这一章在干嘛？
这是本书的「工具箱章节」——把工程师日常会碰到的数学问题（统计、集合、多项式、复数、线性方程组、符号运算、积分微分）一次性铺开。学完你就能用 MATLAB 跑数据拟合、解电路节点方程、画 RC 电路响应、做数值积分，给老板/导师交差。
14.1 统计函数
工程里拿到的数据十有八九是带噪声的，「这一批数大概是什么、波动有多大、有没有异常点」就是统计函数要回答的问题。
14.1.1 一行命令看全家：`max
max 和 min 是最朴素的统计函数。它们也返回极值的索引（多个极值时返回第一个）：
>> x = [9 10 10 9 8 7 3 10 9 8 5 10];
>> [maxval, maxind] = max(x)
maxval = 10
maxind = 2 % 第一个 10 的位置，不是最后一个矩阵按列操作，要按行请加第二个参数（dim = 2）：
>> mat = [8 9 3; 10 2 3; 6 10 9];
>> mean(mat) % 默认按列：每列的均值
ans = 8.0000 7.0000 5.0000
>> mean(mat, 2) % 按行：每行的均值
ans = 6.6667
5.0000
8.333314.1.2 均值家族
算术平均（arithmetic mean，平常说的「平均」）：
>> mean([9 10 10 9 8 7 3 10 9 8 5 10])
ans = 8.1667异常点（outlier）会拉偏均值。下面这组数除了中间那个 100 都在 3~10 之间，但均值被拉到 15.23，比任何「正常」值都大：
>> xwithbig = [9 10 10 9 8 100 7 3 10 9 8 5 10];
>> mean(xwithbig)
ans = 15.2308工程里遇到这种情况，常见做法是先去掉最大最小值再求平均：
>> clean = xwithbig(xwithbig ~= min(xwithbig) & xwithbig ~= max(xwithbig));
>> mean(clean)
ans = 8.5455调和平均（harmonic mean）和几何平均（geometric mean）用得少但在特定领域很有用 —— 调和平均适合「速率平均」（比如数据下载速率），几何平均适合「增长率平均」（比如投资年化收益）：
>> x = [9 10 10 9 8 7 3 10 9 8 5 10];
>> harmhand = @(x) length(x) / sum(1./x);
>> harmhand(x)
ans = 7.2310
>> geomhand = @(x) nthroot(prod(x), length(x));
>> geomhand(x)
ans = 7.777514.1.3 方差与标准差：数据「散」到什么程度
方差（variance）刻画数据围绕均值的离散程度：
>> x = [8 7 5 4 6];
>> var(x)
ans = 2.5000标准差（standard deviation）就是方差的平方根：
>> std(x)
ans = 1.5811 % = sqrt(2.5)下面两组数据均值相同（都是 9.5）但离散度天差地别：
>> x1 = [9 10 9.4 9.6]; std(x1) % 紧凑数据
ans = 0.4163
>> x2 = [2 17 -1.5 20.5]; std(x2) % 跳跃数据
ans = 10.8704工程实战：质量控制
如果你是产线工程师，两台设备测得同一直径 16 mm 工件，第一台 std = 0.02 mm（精度高），第二台 std = 0.5 mm（精度差）——只看均值无法判断设备好坏，必须配合标准差看离散度。
14.1.4 众数与中位数
众数（mode）= 出现次数最多的值；多个并列时取最小的那个：
>> mode([9 10 10 9 8 7 3 10 9 8 5 10])
ans = 10 % 出现了 4 次中位数（median）= 排序后中间那个值（奇数长）或中间两个的平均（偶数长）：
>> median([1 4 5 9 12]) % 5 个数中间 = 第 3 个
ans = 5
>> median([1 4 5 9 12 33]) % 6 个数中间 = 第 3、4 个的平均 = (5+9)/2
ans = 7常见坑：均值 vs 中位数在偏态分布上的差异
数据有异常值时，中位数比均值鲁棒得多。例：「大多数员工月薪 1 万，老板月薪 100 万，公司平均月薪 ≈ 9 万」——这种时候报中位数比报均值更反映「真实」水平。
14.2 集合运算
把两个向量当作两个集合做运算 —— 工程师常常要回答「两组传感器的告警 ID 里哪些是共同的」「A 班和 B 班的零件编号有哪些不同」这类问题。
>> v1 = 6:-1:2 % v1 = [6 5 4 3 2]
>> v2 = 1:2:7 % v2 = [1 3 5 7]| 函数 | 含义 | 例子 |
|---|---|---|
union(a, b) | 并并 | [1 2 3 4 5 6 7] |
intersect(a, b) | 交并 | [3 5] |
setdiff(a, b) | 差并（a 中去掉 b） | [2 4 6] |
setxor(a, b) | 对称差（只在 a 或只在 b） | [1 2 4 6 7] |
unique(v) | 去重 | [1 2 3 4 5 6] |
ismember(a, b) | 逻辑向量，a 的每个元素是否在 b 中 | [0 1 0 1 0] |
issorted(v) | 是否升序排列 | 0 或 1 |
R2013a 之前返回结果默认升序；之后用 'stable' 保留原始顺序：
>> union(v1, v2, 'stable')
ans = 6 5 4 3 2 1 7 % 先按 v1 的顺序，最后是 v2 中独有的intersect 还支持返回索引向量，索引回原向量能拿到原始值：
>> [out, i1, i2] = intersect(v1, v2);
>> v1(i1) % 与 v2 共同的元素在 v1 中的位置
ans = 3 5用法建议
想做「A 班学生集合有没有完全包含 B 班」这种判定，组合两个
ismember比手写循环干净得多：all(ismember(B, A)) % B 中所有元素都在 A 中吗？
14.3 多项式、曲线拟合与插值
「数据是采样得到的散点，但我想知道任意时刻的值是多少」—— 这是工程里最常见的数学问题。多项式拟合 + 插值就是答案。
14.3.1 多项式表示法
MATLAB 用系数向量（按降幂排列）表示多项式：
>> p = [1 2 -4 3] % 代表 x^3 + 2x^2 - 4x + 3两个核心函数：
roots(p)：求多项式等于 0 的根polyval(p, x)：把多项式在 x 处求值
>> roots([4 -2 -8 3]) % 解 4x^3 - 2x^2 - 8x + 3 = 0
ans =
-1.3660
1.5000
0.3660
>> polyval([-2 1 4], 3) % 求 -2x^2 + x + 4 在 x=3 的值
ans = -11 % = -2*9 + 3 + 4常见坑：缺失项要补 0
没有 项和 项，要写成
[2 0 -1 0 5]。少一个 0，阶数就错了。
14.3.2 曲线拟合：polyfit + polyval
温度采样案例（工程实例）：一个下午每整点测一次温度，5 个采样点用直线（1阶）来拟合，效果是几乎平的横线 —— 因为这条线代表「下午整体趋势」，没有反映 4 点钟的高温：
>> x = 2:6; % 2~6 点钟
>> y = [65 67 72 71 63]; % 对应温度
>> polyfit(x, y, 1) % 拟合 1 阶（直线）
ans = 0.0000 67.6000 % y ≈ 67.6 的水平线
换成 2 阶（二次曲线）效果立刻好了：
>> coeffs = polyfit(x, y, 2) % 拟合 2 阶（抛物线）
coeffs = -1.8571 14.8571 41.6000
>> curve = polyval(coeffs, x); % 在每个 x 处求拟合曲线值
>> plot(x, y, 'ro', x, curve); xlabel('Time'); ylabel('Temp');
工程版（画得更密更平滑）：拿一个含 100 点的细网格 linspace(2,6,100) 来画曲线，数据点保持原来的 5 个：
% polytemp.m
x = 2:6;
y = [65 67 72 71 63];
coefs = polyfit(x, y, 2);
morex = linspace(min(x), max(x), 100); % 100 个密集采样点画曲线
plot(x, y, 'ro', morex, polyval(coefs, morex));
xlabel('Time'); ylabel('Temp'); axis([1 7 60 75]);
title('Temperatures one afternoon');14.3.3 阶数对比：欠拟合、过拟合与「刚刚好」
阶数太低 → 模型太朴素（欠拟合）；阶数太高 → 模型把噪声也学进去了（过拟合）。下面把 1、2、3 阶并列画出来，对比就一目了然：
% polytempsubplot.m
x = 2:6;
y = [65 67 72 71 63];
morex = linspace(min(x), max(x));
for pd = 1:3
coefs = polyfit(x, y, pd);
curve = polyval(coefs, morex);
subplot(1,3,pd);
plot(x, y, 'ro', morex, curve);
title(sprintf('Degree %d', pd));
axis([1 7 60 75]);
end
14.3.4 插值与外推
插值（interpolation）：求采样点之间的值。外推（extrapolation）：求采样点之外的值。
>> polyval(coeffs, 2.5) % 插值：2:30 时的温度
ans = 67.1357
>> polyval(coeffs, 1.0) % 外推：1:00 时的温度
ans = 54.6000 % ⚠️ 外推不可靠，离样本越远越不准常见坑：外推危险
用一个二次曲线去预测「明天的温度」，相当于让模型在完全没有数据约束的区域发疯。永远把外推视为「仅供参考」，真要做预测用线性回归 + 置信区间或时间序列模型。
14.3.5 工程实例：噪声数据的二次/三次拟合对比
下面两个图是 12 个随机采样点的二阶和三阶拟合曲线对比。点数多时，二阶已经能很好地反映整体趋势；三阶开始把噪声也拟合进去。
14.4 复数
电子工程师绕不开复数 —— 交流电路里的阻抗、信号处理里的频域、控制理论里的传递函数，全都是复数。MATLAB 里 i 和 j 都是内置的 。
常见坑：循环变量
i覆盖虚数单位>> for i = 1:5; end >> 3*i % 这时 i=6，结果是 18，不再是复数永远用
1i或1j（永远返回复数 0+1.0000i），不要图省事只用i/j。
14.4.1 复数创建与基本运算
>> z1 = 4 + 2i % 标准写法
>> z2 = sqrt(-5) % MATLAB 自动返回纯虚数
z2 = 0.0000 + 2.2361i
>> z3 = complex(3, -3) % 用函数构造
>> z4 = 2 + 3j % 工程习惯写法，结果与 2+3i 相同实部、虚部、共轭、模长：
>> real(z1), imag(z1) % 实部、虚部
ans = 4
ans = 2
>> conj(z1) % 共轭：a - bi
ans = 4.0000 - 2.0000i
>> abs(z1) % 模长：sqrt(a^2 + b^2)
ans = 4.4721打印陷阱：fprintf('%f\n', z1) 默认只打实部，不会出错但丢一半信息。要打完整得：
>> fprintf('%f + %fi\n', real(z1), imag(z1))
4.000000 + 2.000000i