}{7}\right|=\frac{4}{7}$，$|0|=0$。

常用的代数性质汇总如下（设 $a,b$ 为实数）：

• (a) $|-a|=|a|$：一个数与其相反数绝对值相同；
• (b) $|ab|=|a||b|$：乘积的绝对值等于绝对值的乘积；
• (c) $|a/b|=|a|/|b|$（$b\ne 0$）：商的绝对值等于绝对值的商；
• (d) $|a+b|\le |a|+|b|$：三角不等式，和的绝对值不超过绝对值之和。

$f(x)=|x|$ 的图像可以分段画：在 $x\ge 0$ 上画直线 $y=x$，在 $x<0$ 上画直线 $y=-x$，拼起来就是一条 V 形折线。

图：绝对值函数的 V 形图像

图：$y=\sqrt{x^2}$ 与 $y=|x|$ 的图像完全一致

绝对值与平方根有重要联系。初中学过：正数 $x$ 有两个平方根，一正一负，而符号 $\sqrt{x}$ 专指正的那个。这里有一个极易犯的错误：$\sqrt{x^2}$ 并不总等于 $x$！当 $x$ 非负时没错，但 $x$ 为负时就不对了。例如 $x=-4$ 时

$$\sqrt{x^2}=\sqrt{(-4{)}^2}=\sqrt{16}=4\ne x$$