📘 第 5 章：多级信号处理

这一篇在干嘛？

采样率变换的艺术：抽取/插值、多相分解、Hogenauer CIC 滤波器、小波变换——过采样系统的核心工具箱。 原书代码为 VHDL，本篇所有代码已改写为 Verilog。

• 第5章
• 多级信号处理
• 5.1 抽取和插值
• 5.2 多相分解
• 例5.1 多相抽取滤波器
• 例5.2 快速FIR滤波器
• 算法5.3 快速FIR滤波器
• 5.3 Hogenauer CIC 滤波器
• 例5.4 三级CIC抽取器I
• BEGIN
• 例5.6 三级CIC抽取器III
• 5.4 多级抽取器
• 使用 Goodman-Carey 半带滤波器的多级抽取器设计
• 定义 5.7：半带滤波器
• 例 5.8 多级半带滤波器抽取器
• 5.5 作为通频带抽取器的频率采样滤波器
• 5.6 任意采样速率转换器的设计
• 例5.9 $R=0.75$ 的速率变换器I
• 算法5.10 应用FFT的有理数速率变换
• 例 5.11 R=0.75 的速率变换器 II
• 例5.12 $R=0.75$ 的速率变换器III
• 例5.13 $R=0.75$ 的速率变换器IV
• 例 5.14 R=0.75 的速率变换器 V
• 5.7 滤波器组
• 例5.16 双通道Haar滤波器组I
• 定理 5.17 完美的重构
• 例 5.18 双通道 Haar 滤波器组 II
• 定理5.19 与混叠无关的双通道滤波器组
• 算法5.20 完美重构的双通道滤波器组
• 例5.21 采用F3的完美重构滤波器组
• 推论 5.22 半带滤波器的因式分解
• 1. 多相双通道滤波器组
• 2. 提升
• 例 5.23 DB4 滤波器的提升实现
• 3. QMF 实现
• 4. 正交滤波器组
• 5. 线性相位双通道滤波器组
• 例5.25 $L=4$ 的线性相位滤波器的网格
• 6. 实现选项的比较
• 5.8 小波
• 例 5.26 线性调频信号的分析
• 例5.27 长度为4的Hutlet滤波器
• 5.9 练习
• 5.25 利用练习 5.24 的结果。

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自测一下

抽取前为什么必须先低通滤波？

直接丢点（抽取）会让新采样率下的高频分量混叠到带内。先抗混叠低通把新奈奎斯特频率以上的能量压掉，再抽取才不失真。

CIC 滤波器为什么"不用乘法器"？

CIC 的系数全是 1（积分器+梳状器级联），只需加法器与寄存器。代价是通带衰减大，通常放在高速率前端、后接补偿 FIR。

多相分解省了什么？

把长滤波器拆成 R 相，每相只在低速率时钟下处理自己那一路，等效把乘法器工作频率降到 1/R，或者用 1/R 个乘法器完成原本 R 倍速的计算——硬件量大幅下降。

半带滤波器有什么特点？

约一半系数恰好为 0（除中心点外偶数系数全为 0），乘法量比同长 FIR 少一半；通阻带对称，特别适合 2 倍抽取/插值级联。

第5章 多级信号处理

在数字信号处理中，有一类非常常见的任务：根据感兴趣的信号来调整采样速率。由不同采样速率的系统组成的处理链，就称为多级系统。本章通过两个典型示例说明多级 DSP 系统中的抽取与插值，然后引入多相分解这一重要的实现技巧，研究高效的抽取器设计，最后讨论 Hogenauer CIC 滤波器——高速抽取/插值系统中几乎绕不开的构件。

5.1 抽取和插值

什么是抽取，为什么需要它

如果 A/D 转换之后，感兴趣的信号只占据一个很窄的频带（通常是低通或带通），那么用很高的采样速率来承载它就是一种浪费：后续每一步运算都要为那些”空”的频谱成分买单。合理的做法是先窄带滤波，再降低采样速率——滤波加向下采样的组合通常称为抽取器。滤波、向下采样以及对频谱的影响如图 5-1 所示。

图 5-1 信号 $x[n]\circ \bullet X(\omega )$ 的抽取

采样速率能降到多低？下限就是奈奎斯特速率：采样速率必须高于信号带宽，否则混叠就会出现。图 5-2 对比了无混叠抽取与有混叠抽取的情形。要特别记住：混叠是不可修补的——一旦不同频带的成分叠在一起，无论后面做什么处理都无法把它们分开，所以必须在抽取之前用低通滤波器把它们滤干净。

图 5-2 无混叠抽取和有混叠抽取的情形

带通信号的完整频带条件

对带通信号还有一条额外规则：有用频带必须整体落在一个”完整频带”之内。设采样速率为 $f_s$、向下采样因子为 $R$，则有用带宽必须满足

$$k\frac{f_s}{2R}<f<(k+1)\frac{f_s}{2R},k\in \mathbf{N}\text{\hspace{1em}(5-1)}$$

初学者容易误以为”采样速率高于奈奎斯特频率就万事大吉”，式(5-1)正是提醒：如果频带跨在 $k\frac{f_s}{2R}$ 的边界上，向下采样后负频带的”复制”会混进正频带，即使采样速率足够高也会出现混叠，如图 5-3 所示。

图 5-3 完整频带的干扰(© VDI 出版社文献[4])

插值与 D/A 转换

反过来，提高采样速率也有用武之地，最典型的就是 D/A 转换。D/A 转换器通常采用一阶采样-保持，输出是阶梯状的函数，其高频镜像成分虽然可以用模拟 $1/\mathrm{sinc}(x)$ 补偿滤波器修整，但在大多数情况下数字方案更划算：在数字域先用一个扩展器（每 R 个点插入 R-1 个零）和一个附加低通滤波器，把频谱抬到高采样速率上。注意，扩展器引入的零点会在基带频谱之外生成额外副本，这些副本必须在信号送入 D/A 之前被插值滤波器消除，见图 5-4。直观地说，插值倍数越多，输出信号越光滑（参见图 5-5(b)）。

图 5-4 插值示例 $x[n]\circ \bullet X(\omega )$，R=3

(a) 低的过采样、高的递降

图 5-5 D/A 转换

5.1.1 Noble 恒等式

处理多级系统时，经常会希望把滤波器和向下采样器/扩展器换个位置，以换取更低的运算量。图 5-6 给出的重新排列规则就是所谓的 “Noble” 关系式。

图 5-6 等价多级系统(Noble 关系)

对抽取器，恒等式为

$$(\downarrow R)F(z)=F(z^R)(\downarrow R)\text{\hspace{1em}(5-2)}$$

含义：如果允许”先向下采样、后滤波”，那么滤波器可以换成 $F(z^R)$——它的系数间隔被拉开了 R 倍，等效于滤波器长度不变但只以 1/R 的速率做乘加。对插值器则有

$$F(z)(\uparrow R)=(\uparrow R)F(z^R)\text{\hspace{1em}(5-3)}$$

含义：把滤波器放在扩展器之前，同样得到降低了 R 次的滤波器。直觉上， Noble 恒等式的价值在于：它把”高采样率下的大量运算”合法地搬到”低采样率”一侧，5.2 节的多相实现正是建立在这两个恒等式之上。

5.1.2 用有理数因子进行采样速率转换

如果输入、输出速率之比不是整数，就需要有理数变换因子 $R_1/R_2$。标准做法是：先用插值器把采样速率提高 $R_1$ 倍，再用抽取器降低 $R_2$ 倍。插值和抽取都需要低通滤波器，两个滤波器级联在一起时，效果由通带更窄的那个决定，因此只需实现一个低通滤波器，其通带频率取

$$f_p=\min \left(\frac{\pi }{R_1},\frac{\pi }{R_2}\right)\text{\hspace{1em}(5-4)}$$

图 5-7 上面是插值器与抽取器的级联，下面是合并后的单滤波器结构。5.6 节将进一步讨论该系统的不同设计方案。

图 5-7 非整数抽取系统：上面是插值器和抽取器的级联，下面是最终组合的低通滤波器

5.2 多相分解

为什么要多相分解

在 IIR/FIR 滤波器与滤波器组中实现抽取或插值时，多相分解非常有用。以 FIR 抽取滤波器为例：在图 3-1 的 FIR 结构后接一个 R 倍向下采样器，输出只需要

$$y[0],y[R],y[2R],\dots \text{\hspace{1em}(5-5)}$$

这些时刻的值。也就是说，卷积和 ${\sum }_{k}f[k]x[n-k]$ 没有必要每个采样点都算！举例来说，$x[0]$ 只需要乘以

$$f[0],f[R],f[2R],\dots \text{\hspace{1em}(5-6)}$$

这些系数；除 $x[0]$ 外的其余输入样本也只需要乘以

$$x[R],x[2R],\dots \text{\hspace{1em}(5-7)}$$

分解方法

据此可以把输入信号分成 R 个独立的序列：

$$\begin{array}{c}x[n]={\sum }_{r=0}^{R-1}{x}_r[n]\\ x_0[n]=\{x[0],x[R],\dots \}\\ x_1[n]=\{x[1],x[R+1],\dots \}\\ ⋮\\ x_{R-1}[n]=\{x[R-1],x[2R-1],\dots \}\end{array}$$

同样把滤波器 $f(n)$ 分成 R 个序列：

$$\begin{array}{rl}& f[n]={\sum }_{r=0}^{R-1}{f}_r[n]\\ & f_0[n]=\{f[0],f[R],\dots \}\\ & f_1[n]=\{f[1],f[R+1],\dots \}\\ & ⋮\\ & f_{R-1}[n]=\{f[R-1],f[2R-1],\dots \}.\end{array}$$

图 5-8 给出了多相分解实现的抽取器：R 个短滤波器并行工作在低速率上，再合并成输出。这样的抽取器运行速度可以比”滤波器 + 向下采样器”的通用结构快 R 倍。滤波器 $f_r[n]$ 称为多相滤波器——它们幅值传递函数相同，只是被不同的采样延迟分隔开，引入了相位偏移，“多相”由此得名。

图 5-8 抽取滤波器的多相实现

例 5.1 多相抽取滤波器

以长度为 4 的 Daubechies 滤波器 $G(z)$、抽取因子 R = 2 为例：

$$\begin{array}{l}G(z)=((1+\sqrt{3})+(3+\sqrt{3})z^{-1}+(3-\sqrt{3})z^{-2}+(1-\sqrt{3})z^{-3})\frac{1}{4\sqrt{2}}\\ G(z)=0.48301+0.8365z^{-1}+0.2241z^{-2}-0.1294z^{-3}\end{array}$$

系数量化到 8 位精度后得到

$$\begin{array}{rl}& G(z)=(124+214z^{-1}+57z^{-2}-33z^{-3})/256\\ & G(z)=G_0(z^2)+z^{-1}{G}_1(z^2)\\ & =\underset{G_0(z^2)}{\underbrace{\left(\frac{124}{256}+\frac{57}{256}{z}^{-2}\right)}}+z^{-1}\underset{G_1(z^2)}{\underbrace{\left(\frac{214}{256}-\frac{33}{256}{z}^{-2}\right)}}\end{array}$$