第10章 运放噪声：白噪声、1/f 与 SNR 账本

这一篇在干嘛？

电路的任务是处理信号，但真实世界里信号上永远叠着一层”沙沙”的噪声。这一章把噪声从玄学变成账本：噪声有哪几种、怎么用 nV/√Hz 描述、多个噪声怎么叠加、以及怎么一步步算出一个放大电路的信噪比（SNR）。

10.1 噪声是什么，为什么躲不掉

运放电路的目的是对输入信号做某种处理，但现实中输入信号上总是叠加着不想要的噪声。噪声是纯粹的随机信号——任意时刻的瞬时值和相位都无法预测。噪声既可由运放内部及其外围无源器件产生，也可能从外部耦合进来（外部噪声在第17章讨论，而且往往是主导因素）。理解了噪声的原理，就能在设计时有针对性地降低它。

10.2 先建立”账本”：噪声怎么度量

10.2.1 rms 与峰峰值：高斯分布的账

瞬时噪声电压是正是负的概率相同，画出来是围绕零点随机散布的图形。噪声只能用概率密度函数描述，最常见的是高斯分布：幅度等于均值的概率最大，偏离越远概率越小，呈对称钟形曲线。

图10-1 噪声能量的高斯分布

关键结论（σ 是标准差，也是噪声电压/电流的 rms 值）：瞬时幅度落在 ±1σ 内的概率是 68%、±2σ 内 95.4%、±3σ 内 99.7%——这就是”99.7% 的概率信号不超过 6 倍 rms 值”的由来。σ² 是相对均值的平均均方偏差，即 $\overline{i^2}$ 或 $\overline{e^2}$ 就是方差 σ²。

常见坑

热噪声和散粒噪声是高斯分布的，但其他噪声类型（如 1/f 噪声）不是。别把”6 倍 rms = 峰峰值”的经验到处套用。

10.2.2 噪声底

把所有输入源关掉、输出正确端接后，电路里仍有一个噪声水平，叫噪声底（noise floor），它决定了电路能处理的最小信号。设计者的目标：让要处理的信号高于噪声底，又低于削波电平——夹在中间。

10.2.3 信噪比（SNR）

信号的”吵闹程度”定义为信号电压与噪声电压之比（所以叫信噪比），常用 dB 表示：

$$\frac{S_{(f)}}{N_{(f)}}=\frac{\text{rms 信号电压}}{\text{rms 噪声电压}}\text{\hspace{1em}(10-1)}$$

10.2.4 多个噪声源怎么叠加：方和根

电路里有多个噪声源时，总 rms 噪声不是直接相加，而是各源均方值求和再开根号（平方和的根，RSS）：

$$E_{\text{Total rms}}=\sqrt{e_{1\text{rms}}^2+e_{2\text{rms}}^2+\dots +e_{n\text{rms}}^2}\text{\hspace{1em}(10-2)}$$

白话：先各自平方，加起来，再开方。这是处理噪声时设计者唯一能得到的”折扣”。

两个幅度都是 2 V_rms 的噪声源：

$$E_{\text{Total rms}}=\sqrt{2^2+2^2}=\sqrt{8}=2.83{\text{V}}_{\text{rms}}\text{\hspace{1em}(10-3)}$$

总噪声不是直觉预期的翻倍（+6 dB），而是 $20\times \log \frac{2.83}{2}=3.01$ dB，只增 3 dB。重要推论：系统里最差的噪声源主导总噪声。10 V_rms 加 1 V_rms：

$$E_{\text{Total rms}}=\sqrt{10^2+1^2}=\sqrt{101}=10.05{\text{V}}_{\text{rms}}\text{\hspace{1em}(10-4)}$$

那个 1 V 的噪声源几乎没有任何影响！降噪先干掉最大的源，小的可以放一放。

10.2.5 噪声单位：nV/√Hz 到底是什么意思

噪声通常以谱密度给出：每根号赫兹多少 rms 伏/安（V/√Hz、A/√Hz）。这个单位不亲民——必须乘上带宽的平方根，才是实际可观测的噪声。

例题 10-1：TLE2027 的音频信噪比

TLE2027 噪声 2.5 nV/√Hz，音频频段 20 Hz～20 kHz，增益 40 dB（100 倍），输出 0 dBV（1 V）。求 SNR。

• 第一步，算”根号赫兹”部分：$\sqrt{20000-20}=141.35$——把带宽开平方，就是要乘的”√Hz 数量”
• 第二、三步，乘噪声密度得等效输入噪声（EIN）$2.5\times 141.35=353.38$ nV，再乘增益 100 得输出噪声 $35.3\mu$V
• 第四步，算 SNR：

$$20\times \log \left(\frac{1\text{V}}{35.3\mu \text{V}}\right)=20\times \log (28329)=89\text{dB}\text{\hspace{1em}(10-5)}$$

TLE2027 是这个应用的优秀选择。但记住：无源器件和外部噪声源会让性能变差，低频段还有 1/f 噪声的额外贡献。

10.3 五种噪声类型

运放及其相关电路中有五种噪声：散粒噪声（Shot）、热噪声（Thermal）、闪烁噪声（Flicker/1/f）、猝发噪声（Burst/爆米花）、雪崩噪声（Avalanche）。一个设计可能同时存在其中几种，形成系统独有的噪声谱。多数情况下无法分离它们，但了解成因能帮你在关心的带宽内把噪声降到最低。

10.3.1 散粒噪声（Shot Noise）

电流不是连续的流体——它是一个个电子按外加电位移动。电子遇到势垒（如半导体 pn 结）时势能积累，直到”啪”地越过势垒，势能瞬间转为动能。每个电子穿越势垒都贡献一个小的”噗”声，集体效应就是散粒噪声。放大的散粒噪声听起来像铅弹打在水泥墙上（shot = 铅弹）。

图10-2 散粒噪声的产生

特征：伴随电流流动而存在（电流停它就停）；与温度无关；频谱平坦（“白”噪声）；任何导体中都有，但半导体中明显得多。

pn 结的 rms 散粒噪声电流：

$$I_{sh}=\sqrt{(2q{I}_{dc}+4q{I}_0)B}\text{\hspace{1em}(10-6)}$$

其中：q 为电子电荷（$1.6\times 10^{-19}$ 库仑），$I_{dc}$ 为平均正向直流电流（A），$I_0$ 为反向饱和电流（A），B 为带宽（Hz）。正偏时 $I_0$ 为零，第二项消失。利用结的动态电阻 $r_d=\frac{kT}{q{I}_{dc}}$：

$$r_d=\frac{kT}{q{I}_{dc}}\text{\hspace{1em}(10-7)}$$

得到 rms 散粒噪声电压：

$$E_{sh}=kT\sqrt{\frac{2B}{q{I}_{dc}}}\text{\hspace{1em}(10-8)}$$

其中 k 为玻尔兹曼常数（$1.38\times 10^{-23}$ J/K），T 为绝对温度（K）。

例题 10-2：散粒噪声有多大？

一个 pn 结流过 1 mA 电流，室温（298 K）下音频带宽（20 Hz～20 kHz）内：

$$E_{sh}=1.38\times 10^{-23}\times 298\times \sqrt{\frac{2(20000-20)}{(1.6\times 10^{-19})\times (1\times 10^{-3})}}=65\text{nV}=-144\text{dBV}\text{\hspace{1em}(10-9)}$$

白话：-144 dBV 小到可以忽略，这个例子里散粒噪声完全不是问题。

注意反比关系：散粒噪声电压与直流电流的平方根成反比——电流越大噪声电压越小。这提供了一个诊断办法：把直流电流减小 100 倍，看总噪声是否增大 10 倍。电流改为 10 µA 时：

$$E_{sh}=1.38\times 10^{-23}\times 298\times \sqrt{\frac{2(20000-20)}{(1.6\times 10^{-19})\times (1\times 10^{-5})}}=650\text{nV}=-124\text{dBV}\text{\hspace{1em}(10-10)}$$

散粒噪声电压果然增大 10 倍（20 dB）。

10.3.2 热噪声（Thermal / Johnson Noise）

热噪声由导体中电子的热搅动产生：导体被加热就会变吵。电子从不静止，热量打乱电子对外加电位的响应，叠加一个随机分量。只有降到绝对零度热噪声才停止。它与散粒噪声一样频谱平坦（白噪声），但与电流流动无关——只跟温度和电阻有关。

图10-3 热噪声

100 MHz 以下可用 Nyquist 关系计算：

$$E_{th}=\sqrt{4kTRB}\text{\hspace{1em}(10-11)}$$

或电流形式：

$$I_{th}=\sqrt{\frac{4kTB}{R}}\text{\hspace{1em}(10-12)}$$

其中 k 为玻尔兹曼常数（$1.38\times 10^{-23}$），T 为绝对温度（K），R 为电阻（Ω），B 为噪声带宽（Hz，$f_{max}-f_{min}$）。白话：电阻噪声正比于阻值和温度的平方根。高增益输入级别让电阻工作在高温下；降低阻值也能降低热噪声。

例题 10-3：100 kΩ 电阻的热噪声

25°C（298 K）下，100 kΩ 电阻在音频频段的噪声：

$$\begin{array}{rl}{E}_{th}& =\sqrt{4kTRB}\\ & =\sqrt{4\times (1.38\times 10^{-23})\times 298\times 100000\times (20000-20)}\\ & =5.73\mu \text{V}=-104.8\text{dBV}\end{array}\text{\hspace{1em}(10-13)}$$

降到 1 kΩ（缩 100 倍）噪声降 20 dB；反之 10 MΩ 升到 -84.8 dBV——足以影响 16 位音频电路。

常见坑

增益电路的输入电阻用大阻值时，其热噪声会被电路增益放大；便携设备为省电加大电阻，热噪声便成为问题——低功耗与低噪声是一对矛盾；多个电阻的噪声按 10.2.4 的方和根定律叠加。

10.3.3 闪烁噪声（Flicker / 1/f Noise）

闪烁噪声也叫 1/f 噪声，起源是物理学中最古老的未解难题之一，普遍存在于自然界，出现在所有有源器件和许多无源器件中，可能与半导体晶格缺陷有关（更好的工艺可减小它）。特征：频率越低噪声越大（所以叫 1/f）；与器件中的直流电流相关联；每个倍频程（或十倍频程）内的功率相同。

rms 值为：

$$E_n=K_e\sqrt{\ln \frac{f_{max}}{f_{min}}},I_n=K_i\sqrt{\ln \frac{f_{max}}{f_{min}}}\text{\hspace{1em}(10-14)}$$

其中 $K_e$、$K_i$ 是比例常数（V 或 A），代表 1 Hz 处的 $E_n$ 和 $I_n$。白话：因为每个倍频程能量相同，频带拉宽时噪声按对数缓慢增长，不是线性增长。

闪烁噪声在碳合成电阻中很显著，常被称为”过剩噪声”——叠加在热噪声之上的额外部分。绕线电阻的 1/f 噪声最小。由于闪烁噪声正比于直流电流，只要电流足够低，热噪声就占主导，此时用什么电阻都无所谓。

常见坑

为省电放大电阻可降低 1/f 噪声，但热噪声增加——两种噪声此消彼长，需要权衡。

10.3.4 猝发噪声（Burst / Popcorn Noise）

猝发噪声又称爆米花噪声，与半导体材料缺陷和重离子注入有关，特征是离散的高频脉冲：脉冲速率可变，但幅度恒定为热噪声幅度的数倍。低于 100 Hz 的猝发噪声经扬声器播放时发出”噼啪”声，像爆米花。低猝发噪声要靠干净的器件工艺实现，设计者无法控制，现代工艺已基本消除它。

10.3.5 雪崩噪声（Avalanche Noise）

雪崩噪声产生于工作在反向击穿状态的 pn 结。耗尽区内的强反向电场使电子获得足够动能，与晶格原子碰撞产生额外的电子-空穴对——碰撞纯随机，产生类似散粒噪声但强烈得多的随机电流脉冲。

图10-4 雪崩噪声

由于齐纳击穿会产生雪崩噪声，凡用齐纳二极管的地方都要考虑它。消除的最好办法是重新设计电路，不用齐纳二极管。

10.4 噪声的颜色

真实运放噪声是若干噪声类型的叠加，难以分离。另一种描述方式是颜色——借光的比喻描述频率内容。各颜色对应噪声功率正比于频率的幂次（Table 10–1）：

颜色	频率内容
紫色（Purple）	$f^2$
蓝色（Blue）	$f$
白色（White）	1
粉色（Pink）	$1/f$
红/棕色（Red/Brown）	$1/f^2$

频率的任意负幂次都存在，也有窄带噪声或只出现在某一离散频率的噪声——那些主要是外部噪声源，它们的存在本身就是”噪声来自外部而非运放内部”的重要线索。世上没有纯色：高频段所有噪声都会开始滚降、变得偏粉。运放噪声源出现在白色与红/棕噪声之间的区域（Figure 10–5）：

	白噪声	粉噪声	红/棕噪声
频谱	1（平坦）	1/f（-3 dB/倍频程）	1/f²（-6 dB/倍频程）
噪声类型	Johnson（热）、Shot（散粒）	Flicker（闪烁）	布朗、雪崩*、爆米花*

*近似归类

白噪声：频率和功率谱恒定、与频率无关——恒定带宽内的信号功率不随中心频率变化，名字来自白光（等量的所有颜色），画在频率轴上是一条水平直线。散粒和热噪声都近似白噪声；没有纯白噪声——按定义它在无限高频处有无穷大能量，高频总会变粉。

粉噪声：频谱正比于 $1/f$（不含直流），每个倍频程能量相等，幅度随频率按对数下降，在自然界普遍存在——许多看似随机的事件都表现出 1/f 特性。闪烁噪声就是粉噪声，以 -3 dB/倍频程滚降。

红/棕噪声：频谱 $1/f^2$（不含直流）、-6 dB/倍频程，模拟布朗运动（Brownian motion）故也叫棕噪声，大水体的声学特性近似之。爆米花和雪崩噪声近似红/棕特性，但更准确的定义是”频率特性被尽量移向低频的粉噪声”。

10.5 运放噪声怎么算

10.5.1 噪声曲线：粉区 + 白区

运放噪声从不按散粒/热/闪烁、甚至白/粉逐项标注。音频运放通常给一张等效输入噪声 vs 频率的图，上面有两个明显区域：低频段粉噪声（1/f）主导、高频段白噪声主导。

对 TLV2772 的实测（Figure 10–6）表明噪声兼具两种特性，单靠一种噪声的公式无法逼近全频段总噪声，必须把噪声拆成粉部和白部，再按方和根定律合并。

图10-6 TLV2772 运放噪声特性

10.5.2 拐角频率 $f_{nc}$

1/f 噪声与白噪声相等处的频率称为噪声拐角频率 $f_{nc}$。注意图上 $f_{nc}$ 处实际噪声电压更高——因为两个噪声是按方和根叠加的（10.2.4）。

图上估测方法：把白噪声段水平外推到低频，把 10 Hz～100 Hz 的粉噪声段按直线外推，两线交点即 $f_{nc}$；该点总噪声等于白噪声指标的 $\sqrt{2}$ 倍。精确计算：在尽可能低的频率上测出 1/f 噪声并平方，减去白噪声的平方（平方域中减法与加法同样成立），乘以该频率得 1/f 噪声的贡献，再除以白噪声指标的平方，即得 $f_{nc}$。

例题 10-4：TLV2772 的拐角频率

TLV2772 在 10 Hz 处典型噪声 130 nV/√Hz（数据手册 5 V 曲线），白噪声典型值 12 nV/√Hz。

1/f 噪声在 10 Hz 处的”平方贡献”：

$$1/f{\text{noise}}^2@10\text{Hz}=\left[{\left(\frac{130\text{nV}}{\sqrt{\text{Hz}}}\right)}^2-{\left(\frac{12\text{nV}}{\sqrt{\text{Hz}}}\right)}^2\right]\times 10\text{Hz}=167560(\text{nV}{)}^2\text{\hspace{1em}(10-15)}$$

白话：10 Hz 处测到的噪声平方里，扣掉白噪声的平方，剩下的就是 1/f 噪声的平方贡献。

拐角频率：

$$f_{nc}=\frac{1/f{\text{noise}}^2@10\text{Hz}}{{\text{white noise}}^2}=\frac{167560(\text{nV}{)}^2}{{\left(\frac{12\text{nV}}{\sqrt{\text{Hz}}}\right)}^2}=1164\text{Hz}\text{\hspace{1em}(10-16)}$$

白话：两者”打平”的频率是 1164 Hz，与图上目测的”略高于 1 kHz”一致。

10.5.3 用噪声曲线积分算总 RMS 噪声

知道 $f_{nc}$ 后，把两个分量按方和根合并。对包含 $f_{nc}$ 的频带 $f_{min}\sim f_{max}$：

$$E_n=e_{nw}\sqrt{f_{nc}\times \ln \frac{f_{max}}{f_{min}}+(f_{max}-f_{min})}\text{\hspace{1em}(10-17)}$$

其中 $e_{nw}$ 是白噪声密度。这个公式就是”噪声曲线的积分”：粉部（每倍频程等能量）贡献 $f_{nc}\ln (f_{max}/f_{min})$ 项，白部贡献平带宽 $(f_{max}-f_{min})$ 项，平方和后开方。

继续例题：频带 10 Hz～10 kHz：

$$E_n=\frac{12\text{nV}}{\sqrt{\text{Hz}}}\sqrt{1164\text{Hz}\times \ln \frac{10^4}{10}+(10^4\text{Hz}-10\text{Hz})}=1.611\mu \text{V}=-116\text{dBV}\text{\hspace{1em}(10-18)}$$

白话：粉部贡献 $1164\times \ln (1000)\approx 8032$ Hz²，白部贡献 $9990$ Hz²，两者可比——说明这个频带里 1/f 噪声一点都不能忽略。

常见坑

公式前提是频带包含 $f_{nc}$。频带完全在 $f_{nc}$ 之下则全部是 1/f 噪声，之上则全部是白噪声。反之带宽很大（延伸到 $f_{nc}$ 之上约三个十倍频程）时，1/f 噪声贡献可以忽略。

10.5.4 运放电路噪声模型

TI 通过大量器件样本测量噪声，汇编成典型指标，都指输入端等效噪声。有的噪声部分用电压源表示更直观，有的用电流源：输入电压噪声总是表示为串联在同相输入端的电压源；输入电流噪声总是表示为从两个输入端到地的电流源。

图10-7 运放电路噪声模型

实际设计中输入端通常接低源阻抗，对低源阻抗和 CMOS/JFET 输入，只有噪声电压重要——电流噪声源被输入阻抗”淹没”，可忽略。

10.5.5 反相电路的噪声

反相增益级的噪声等效电路多出 $e_1\sim e_3$ 三个电压源，代表电阻热噪声；电阻值低时可忽略。R3 通常也不存在（除非共模性能重要），把同相输入直接接到（虚）地会让共模响应变差，但可能改善某些电路的噪声性能——少了一个噪声源要操心。简化后（图10-10）：

图10-10 反相电路简化噪声模型

输出噪声为：

$$E_0=\sqrt{{\left(E_{in}\frac{R_2}{R_1}\right)}^2+{\left(e_n\left(1+\frac{R_2}{R_1}\right)\right)}^2}\text{\hspace{1em}(10-19)}$$

其中 $e_n$ 是关心带宽内的总噪声。白话：关键点——信号被增益 $R_2/R_1$ 放大，但运放噪声被噪声增益 $1+R_2/R_1$ 放大，后者更大！这就是反相放大器信噪比先天吃亏的原因。

10.5.6 同相电路的噪声

图10-11 同相运放电路噪声模型

$$E_0=\sqrt{{\left(E_{in}\left(1+\frac{R_2}{R_1}\right)\right)}^2+{\left(e_n\left(1+\frac{R_2}{R_1}\right)\right)}^2}\text{\hspace{1em}(10-20)}$$

白话：同相电路里信号增益和噪声增益恰好相同（都是 $1+R_2/R_1$），信噪比相对占优——这是小信号放大偏爱同相组态的噪声学理由。三个例子共同说明一个普遍规律：噪声总是叠加到运放电路的总输出上，而且走的是”噪声增益”那条路——信号增益和噪声增益要分开算。

10.5.7 差分电路的噪声

假设 $R_1=R_3$、$R_2=R_4$，差分电路输出噪声：

$$E_0=\sqrt{{\left((E_{in2}-E_{in1})\frac{R_2}{R_1}\right)}^2+{\left(e_n\left(1+\frac{R_2}{R_1}\right)\right)}^2}\text{\hspace{1em}(10-21)}$$

10.6 实战：一个完整的 SNR 账本

需求：低噪声运放电路，音频 20 Hz～20 kHz，增益 40 dB，输出 0 dBV（1 V）。

第一步：选型翻车与纠正。 最好用 TLE2027（2.5 nV/√Hz，可算出 89 dB SNR）。但数据手册显示它是 ±15 V 器件，噪声只在 ±15 V 下标定；且 $V_{OM\pm }$（见第11章）表明它只能摆到距电源轨约 2 V 处——若电源是 +5 V 和地，1 V 输出就接近削波。这揭示了一个常见谬误：只根据一个参数选运放，不检查其他受影响的参数。 改选 TLC2201——专为单电源优化的低噪声运放，噪声曲线就印在数据手册第一页（这本身就极有分量）：

图10-14 TLC2201 运放噪声性能

它的拐角频率 $f_{nc}$ 目测约 20 Hz，恰在频带下限——实际上可忽略 1/f 噪声。但白噪声是 8 nV/√Hz（比 TLE2027 差）。按例题 10-1 的流程：$8\times 141.35=1.131\mu$V（EIN），输出噪声 $113.1\mu$V，信噪比：

$$20\times \log \left(\frac{1\text{V}}{113.1\mu \text{V}}\right)=20\times \log (8842)=78.9\text{dB}\text{\hspace{1em}(10-22)}$$

不错，但比 TLE2027 差 10 dB。若不能接受（如要 16 位精度），就得做 ±15 V 电源。这里先假设 78.9 dB 可接受。

第二步：电路振荡了！ 装好却振荡。找外部噪声源：原理图上有条长线从半电源参考连到高阻抗同相输入，加上 50 kΩ 源阻抗——挡不住外部噪声侵入同相输入端。“提供正确的直流工作点”和”在需要的地方提供低阻抗”完全是两回事。修法：给同相输入加去耦电容：

图10-15 加去耦电容后的 TLC2201 电路：电容降低同相输入端阻抗，振荡停止

第三步：清点元件噪声。 电路有 4 个电阻（假设电容无噪声），先看构成电压参考的分压电阻。两个 100 kΩ 电阻的热噪声（各 5.73 µV，见例题 10-3）与运放噪声按方和根合并：

$$E_{\text{Total rms}}=\sqrt{5.73^2+5.73^2+113.1^2}\mu \text{V}=113.1\mu {\text{V}}_{\text{rms}}\text{\hspace{1em}(10-23)}$$

信噪比仍为 78.9 dB（式 10-24 同 10-22）。白话：$\sqrt{5.73^2+5.73^2}\approx 8.1\mu$V，相比 $113.1\mu$V 微不足道——运放噪声淹没（swamp）了电阻噪声，方和根叠加下小分量几乎不拖后腿。

减小电阻能进一步降噪。但把分压电阻从 100 kΩ 改成 1 kΩ 而保留 0.1 µF 电容，拐角频率会从 32 Hz 变到 796 Hz，正好落在音频带中间！

常见坑

别加大电容把粉色噪声效应挪到人耳听觉下限以下：上电要给大电容充电、掉电要放电，可能引起意外后果。若半电源参考的噪声确实关键，最好用低噪声、低阻抗的半电源源——但记住它的噪声在本电路中会被放大 101 倍！

第四步：抓出真正的元凶——反馈电阻。 反相输入端 100 kΩ 电阻的噪声是白噪声，但相对运放噪声很小，可忽略。真正要命的是 10 MΩ 反馈电阻：其噪声表现为反相输入端的电压源，被电路放大 100 倍。由例题 10-3 的比例推算，10 MΩ 电阻噪声为 -84.8 dBV（57.3 µV）。并入总噪声：

$$E_{\text{Total rms}}=\sqrt{5.73^2+113.1^2}\mu \text{V}=126.8\mu {\text{V}}_{\text{rms}}=-77.9\text{dBV}\text{\hspace{1em}(10-25)}$$ $$20\times \log \left(\frac{1\text{V}}{126.8\mu \text{V}}\right)=20\times \log (7887)=77.9\text{dB}\text{\hspace{1em}(10-26)}$$

一个 10 MΩ 电阻吃掉了整整 1 dB 的信噪比！ 把反馈电阻改为 100 kΩ、输入电阻改为 1 kΩ（保持总增益不变），重新设计：

图10-16 改进后的 TLC2201 电路

对 100 Hz 以上（1/f 噪声可忽略）的频率，电路总噪声：

$$E_{\text{Total rms}}=\sqrt{0.57^2+5.73^2+113.1^2}\mu \text{V}=113.2\mu {\text{V}}_{\text{rms}}=-78.9\text{dBV},\text{SNR}=20\times \log (8830)=78.9\text{dB}\text{\hspace{1em}(10-27, 10-28)}$$

正确的电阻选择让电路信噪比达到了运放自身理论极限的水平，代价是功耗略有上升（便携应用中可能不可接受）。

最后的提醒：SNR 随信号电平变。 78.9 dB 只在输出 0 dBV（输入 -40 dBV）时成立，输入变小 SNR 等比例变差。音乐几乎从不维持峰值电平——平均幅度可能比峰值低 20～40 dB，安静乐段的 SNR 会从 79 dB 侵蚀到 39 dB，开大音量噪声就 audible 了。设计者唯一的对抗手段是提高各级电平：例如前级多提供 10 dB 增益，TLC2201 的输出就是 3.16 V 而非 1 V（仍在 0～4.7 V 轨到轨范围内），电路信噪比升到 88.9 dB——几乎追平 ±15 V 供电的 TLE2027！但前级噪声也随之增大。对抗噪声是艰难的权衡，从来没有免费午餐。

常见坑

1. 只看噪声指标选运放，不检查供电电压、输出摆幅等配套参数（TLE2027 的教训）。
2. 高阻抗节点走长线，又不加去耦——等着振荡吧。
3. 反馈电阻用大阻值（如 10 MΩ），热噪声走 100 倍噪声增益，1 dB SNR 就没了。
4. 忘了 SNR 与信号电平挂钩：好看数字是峰值电平下的，安静段落会打对折。

通关标准：

• 能说出五种噪声（散粒/热/闪烁/爆米花/雪崩）的成因和各自特征（是否随电流、是否随温度、频谱形状）。
• 看到 nV/√Hz 立刻知道要乘 $\sqrt{\text{带宽}}$ 才是真实噪声。
• 会用方和根公式叠加多个噪声源，并理解”最差的源主导一切”。
• 会从噪声曲线求拐角频率 $f_{nc}$，并用 $E_n=e_{nw}\sqrt{f_{nc}\ln (f_{max}/f_{min})+(f_{max}-f_{min})}$ 算总 rms 噪声。
• 能独立完成一个放大电路从 EIN 到输出噪声到 SNR（dB）的完整账本。

自测：两个 1 mV rms 的独立噪声源叠加，总噪声是多少？比单源增加多少 dB？

$E_{total}=\sqrt{1^2+1^2}=1.414$ mV rms。比单源增加 $20\log (1.414/1)=3.01$ dB——不是 6 dB，因为噪声按方和根而非直接相加。

自测：一个运放数据手册写 12 nV/√Hz，10 Hz 处 130 nV/√Hz，求拐角频率。

1/f 噪声平方贡献 = $(130^2-12^2)\times 10=167560$ (nV)²；$f_{nc}=167560/12^2\approx 1164$ Hz。计算中平方域的减法是合法的，因为噪声功率（均方值）才可直接相减。

自测：反相放大器信号增益是 -R2/R1，为什么运放自身噪声却被放大 1+R2/R1 倍？

运放输入噪声源串联在同相输入端，对它而言电路是同相组态，增益为噪声增益 $1+R_2/R_1$。噪声增益永远大于等于信号增益（反相时 $R_2/R_1$），所以反相电路的运放噪声被放大得更多。